数学Ａで扱う｢チェバの定理｣の証明は，三角形の相似や三角形の面積は底辺が一定であれば高さに比例するという面積に関することを基に証明してある．すると，三角柱や三角錐についても底面積が一定であれば体積が高さに比例することに気付けば，それらにおいても同様の定理（「３直線が１点で交わる」ことを「３平面が１直線で交わる」に変更するなどの必要はある）が成り立つのではないかと予想することは高校１年生にとってもごく自然なことであろう．

山口県立岩国高等学校　西元教善

数学 の｢平面図形｣で，重心を指導するが，≪?三角形の３つの中線が１点で交わること，?その点(重心)が各中線を (の比)に内分すること≫の証明(方針)が教科書によって異なっていて興味深い。以下の２つの証明が主流のようであるが，その証明や生徒への指導上の留意点，他の証明，ならびに３つの中線によってできる６つの小三角形の面積が等しいことについての考察や授業実践をしたので紹介したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

前回の原稿ではメネラウスの定理を｢座標｣で証明したが，今回は｢ベクトル｣を使って，チェバの定理とメネラウスの定理を証明する。ベクトルでは，内分・外分，同一直線上といったことがうまく処理できるので，既習の定理をベクトルで再証明させてみると，ベクトルの復習・定着につながる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ａで三角形の五心を扱う。といっても，傍心については発展的な扱いであり，垂心についても基本的にセンター試験では対象外であり，もっぱら｢重心Ｇ｣｢外心Ｏ｣｢内心Ｉ｣の三心が中心である。数学Ａでは，いわゆる古典幾何であり，座標的な扱いではない。しかし，数学Ⅱでは｢重心｣の座標について，分点の考察から簡潔明瞭で，しかも有効な公式が扱われている。生徒にとって，なぜ座標は｢重心｣だけなのか，｢外心｣や｢内心｣についても座標での公式があってしかるべきではないかという思いがあるのではないかと思う。そこで，本稿では，生徒の疑問に答えるべく，しかし簡便のため一つの頂点を原点とする三角形の｢内心｣の座標を中心に考察したいと思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ａで｢平面図形｣を扱う。論理-数学的な考え方を培うことを期待してのことであったように推察する。センター試験に出題されれば当然客観問題，つまり穴埋め問題となる。記述式であれば当然，その目的が果たせる期待が持てるが，結果のみの求値問題では本末転倒であろう。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

三角形には，５つの重要な点(円の中心)がある。言わずと知れた「三角形の五心」である。数学Ａでは，そのうちの重心，外心，内心が中心で，垂心はその次の扱い，傍心は参考として扱われる。センター試験等の大学入試では，重心，外心，内心がその対象であり，垂心，ましてや傍心が出題されることはない。傍心は，他の４つの「○心」が一つであるのとは異なり， の傍心， の傍心， の傍心というように３つある。本稿では， の傍心の座標について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

チェバの定理の単元は、ともすると求値問題にのみ焦点がいき生徒には、値さえ求まれば良いとの捉え方をされがちだが、教員側の工夫で様々な応用は可能であることが分かった。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

メネラウスの定理は、辺の長さや比、あるいは三角形の面積を求めるツールとして大変有用な定理であるが、メネラウスの定理の逆は、３点が１直線上にあることを証明する手段として極めて優れている。これは、チェバの定理の逆が、３直線が、１点で交わることを証明する手段として優れているのと対極をなすと思う。そこで、実際に役に立つことを述べたい。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

垂心は、重心、外心、内心と比べると教科書での扱いは、限定的である。数学Aで、３垂線が一点で交わることを証明したり、数学Bでベクトルの内積の問題として取り上げられる程度であろう。しかし、垂心の図には、円に内接する四角形が随所にあるので、三角形の３つの角度と同じ角が右図のように現れる。そのため相似な三角形も多数あるから、問題作成に適した教材と言える。事実、大学入試では、垂心がらみの問題は、少なくない。そこで、垂心に関連する幾つかの数学的な話題をまとめてみた。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

「（高校数学Ⅰ・A）課題学習指導実践記録集」東京書籍2013年7月より。図形を観察し，図形的な性質を発見させる。課題（問題）が意識され解決に至るまでの過程を大切にし，生徒の多様な思考を保障する。成功する推定・失敗する推定，上手な説明（考え）・下手な説明（考え）と，いろいろ手を尽くすことで，探求の流れ観察⇒発見(推定)⇒証明(論証)⇒創造を体験させる。

前大阪府上宮高等学校教諭　乾 東雄

メネラウスの定理の定理は，数学Ａで扱う。証明は，三角形と平行線の性質を使えば簡単に証明される。この定理はある種のベクトルの問題の別解として，いわば裏技的に使われることもあって，ある意味重宝される。証明は，もちろんベクトルを使っての証明もできるが，本稿では，座標を使った証明を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿『三角形の内心の座標を求めてみよう～重心･外心･垂心よりは面倒であるが～』では，１つの頂点を原点にして，処理しやすい形でそれぞれの座標を求めたが，やはり一般的な三角形での結果が欲しいと思い，継続して考察してみた。その方針は，一般的な三角形について，１つの頂点が原点に移るように平行移動し，内心，外心，垂心の座標がどのように表せるかを前回得られた結果を活用して求め，それを逆方向に平行移動して，もとの一般的な三角形の内心，外心，垂心の座標を求めるというものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

平面図形と方程式領域では、重心を求める問題なら教科書に必ず取り上げられているし、外心、垂心を求める問題も、すでに教材化されている。しかし、内心だけは、教材化しにくいものであるとして避けられてきたように思う。実際、一般的な三角形で内心の教材化は、かなり難しい。もちろん、不可能ではないが、あまりに式が煩雑で受験問題ならともかく、授業での教材としては不適当と思われる。そこで、条件を限定した中で内心を求める問題を考えてみることにした。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

三角形の五心につきましては，傍心を除いて重心・外心・内心・垂心が教科書の本文で扱ってあります。傍心はその名の通り，三角形の傍ら(外部)にあります。一方，重心，内心は三角形の内部にあり，外心，垂心も鋭角三角形のときにはその内部にあります。つまり，鋭角三角形の場合には，傍心以外は三角形の内部にあります。では，そのときそれら４つの点から頂点までの距離は，３辺の長さをa,b,c(a≧b≧c)とするとき，a,b,cでのどのような式で表されているのか，特に頂点Ａまでの距離と最大辺である対辺ＢＣまでの距離について考察を行い，興味ある結果を得ました。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

三角形の重心の定理，三角形の外心の定理，三角形の垂心の定理，三角形の内心の定理を証明するに当たり「３本の直線が１点で交わること」をどのように示したらよいのか，つまり，どのようなことを示せば「３本の直線が１点で交わること」を示したことになるのかについて事前に明確に示しておくべきではないかと思う。証明の中に示してあると言えばそれまでであるが，証明をする前に予備知識として生徒が持っていなければならない。それは「点の一致」に言及することになるので，これについてもそうである。何を手掛かりに考えるのか，それを事前に理解していなければ証明がわかりにくいものになる。そのようなことを踏まえて，本稿では，三角形の重心，外心，垂心，内心の定理において，３本の直線(あるいは線分)が１点で交わることを証明するのに，またその証明を理解するために必要な知識を考察したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

チェバの定理・メネラウスの定理の単元は、ともすると求値問題にのみ焦点がいき生徒には、値さえ求まれば良いとの捉え方をされがちだが、実は、定理の逆こそが本命であり、教員側の工夫で様々な応用は可能と思われるので検討を試みた。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

拙稿『三角形の五心と位置ベクトル⑴』では，数学Ａで三角形の五心のうちの重心，外心，垂心，内心について，数学Ａで扱うように，まず３本の中線，辺の垂直二等分線，頂点から対辺(その延長)への垂線，内角の二等分線が１点で交わることをベクトルで考察した。　重心Ｇの位置ベクトル は，三角形の３頂点Ａ,Ｂ,Ｃの位置ベクトル を使って，簡単できれいな形に表される。では，他の外心などはどう表されるのだろうかということに興味を持ったので考察を行ってみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ａで「三角形の五心」を学ぶ。外心・内心は、それぞれ三角形の外接円・内接円の中心であり、傍心は傍接円の中心である。円の中心がわかれば、次に半径の大きさがいくらであるかが気にかかる。そこで本稿では、△ABCの∠Aに対する傍接円の半径（RAとする）を、半角の公式を利用して求めてみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

数学Ａでは，三角形を①初等幾何（古典幾何）的に，②数学Ⅰでは三角比で，③数学Ⅱでは解析幾何的に，④数学Ｂではベクトルで考察する。特に，①②では同時期に扱うことが多い。折角であるから，理解を深めるためにコラボレーションしたらよいのではないかと思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

高校から初等幾何の授業が失われて４０年。その間に高校数学の授業から平面図形の性質を生かした部分が減っていないだろうか？せっかく復活した平面図形の知識を他の領域の学習に積極的に生かそう。幾何センスのある授業で式計算では経験できない面白く深い数学を体験させたい。

前埼玉県立所沢中央高等学校　五十嵐英男

ベクトルを点の位置を表すものとして活用する位置ベクトルでは，一直線上にあることの証明やどのような点になっているか(何対何の内分点とか外分点)を扱う。題材が三角形の場合には，裏技として数学Ａで学習するチェバの定理やメネラウスの定理が使われることもある。そこで，それを逆手にとってチェバの定理やメネラウスの定理から位置ベクトルの問題を作って，指導に役立ててみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ａで三角形の五心である重心，外心，垂心，内心，傍心（ただし，傍心は参考扱いなので割愛する）を扱う。それぞれ３本の中線，(３辺の)垂直二等分線，(各頂点から対辺(またはその延長)に下ろした)垂線，(３つの内角の)二等分線が１点で交わることを定理として，その証明を扱うものである。それぞれ工夫した証明であり，興味を引かれる生徒もいるが，その証明に混乱する生徒も少なくない。数学Ⅱでは，解析幾何的に，数学Ｂではベクトル的に再度，垂心を扱っている。　数学Ａでは数学Ａとしての視点で，数学Ⅱ，Ｂでもそれぞれの視点で考察してあり，垂心についての定着がある。せっかくであるから，数学Ｂとしての視点で，ベクトルのよさを味わわせる指導ができればと思い，考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿『三角形の五心と位置ベクトル(2)』では，外心の位置ベクトルについて考察しましたので，本稿では，内心の位置ベクトルについて考察しました。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

三角形の五心と言えば、平面図形領域の内容であり、唯一重心だけが、ベクトル領域でとりあげられているのが一般的であろう。しかし、重心以外の四心もベクトルで表示する授業ができないか、考察してみた。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

角の二等分線は、平面図形領域の三角形の内心や内分・外分の話題として取り上げられて終わってしまうことが多い。しかし、もっと色々なアプローチができるのではないかと考えてまとめてみた。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

学びにくく教えにくい平面図形領域を作図などの活動を加えることで実感のもてるものにする実践を紹介する。また、円に内接する四角形に注目した新しい授業展開を提案する。

前埼玉県立所沢中央高等学校　五十嵐英男

センター試験の過去問の中から良問をセレクトし，それぞれの問題について略解とコメントを付して解説している。

開成高等学校教諭　木部陽一

2012年1月に実施された北海道高等学校数学コンテストの第３問。

北数教高校部会代数解析研究会

センター試験数学過去問題集。2013年度本試験(数学ⅠＡ)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

[内容]今回は座標空間の問題を 4 題とメネラウスの定理の空間への拡張をとりあげた。第 1 問・第 2 問はオリジナル問題，第 3 問・第 4 問は東大の過去問である。解答は平面の方程式を用いない現行の学習指導要領の範囲内のものとした。最近の生徒諸君には易しい問題ではないと思われるが，学習効果は十分にある。

東大寺学園中高等学校　本庄隆

センター試験「高校数学」過去問題集。2009年本試験（数学I・Ａ）第3問内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部

センター試験「高校数学」過去問題集。2009年追試験（数学I・Ａ）第3問内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部

H20 センター試験 教科書数学Ⅰ・Ａ　4章　図形と計量　3節　三角形への応用、１　正弦定理　２　余弦定理、４節　図形の計量　２　相似の計量、Ａ４章　平面図形　3節　円と直線　２　接線と弦のつくる角　３　方べきの定理　

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2012年度本試験（数学Ⅰ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2012年度本試験（数学ⅠＡ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

今回は前回に引き続いて重心座標を取り上げる。目標は外心と垂心の重心座標である。最初に3辺の長さを具体的に与えた場合の外心についての問題を，その後，鋭角三角形，次いで鈍角三角形の場合の一般論を考える。最後に垂心を考える。その前に前回の第1問（下の囲み）を重み付き頂点の観点から暗算で解く手順とその背景の考え方を示しておく。

東大寺学園中高等学校　本庄隆