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702 数学Ⅱ Standard2節 積分の考え

指導資料

  • 3次曲線に3本の接線が引けるとき,曲線と接線で囲まれる3つの図形の面積について
    2016年01月08日
    • 数学
    • 実践事例
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    3次曲線に3本の接線が引けるとき,曲線と接線で囲まれる3つの図形の面積について

    3次曲線には,1本以上3本以下の接線が引ける。3本の接線が引けるとき,3次曲線とそれぞれの接線とで囲まれる3つの図形の面積について考察してみたい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 1/12公式を使った問題例~東書数学Ⅱの演習問題をベースにして~
    2012年07月13日
    • 数学
    • 実践事例
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    1/12公式を使った問題例~東書数学Ⅱの演習問題をベースにして~

    俗称であるが,定積分の値を求める簡便公式として『1/6 公式』,『 1/12公式』がある。大学入試で,これを使ってよいのかどうかについて議論される公式ではあるが,計算が苦手な生徒にとってはありがたい公式である。さて,本稿では,特に 1/12公式を使えば簡単に処理できる問題を,東書数学Ⅱの演習問題(p.233,3)をベースにして,追加問題として加えて考察してみる。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • ある3次曲線に3本の接線が引けるとき、その曲線と接線で囲まれる部分の面積比について
    2012年07月27日
    • 数学
    • 実践事例
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    ある3次曲線に3本の接線が引けるとき、その曲線と接線で囲まれる部分の面積比について

    拙稿「1/12公式を使った問題例~東書数学Ⅱの演習問題をベースにして~」では,ある3次曲線にある点からちょうど2本の接線が引けるとき,その曲線と接線とで囲まれる部分の面積比について考察しました。本稿では,それとは別の3次曲線にある点から3本の接線が引けるとき,その曲線と接線で囲まれる3つの部分の面積比について,1/12公式を活用して考察しました。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 定積分と面積 ~微積分の復習を兼ねて公式の証明の理解をめざす~
    2023年03月31日
    • 数学
    • 指導資料
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    定積分と面積 ~微積分の復習を兼ねて公式の証明の理解をめざす~

    定積分を学習する際、生徒たちは既習の定義や公式、性質をきちんと理解しておく必要があるが、教員の中には生徒の理解レベルを考慮して証明を割愛し、単に公式を暗記しそれを使いこなせること(=用具的理解)を優先させる例が散見される。しかし、定積分の学習は既習事項を復習する絶好の機会でもある。本稿では、その実例をあげて考察してみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立徳山高等学校 西元教善

  • 曲線y=x2nとその上の2点を通る直線で囲まれる図形の面積
    2017年06月16日
    • 数学
    • 指導資料
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    曲線y=x2nとその上の2点を通る直線で囲まれる図形の面積

    よく知られているように放物線 C:y=x2とその上にある2点A (α,α2, B(β,β2)(α<β)を通る直線 ABで囲まれる図形Fの面積SはS=1/6(β-α)3である。 nを自然数とするとき,曲線 C:y=x2nは,n=1のときの放物線 C1:y=x2と同様に y軸に関して対称であり, x<0で単調減少,x>0で単調増加,また,nの値に関わらず必ず 2点(-1,1),(1,1)を通る。本稿では,このような性質をもつ曲線 Cnとその上にある2点An(α,α2n), Bn(β,β2n)(α<β)を通る直線AnBnで囲まれる図形 Fnの面積 Snは,α,β,nを使ってどのように表されるのかを中心にして考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

    山口県立高森高等学校教諭 西元教善

  • 放物線y=x2と折線y=|x-a|で囲まれる図形の面積について(1)
    2020年08月21日
    • 数学
    • 指導資料
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    放物線y=x2と折線y=|x-a|で囲まれる図形の面積について(1)

    放物線y=x2と折線y=|x|は,原点Oと点(-1,1),(1,1)を共有し,それぞれy軸に関して対称である。このとき,y=x2と y=|x|で囲まれる図形の面積は,合同である2つの図形の面積の和である。また,y=|x|をx軸方向にaだけ平行移動すると,その方程式はy=|x-a|となる。本稿では,放物線y=x2と折線y=|x-a|で囲まれる図形の面積について考察してみたい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立光高等学校 西元教善

  • 放物線y=x2と折線y=|x-a|で囲まれる図形の面積について(2)~マーク式問題として~
    2020年08月28日
    • 数学
    • 指導資料
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    放物線y=x2と折線y=|x-a|で囲まれる図形の面積について(2)~マーク式問題として~

    前回「放物線y=x2と折線y=|x-a|で囲まれる図形の面積について(1)」で,放物線y=x2と折線y=|x-a|で囲まれる図形の面積について考察したが,本稿では,それがマーク式問題として生徒に提示されるとどうなるかということを扱ってみたい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立光高等学校 西元教善

  • x軸とそれに接する2つの放物線で囲まれる部分の面積についてx2の係数が異なる場合を中心にして~
    2014年12月26日
    • 数学
    • 実践事例
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    x軸とそれに接する2つの放物線で囲まれる部分の面積についてx2の係数が異なる場合を中心にして~

    x2の係数がa(>0)である2つの2次関数のグラフとその共通接線で囲まれる部分の面積Sは,接点のx座標をα,β(α<β)とすると, S=a/12(β-α)3 であることはよく知られており,公式として活用している生徒もいる。では,x2の係数がa,b(a>b>0)である2つの2次関数のグラフとその共通接線で囲まれる部分の面積Sは,接点のx座標をα,β(α<β)とすると,a,b,α,βを使ってどのように表されるのであろうか。本稿では,議論を簡単にするため,共通接線がx軸である場合を考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 放物線と3次曲線で囲まれた図形の面積について
    2015年03月27日
    • 数学
    • 実践事例
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    放物線と3次曲線で囲まれた図形の面積について

    定積分の応用では2つの放物線で囲まれた図形の面積を求める。さらに,その発展として放物線と3次曲線で囲まれた図形の面積を求める。共有点のx 座標を求め,その間でのグラフの上下関係を調べ,その区間で上方にある関数と下方にある関数の差を定積分する。関数が他の文字を含む場合には,その値の範囲によって上下関係が変化するために場合分けが必要になる。それぞれの場合に2曲線で囲まれる図形の面積は aでどのように表されるか,また,最大値・最小値は存在すればいくらであるかについて考察してみる。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 1/6公式の一般化について
    2012年06月22日
    • 数学
    • 実践事例
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    1/6公式の一般化について

    いわゆる『1/6 公式』を一般化し,部分積分法を通じて数列の漸化式の問題として考察してみた。この程度であれば,入試問題として出題されれば手頃な問題となるのではなかろうか。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 定積分が面積を表すことに関する授業実践
    2014年02月18日
    • 数学
    • 実践事例
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    定積分が面積を表すことに関する授業実践

    授業時間のしばりもあり、この定積分⇒面積の授業は、結論ありきになってはいないだろうか。私たちの高校生の時代には、区分求積法をまず教わってから定積分による方法がなされていたように思う。今回、授業で区分求積法から定積分にいたる指導を試みたので報告したい。

    埼玉県豊岡高等学校 五十嵐英男

  • 不定積分の導入の指導について~不定積分を微分という対応の逆と捉える~
    2012年02月24日
    • 数学
    • 実践事例
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    不定積分の導入の指導について~不定積分を微分という対応の逆と捉える~

    『不定積分は無限集合~集合としての「=」の認識を~ 』を2008年7月 2日にEネットに掲載していただいた。その後,この件に関して,表題のような形で再考察したので紹介したい。微分というのは一つの対応(演算)であり,その逆対応(逆演算)として,不定積分を捉えてみたいと思ったからである。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • スライドによる理解サポート ~定積分と面積~
    2023年04月21日
    • 数学
    • 指導資料
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    スライドによる理解サポート ~定積分と面積~

    証明が長くなると、一つ一つのことは理解できても全体の構成が十分に理解できず、結局よくわからないということがある。それはストーリーとして理解することができていないからである。本稿では、そのような一例として「定積分と面積」の証明について、証明の前に生徒たちに全体像を把握させるたに見せたいスライドの実例をご紹介したい。

    山口県立徳山高等学校 西元教善

  • ICTの力を借りて“ごく普通の数学の授業をアクティブラーニング的へ”と変えた実践報告
    2018年11月29日
    • 数学
    • 実践事例
    • ICT活用
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    ICTの力を借りて“ごく普通の数学の授業をアクティブラーニング的へ”と変えた実践報告

    ICTを活用して“ごく普通の数学の授業をアクティブラーニング的へ”と変えた実践を報告する。掲載資料は、本編(Word版,PDF版)と,学習で使用したワークシート(PDF版 ※B4判よこ4ページ)である。

    東海大学付属大阪仰星高等学校 阿部守勝

  • 不定積分は無限集合~集合としての「=」の認識を~
    2008年07月02日
    • 数学
    • 実践事例
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    不定積分は無限集合~集合としての「=」の認識を~

    数学Ⅱで不定積分を扱うが,そこには次のような「定数倍,和,差の不定積分」の公式が出てくる。=の意味、定数倍,和,差の不定積分の集合的証明、集合的な意識での問題解釈などについて。

    山口県立岩国高等学校 西元教善

  • 放物線と放物線上にない点から引いた2つの接線で囲まれる図形の面積
    2015年12月18日
    • 数学
    • 実践事例
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    放物線と放物線上にない点から引いた2つの接線で囲まれる図形の面積

    放物線C0:y=x2の下方にある点P(X,Y)からC0に2本の接線が引けるが,この2本の接線とC0で囲まれる図形の面積SはS=2/3(X2-Y)3/2である。一般に,点P(X,Y)から放物線C:y=x2 +bx+Cに2本の接線が引けるとき,その2本の接線とCで囲まれる図形の面積Sは,F(x,y)=x2 +bx+C -yとおくとき,S=2/3F(x,y)3/2と表せるのであろうか。本稿では,このことについて考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 場合分け~基本は同じ~
    2012年05月25日
    • 数学
    • 実践事例
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    場合分け~基本は同じ~

    「場合分け」とは,「ある基準に従って問題を細かく分けて,そこでは共通した扱いができるようにして問題を解決していくこと」といえますが,生徒にとってはどのような問題で,どのような場面で,どのように進めていくのか把握できていないことがあって,難しいという印象,面倒という印象を持っていることがあります。このような「場合分け」という問題解決に必要な発想が出てこないことがあるからです。また,そうすることはわかっていても具体的な方策がないということもあるでしょう。しかし,数学Ⅰではこのような「場合分け」の方策を経験しているのです。結局は,それが定着していないということなのかもしれません。数学Ⅱでは,定積分を扱います。単にその計算であればどうにかできても,そこに積分変数以外の文字が含まれるとできなくなることがあります。本稿では,数学Ⅰで学習した2次関数の最小と数学Ⅱで学習する定積分で,基本的には同じ考え方である「場合分け」について考察をしました。その目的は,生徒にとって一見難しそうに思えても,以前に学習している発想で解決できることを経験させて,思考の整理を行わせるためです。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 放物線とx軸で囲まれる部分を題材にした一考察(1)~長さと面積について~
    2014年11月14日
    • 数学
    • 実践事例
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    放物線とx軸で囲まれる部分を題材にした一考察(1)~長さと面積について~

    2次関数Y=ax2+bx+cのグラフ,つまり放物線がx軸と異なる2点A,Bで交わるとき,そこにさまざまな図形的,計量的な考察ができる。たとえば,x軸が放物線によって切り取られる線分の長さ,x軸と放物線によって囲まれる部分の面積やそれに内接,外接(内接,外接の意味については本文で説明)する正三角形,正方形や円の面積である。 本稿では,これらの基本図形の長さや面積が,a, b, cでどのように表されるか、特に とaとD(=b2-4ac)でどのように表されるかを考察した。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 定積分の構成
    2017年12月20日
    • 数学
    • 指導資料
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    定積分の構成

    積分は数Ⅱで学ぶ単元であり、様々な事象を考えるうえで必要不可欠な概念である。そして、積分には2種類あり、それは定積分と不定積分である。しかし、定積分の構成を知っている人は多くはない。まずはこの2種類の積分を見てみよう。

    大阪府東洋学園高等専修学校教諭 松岡世伍

  • 放物線上の異なる2点における接線の交点の軌跡について~2接線のなす角が一定,囲まれる面積が一定のとき~
    2016年03月11日
    • 数学
    • 実践事例
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    放物線上の異なる2点における接線の交点の軌跡について~2接線のなす角が一定,囲まれる面積が一定のとき~

    放物線上の異なる2点での2本の接線について,放物線とで囲まれる図形の面積を求める問題は定積分の代表的な問題の一つである。そのとき,2接線の交点のx 座標で場合分けして定積分をするが,この交点に注目したとき,これはどのような軌跡になるのか気にかかる。 本稿では,放物線上の異なる2点における2接線の交点について,2接線のなす角が一定のときと放物線と2接線の囲む図形の面積が一定のときの軌跡を考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 単位円,その接線およびy軸,直線y=-1,Y=k(k≧1)で囲まれる図形の面積の最小値について
    2016年10月14日
    • 数学
    • 指導資料
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    単位円,その接線およびy軸,直線y=-1,Y=k(k≧1)で囲まれる図形の面積の最小値について

    xy平面上に単位円C : x2+y2=1と2直線y=-1,y=k(k≧1)があり,直線y=k(k≧1)上に動点P(p,k)(p≧0)があるとする。このときPから単位円Cに接線lを引き,これら(単位円C,2直線y=-1,y=k(k≧1),接線l)とy軸で囲まれる図形の面積Skの最小値を考えるとき,kの値の変化に伴って最小値をとるpの値はどう変わるか,つまり,kの値の変化に伴って,最小値をとる直線y=k(k≧1)上の点Pの位置はどのように変わるかについて考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • Σ公式を定着させる指導~Σ公式の相互関係~
    2011年04月06日
    • 数学
    • 実践事例
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    Σ公式を定着させる指導~Σ公式の相互関係~

    数列の和を表すのにΣという記号を使う指導をする。それまでは,足す,総和をとるという実感を伴うa1+a2+a3+………+anという書き方であったが,「……」という曖昧さの除去や表記の簡略化ができる記号Σを学習させる。これも生徒にとってはセンセーショナルな記号であろう。本稿では,Σ記号に慣れ,Σ公式を身につけ,Σ公式同士にある相互関係を生徒に見て欲しいと思うことについて考察した。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 円弧の構成
    2018年03月08日
    • 数学
    • 指導資料
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    円弧の構成

    本稿では、円弧と円の面積を微分と積分を用いて証明してみたいと思う。

    大阪府東洋学園高等専修学校教諭 松岡世伍

  • 生徒に好評であった実践事例の紹介
    2007年08月29日
    • 数学
    • 実践事例
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    生徒に好評であった実践事例の紹介

    生徒に好評であった実践事例について2つ紹介したい。1つ(実践事例Ⅰ)は,数列の極限について,「くくり出し」による方法と「分子の有理化」による方法の比較を行った事例である。もう1つ(実践事例Ⅱ)は,定積分と面積の関係 について,導関数を考える理由を結果からさかのぼることで把握させ,その証明を理解しやすくした事例である。

    山口県立岩国高等学校 西元教善

  • 教員研修を兼ねた大学入試問題研究⑵~センター試験と広大の問題~
    2014年05月16日
    • 数学
    • 実践事例
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    教員研修を兼ねた大学入試問題研究⑵~センター試験と広大の問題~

    以前,『教員研修を兼ねた大学入試問題研究⑴~東大の問題を中心にして~』を本サイトで紹介した。本校では進路指導部の管轄のもとで,各教科(国・地歴・数・理・英)の教員が自己研修を兼ねて夏季休業中に研究する。これは平成17年度から始まり,東大,京大,センター試験,本校の生徒の進学希望の多い広島大あるいは山口大の問題中心に指導のための研修を行うものである。ここでは,筆者の担当した2011年度のセンター試験と広島大学の問題(各1問)について,紹介する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

問題・テスト資料

プリント資料

  • (実践事例集) カヴァリエリ
    2002年08月20日
    • 数学
    • 授業プリント・ワークシート
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    (実践事例集) カヴァリエリ

    「高等学校数学実践事例集」より。円錐の体積を,無限の直円錐を考えその総和として,球の体積を求めたのが,イタリアのカヴァリエリである。この資料は,高校数学の教科書で取り扱う内容に関して,いろいろな角度から解説をしたものです。それらは,導入例や,参考になる先生方へのコメント,中学校の復習,発展的内容,教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は1ページにまとまっています。

    稲永善数

  • (実践事例集) 球・円錐の体積
    2002年08月20日
    • 数学
    • 授業プリント・ワークシート
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    (実践事例集) 球・円錐の体積

    「高等学校数学実践事例集」より。円柱から円錐をくり抜く,アルキメデス・・・私の「円」をだいなしにするな!,球・円錐・・・積分を用いて。この資料は,高校数学の教科書で取り扱う内容に関して,いろいろな角度から解説をしたものです。それらは,導入例や,参考になる先生方へのコメント,中学校の復習,発展的内容,教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は1ページにまとまっています。必要な部分を利用していただければと思います。

    稲永善数

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