３次曲線には，１本以上３本以下の接線が引ける。３本の接線が引けるとき，３次曲線とそれぞれの接線とで囲まれる３つの図形の面積について考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

俗称であるが，定積分の値を求める簡便公式として『１/６ 公式』，『 １/１２公式』がある。大学入試で，これを使ってよいのかどうかについて議論される公式ではあるが，計算が苦手な生徒にとってはありがたい公式である。さて，本稿では，特に １/１２公式を使えば簡単に処理できる問題を，東書数学Ⅱの演習問題(ｐ.233，３)をベースにして,追加問題として加えて考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿「1/12公式を使った問題例～東書数学Ⅱの演習問題をベースにして～」では，ある３次曲線にある点からちょうど２本の接線が引けるとき，その曲線と接線とで囲まれる部分の面積比について考察しました。本稿では，それとは別の３次曲線にある点から３本の接線が引けるとき，その曲線と接線で囲まれる３つの部分の面積比について，1/12公式を活用して考察しました。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

定積分を学習する際、生徒たちは既習の定義や公式、性質をきちんと理解しておく必要があるが、教員の中には生徒の理解レベルを考慮して証明を割愛し、単に公式を暗記しそれを使いこなせること（＝用具的理解）を優先させる例が散見される。しかし、定積分の学習は既習事項を復習する絶好の機会でもある。本稿では、その実例をあげて考察してみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

よく知られているように放物線 C：ｙ＝x2とその上にある２点A (α，α2, B(β，β2)(α＜β)を通る直線 ABで囲まれる図形Fの面積SはS＝１/6(β－α)3である。　ｎを自然数とするとき，曲線 C：ｙ＝x2nは，n＝１のときの放物線 C１：ｙ＝x2と同様に y軸に関して対称であり， x＜０で単調減少，x>０で単調増加，また，ｎの値に関わらず必ず ２点(－１，１)，(１，１)を通る。本稿では，このような性質をもつ曲線 Cｎとその上にある２点Aｎ(α，α2n), Bn(β，β2n)(α＜β)を通る直線AnBnで囲まれる図形 Fnの面積 Sｎは，α，β，ｎを使ってどのように表されるのかを中心にして考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

放物線ｙ＝x2と折線ｙ＝|ｘ|は，原点Ｏと点(－1，1),（1，1）を共有し，それぞれｙ軸に関して対称である。このとき，y＝x2と y＝|ｘ|で囲まれる図形の面積は，合同である２つの図形の面積の和である。また，y＝|ｘ|をｘ軸方向にａだけ平行移動すると，その方程式はｙ＝|x－a|となる。本稿では，放物線ｙ＝x2と折線ｙ＝|x－a|で囲まれる図形の面積について考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

前回「放物線ｙ＝x2と折線ｙ＝|x－a|で囲まれる図形の面積について（１）」で，放物線ｙ＝x2と折線ｙ＝|x－a|で囲まれる図形の面積について考察したが，本稿では，それがマーク式問題として生徒に提示されるとどうなるかということを扱ってみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

x2の係数がa（＞０）である２つの２次関数のグラフとその共通接線で囲まれる部分の面積Sは，接点のx座標をα，β（α＜β）とすると， S＝ａ/12（β－α）3 であることはよく知られており，公式として活用している生徒もいる。では，x2の係数がa，ｂ（ａ＞ｂ＞０）である２つの２次関数のグラフとその共通接線で囲まれる部分の面積Ｓは，接点のx座標をα，β（α＜β）とすると，a，ｂ，α，βを使ってどのように表されるのであろうか。本稿では，議論を簡単にするため，共通接線がx軸である場合を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

定積分の応用では２つの放物線で囲まれた図形の面積を求める。さらに，その発展として放物線と３次曲線で囲まれた図形の面積を求める。共有点のx 座標を求め，その間でのグラフの上下関係を調べ，その区間で上方にある関数と下方にある関数の差を定積分する。関数が他の文字を含む場合には，その値の範囲によって上下関係が変化するために場合分けが必要になる。それぞれの場合に２曲線で囲まれる図形の面積は aでどのように表されるか，また，最大値・最小値は存在すればいくらであるかについて考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

いわゆる『１/６ 公式』を一般化し，部分積分法を通じて数列の漸化式の問題として考察してみた。この程度であれば，入試問題として出題されれば手頃な問題となるのではなかろうか。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

授業時間のしばりもあり、この定積分⇒面積の授業は、結論ありきになってはいないだろうか。私たちの高校生の時代には、区分求積法をまず教わってから定積分による方法がなされていたように思う。今回、授業で区分求積法から定積分にいたる指導を試みたので報告したい。

埼玉県豊岡高等学校　五十嵐英男

『不定積分は無限集合～集合としての｢＝｣の認識を～ 』を2008年7月 2日にEネットに掲載していただいた。その後，この件に関して，表題のような形で再考察したので紹介したい。微分というのは一つの対応(演算)であり，その逆対応(逆演算)として，不定積分を捉えてみたいと思ったからである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

証明が長くなると、一つ一つのことは理解できても全体の構成が十分に理解できず、結局よくわからないということがある。それはストーリーとして理解することができていないからである。本稿では、そのような一例として「定積分と面積」の証明について、証明の前に生徒たちに全体像を把握させるたに見せたいスライドの実例をご紹介したい。

山口県立徳山高等学校　西元教善

ICTを活用して“ごく普通の数学の授業をアクティブラーニング的へ”と変えた実践を報告する。掲載資料は、本編（Word版，PDF版）と，学習で使用したワークシート（PDF版 ※B4判よこ４ページ）である。

東海大学付属大阪仰星高等学校　阿部守勝

数学Ⅱで不定積分を扱うが，そこには次のような｢定数倍，和，差の不定積分｣の公式が出てくる。＝の意味、定数倍，和，差の不定積分の集合的証明、集合的な意識での問題解釈などについて。

山口県立岩国高等学校　西元教善

放物線C0:ｙ＝x2の下方にある点Ｐ(Ｘ，Ｙ)からC0に２本の接線が引けるが，この２本の接線とC0で囲まれる図形の面積ＳはＳ＝2/3(Ｘ2－Ｙ)3/2である。一般に，点Ｐ(Ｘ，Ｙ)から放物線Ｃ：ｙ＝x2 ＋ｂｘ＋Cに２本の接線が引けるとき，その２本の接線とＣで囲まれる図形の面積Ｓは，Ｆ（ｘ，ｙ）＝x2 ＋ｂｘ＋C －ｙとおくとき，Ｓ＝2/3Ｆ（ｘ，ｙ）3/2と表せるのであろうか。本稿では，このことについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

「場合分け」とは，「ある基準に従って問題を細かく分けて，そこでは共通した扱いができるようにして問題を解決していくこと」といえますが，生徒にとってはどのような問題で，どのような場面で，どのように進めていくのか把握できていないことがあって，難しいという印象，面倒という印象を持っていることがあります。このような「場合分け」という問題解決に必要な発想が出てこないことがあるからです。また，そうすることはわかっていても具体的な方策がないということもあるでしょう。しかし，数学Ⅰではこのような「場合分け」の方策を経験しているのです。結局は，それが定着していないということなのかもしれません。数学Ⅱでは，定積分を扱います。単にその計算であればどうにかできても，そこに積分変数以外の文字が含まれるとできなくなることがあります。本稿では，数学Ⅰで学習した２次関数の最小と数学Ⅱで学習する定積分で，基本的には同じ考え方である「場合分け」について考察をしました。その目的は，生徒にとって一見難しそうに思えても，以前に学習している発想で解決できることを経験させて，思考の整理を行わせるためです。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

２次関数Ｙ＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃのグラフ，つまり放物線がｘ軸と異なる２点Ａ，Ｂで交わるとき，そこにさまざまな図形的，計量的な考察ができる。たとえば，ｘ軸が放物線によって切り取られる線分の長さ，ｘ軸と放物線によって囲まれる部分の面積やそれに内接，外接（内接，外接の意味については本文で説明）する正三角形，正方形や円の面積である。　本稿では，これらの基本図形の長さや面積が，a, b, cでどのように表されるか、特に とaとＤ（＝ｂ2-4ac）でどのように表されるかを考察した。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

積分は数Ⅱで学ぶ単元であり、様々な事象を考えるうえで必要不可欠な概念である。そして、積分には２種類あり、それは定積分と不定積分である。しかし、定積分の構成を知っている人は多くはない。まずはこの2種類の積分を見てみよう。

大阪府東洋学園高等専修学校教諭　松岡世伍

放物線上の異なる２点での２本の接線について，放物線とで囲まれる図形の面積を求める問題は定積分の代表的な問題の一つである。そのとき，２接線の交点のｘ 座標で場合分けして定積分をするが，この交点に注目したとき，これはどのような軌跡になるのか気にかかる。　本稿では，放物線上の異なる２点における２接線の交点について，２接線のなす角が一定のときと放物線と２接線の囲む図形の面積が一定のときの軌跡を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ｘｙ平面上に単位円C : x2＋ｙ2＝１と２直線ｙ＝－１，ｙ＝ｋ（ｋ≧１）があり，直線ｙ＝ｋ（ｋ≧１）上に動点P(p,k)(p≧０)があるとする。このときPから単位円Cに接線ｌを引き，これら(単位円Ｃ，２直線ｙ＝－１，ｙ＝ｋ（ｋ≧１），接線ｌ)とｙ軸で囲まれる図形の面積Ｓｋの最小値を考えるとき，kの値の変化に伴って最小値をとるpの値はどう変わるか，つまり，kの値の変化に伴って，最小値をとる直線ｙ＝ｋ（ｋ≧１）上の点Pの位置はどのように変わるかについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数列の和を表すのにΣという記号を使う指導をする。それまでは，足す，総和をとるという実感を伴うa1＋a２＋a３＋………＋aｎという書き方であったが，「……」という曖昧さの除去や表記の簡略化ができる記号Σを学習させる。これも生徒にとってはセンセーショナルな記号であろう。本稿では，Σ記号に慣れ，Σ公式を身につけ，Σ公式同士にある相互関係を生徒に見て欲しいと思うことについて考察した。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

本稿では、円弧と円の面積を微分と積分を用いて証明してみたいと思う。

大阪府東洋学園高等専修学校教諭　松岡世伍

生徒に好評であった実践事例について２つ紹介したい。１つ(実践事例Ⅰ)は，数列の極限について，｢くくり出し｣による方法と｢分子の有理化｣による方法の比較を行った事例である。もう1つ(実践事例Ⅱ)は，定積分と面積の関係 について，導関数を考える理由を結果からさかのぼることで把握させ，その証明を理解しやすくした事例である。

山口県立岩国高等学校　西元教善

以前，『教員研修を兼ねた大学入試問題研究⑴～東大の問題を中心にして～』を本サイトで紹介した。本校では進路指導部の管轄のもとで，各教科(国･地歴･数･理･英)の教員が自己研修を兼ねて夏季休業中に研究する。これは平成17年度から始まり，東大，京大，センター試験，本校の生徒の進学希望の多い広島大あるいは山口大の問題中心に指導のための研修を行うものである。ここでは，筆者の担当した2011年度のセンター試験と広島大学の問題(各１問)について，紹介する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

センター試験数学過去問題集。2014年度追試験(数学II)第2問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

H20 センター試験 教科書数学ＩＩ・５章　微分と積分　１節　微分係数と導関数　１　微分係数　２節　導関数の応用　３　関数の最大・最小　3節　積分　３　定積分と面積。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2015年度本試験(旧課程数学II・B)第2問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

入試問題を解くことによって、図形の性質やいくつかの解法を考え整理していく。今回は、２００４年度の順天堂大学（医学部）の問題から放物線と２本の接線の交点を中心に面積の公式を考察していく。

山梨県立吉田高等学校　長田茂

センター試験「高校数学」過去問題集。2010年本試験（数学II・Ｂ）第2問内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部

センター試験「高校数学」過去問題集。2011年本試験（数学II・Ｂ）第2問内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2010年度追試験（数学Ⅱ) 第2問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2012年度本試験（数学Ⅱ) 第2問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2011年度追試験(数学Ⅱ)第2問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2012年度追試験(数学Ⅱ)第2問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2013年度本試験(数学Ⅱ)第2問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2009年度追試験（数学Ⅱ) 第2問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2010年度本試験（数学Ⅱ) 第2問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2011年度本試験（数学Ⅱ) 第2問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

ニューサポート高校「数学」vol.20　特集：集中連載　先輩，ここどげん教えると？Part 2（2013年秋号）より。座標空間の問題は，使える道具が少ないこともあり，定型のものを除くと難しいものが多い。

開成中学校・高等学校教諭　井手健宏

「高等学校数学実践事例集」より。円錐の体積を，無限の直円錐を考えその総和として，球の体積を求めたのが，イタリアのカヴァリエリである。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

稲永善数

「高等学校数学実践事例集」より。円柱から円錐をくり抜く，アルキメデス・・・私の「円」をだいなしにするな！，球・円錐・・・積分を用いて。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。必要な部分を利用していただければと思います。

稲永善数