拙稿『円に内接する四角形の２本の対角線と辺の作る４つの三角形の内心について～向かい合う２つの内心を通る直線は辺をどのように比に内分するか～』において，内接四角形の２本の対角線の長さを４辺の長さを使って表した。そのときには言及しなかったが，その式に少し手を加えると対角線の長さの比が４辺の長さを用いて簡単に表せる。　本稿では，そのことを使って内接四角形の２本の対角線についてその大小関係について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

新課程の数学Ａに作図問題が加わった。中学で学んだ作図と何が違うのか。実は数Ａの作図問題の背景には数の拡大や方程式の解など代数学に繋がる内容がある。ここでは生徒から予想される質問に代数学の知識を踏まえて回答していく。

埼玉県立浦和東高校　石橋信夫

長さ１が与えられたときの √ｎ（ｎは自然数）の作図方法から始めて，２次方程式x2±ax-b＝０（a，ｂは自然数）の正の解の作図法，１辺の長さが１の正五角形の作図法について教科書で扱われている作図法とは異なった方法で作図してみた。作図指導の一助になれば幸いである。長さ１が与えられたときの √ｎ（ｎは自然数）の作図方法から始めて，２次方程式x2±ax-b＝０（a，ｂは自然数）の正の解の作図法，１辺の長さが１の正五角形の作図法について教科書で扱われている作図法とは異なった方法で作図してみた。作図指導の一助になれば幸いである。

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

同じ問題であっても、異なった分野の内容を使って解いたり証明したりできることがある。特に図形の場合は、数学A｢図形の性質｣と数学Ⅱ｢図形と式｣、つまり初等幾何あるいは解析幾何として解く(証明する)ことができる。例えば、問題の分野の出自を明かさず｢大小2つの円が交わっているとき、2つの円の共通接線の2つの接点をA、Bとする。このとき、2つの円の共通弦の延長線は線分を2等分することを証明せよ。｣という問題を生徒に与えたら、生徒はどのように取り組むであろうか。本稿で考察してみたい。

山口県立徳山高等学校　西元教善

演習の時間(３年次生)で扱った｢円の性質｣に関わる入試問題を，数値を変更して適度の問題として定期考査に出題しようとしたとき，変更ごとに問題を解くことよりも問題を一般化したほうが問題作りに効果的であると思い，考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ａで作図を扱うようになった。これは新規の分野である。本県では公立高校入試(学力検査)には作図問題が必ず出題されているが,作図が高校で継続されて指導されることはこれまではなかった。作図という行為はセンター試験ではありえないが,２次試験で出題する大学はあるのか,そうであるのであればコンパス持参のことという山口県公立高校入試と同じ指示が必要であるが,そのような指示を出せば出題する可能性が高いことになり，特化した対策をするようになるのでそれもあるまい。しかし,新規内容は出題される可能性は高いであろうから,作図行為そのものは現実的でないことを考えると,作図手順を問う問題などが出されるのであろう。数学Ａの範囲に留まらず他分野とのコラボ問題として出題されることも考えられる。そこで,本稿ではベクトルと作図という異色のコラボ問題を考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

必修科目「数学基礎」の平面幾何の作図を扱ったときに作図をしている生徒を見ていて思いついた，コンパスだけでできる作図をいくつか紹介している。

東京都立六本木高等学校　直川朗

円に内接する四角形ABCDの対角線AC，BDは四角形ABCDを４つの三角形に分割する。対角線AC，BDの交点をOとするとき，この４つの三角形AOB，BOC，COD，DOAの内接円の中心，つまり内心をそれぞれI，J，K，Lとし，直線IKと辺AB，CDの交点をそれぞれP，R，直線JLと辺BC，DAの交点をそれぞれQ，Sとすると，点P，Q，R，Sは辺AB，BC，CD，DAをどのような比に内分するのであろうか。AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝dとするとき，AP：PB, BQ：QC，CR：RD，DS：SA，を辺の長さa, b, c, dを用いて表してみることにする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿『円に内接する四角形の２本の対角線と辺の作る４つの三角形の内心について～向かい合う２つの内心を通る直線は辺をどのような比に内分するか～』において，円に内接する四角形ABCD（AB＝a, BC＝b，CD＝c，DA＝d）の対角線AC，BDの交点を とするとき，４つの三角形AOB，BOC，COD，DOAの内心I，J，K，L，直線IKと辺AB，CDの交点P, R,直線P, R，直線JL，PR，直線JLと辺BC，DAの交点Q，Sに対し，AP:PB＝ｄ:ｂ，BQ：QC＝a:c，CR:RD＝b:d，DS：SA＝c:aであることを証明した。本稿ではこの結果を利用して，①PI：IO＝RK：KO，QJ＝JO＝SL:LOであること，②円に内接する四角形の２本の対角線と辺の作る４つの三角形の面積比，③ ②とブラマグプタの公式から円に内接する四角形の２本の対角線と辺の作る４つの三角形の面積について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ニューサポート高校「数学」vol．27（2017年春号）より。数学Aの「図形の性質」に「作図」が導入され，コンパスと定規で作図可能な図形について考察することが重視されているが，さらに「折り紙によって作図可能な図形は何か？」ということまで考えてみれば，より作図に対する考察が深まると考えた。

金沢大学附属高等学校　外山 康平

数学Ａで大小２つの円について，その位置関係，つまり小円が大円の内部にある，内接する，交わる，外接する，離れているという５つの状態を２円の半径と中心間の距離を使って分類する。それは２円の共通接線の個数分類に対応している。さて，２円が交わるときには，①中心間の距離，②２交点間の距離，③共通接線の接点間の距離，すなわち共通接線の長さという３つの距離が考えられる。本稿では，中心間の距離と２円の半径の間にどのような関係があるとき，２交点間の距離と共通接線の長さが等しくなるのかについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

円に内接する四角形(以後，内接四角形)については，４辺の長さが与えられていると，内角の大きさがわからなくても向かい合う角の和が180°であることと余弦定理を利用して対角線の長さを求めることができる。また，その結果から内角の余弦の値，正弦の値も求められるから，対角線で分割された２つの三角形の面積，ひいては内接四角形の面積が求められる。本稿では，具体的な例を通じて，これらの三角形の内接円の半径に潜む関係を見出してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

２つの円の位置関係は５つある。その中に｢外接｣,｢内接｣があり，残りの３つの関係：互いに外部にある，２点で交わる，一方が他方を含むという関係を分ける特徴的な状態となっていて，外接する条件，内接する条件は２円の半径と２円の中心間の距離についての等式（他は不等式）で表される。　本稿では，１つの円に内接する３つの円（うち２つは半径が等しい）が外接するとき，半径と中心間の距離の関係(等式)について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

《 Seeing is believing（百聞は一見に如かず）》という諺があるが，数学ではある意味《 Seeing is understanding（見ればわかる）》ということが往々にしてある。正式な証明ではないが，いわば視覚的な関係的理解である。本稿では，円周角の定理や接弦定理の証明において，図を見てその証明の本質やその流れが理解できるようになる授業について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

数学Ａで「接弦定理（接線と弦のつくる角の定理）」を扱う。これは，「円の接線とその接点を通る弦のつくる角は，その角の内部にある弧に対する円周角に等しい」というものである。もちろん，これは平面上のことであるが,空間内で考えて拡張するとどうなるだろうか。本稿では，空間バージョンの接弦定理について考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

本サイト掲載「和算を題材にした数学の話題」（五十嵐英男先生）で，和算に関する40年前の東大の入試問題が取り上げられていた。それは，円壱の半径を１とするとき，円弐，円参，円四の半径を求める問題である。拙稿「『和算を題材にした数学の話題』での提起問題に答える～円四の半径について～」で，円四の半径までは求めた。すると、その次の「円五の半径」を求めてみようとするのは至極当然な流れであろう。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

新学習指導要領では「課題学習」が新規に導入される。数学Ａではどのようなことが課題学習として考えられるか，平面図形の作図をテーマに考察してみた。

山口県立岩国高等学校　西元教善

(新旧の指導医要領では数学Aの「平面図形」について)｢理解｣を深める姿勢は同じであるが，｢処理｣が｢活用｣に変化し，数学活動の積極性を求めるようになった。また，｢(関係的に)わかって，できる｣ことから｢(関係的，論理的，記述的に)わかって，できて，使える｣ことへと質的向上を図っている。また，大きな違い(私にとって)は，｢証明｣を重視，意識していることである。｢関係的理解｣は必ずしも｢論理的理解｣や｢記述的理解｣とは限らず，厳密な論理－数学的な理解や記述まで要求されないことがある。新学習指導要領では｢証明｣を強く意識することで，それを要求しているように思われる。

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

本稿は「方べきの定理」における「方べき」の意味や、球について「方べきの定理」を考えたらどうなるかについての生徒の理解を確認する指導に関する考察である。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

円に内接する四角形において，向かい合う２辺が平行でないとき，それらを延長することで四角形の１辺をその１辺とする三角形ができる。そのときの他の２辺の長さや三角形の面積は，内接四角形の４辺の長さを使ってどのように表されるのであろうか。本稿ではこのことについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

球（面）という立体は生徒もよく知っているが，その方程式は空間のベクトルの中で初めて扱われる。球面の方程式が未習であるからといって球面の性質が扱えないわけではないが，方程式を知っている方が球面について扱いやすい。そこで，本稿では，平面図形の性質がそのまま球面の性質に拡張され，「球面角の定理とその逆」という定理として成り立つのではないかと推測し，考察を試みたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

「解法は１通りではない」－数学の別解づくりを考えよう－稲永善数―平成15年4月作成より。ギリシャのアルキメデス，インドのバスカラ，生涯 π に魅せられたドイツのルドルフ，やがて，ニュートンやライプニッツによって微積分学が発明され，飛躍的に数学が発達する。この微積分学を用いた無限級数の和として π を表したのは，グレゴリー，飛躍的に円周率を求めたのは，シャープ などが代表格である。

稲永善数

「作図」が平成24年度から先行実施されている学習指導要領数学A「図形の性質」に入った。また，「解析・作図・証明・吟味」で構成される，いわゆる「作図題の完全解」については，学習指導要領にはそれに関する記述があるが，教科書での扱いは限定的である。本稿では「作図題の完全解」を「発展」と捉えながら，その中の「解析」に焦点を当て，その歴史，現状，機能について調査し，指導上留意が望まれる点を整理したい。

竜ヶ崎第一高等学校教諭　小林徹也

龍谷高校の教育の基本は、５プラス１ 「キャリア教育 ・ ライフスキル教育 ・ 学力向上 ・ グローバル人財育成・ＩＣＴ教育＋心の教育」を通し卒業までの3年間で、 社会で必要となる 「人間力」 を培っています。本稿では、本校での実践を紹介します。

龍谷中学校・高等学校　教育イノベーションセンター　中島一明

「解法は１通りではない」－数学の別解づくりを考えよう－稲永善数―平成15年4月作成より。黄金分割で有名な値について，代数的，解析的な方法で求めてみよう。

稲永善数

ニューサポート高校数学 2003年5月発行「大学入試トピックス」より。2003年度国公立大学前期入学試験の２次試験が終わりました。予備校などのホームページで気になる大学の入試問題をチェックしてみましたが，おおむね予想しうる範囲内の出題で，オーソドックスな問題が多いという印象でした。オーソドックスといっても易しい問題というわけではなく，受験会場では難しく感じられたのではないでしょうか。印象に残った問題の中から，解答を見ると易しそうですが，試験会場では難しく感じたのではないかと思われる証明問題を２つ紹介します。

開成高等学校教諭　井手健宏

平面図形領域が復活してしばらく経つが、どの教科書の記述も面白くない。定期考査でも求値問題で落ち着いてしまうことは誠に残念だ。それを改善したいと思い筆をとった。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

教科書，傍用問題集，参考書，その他を活用し，生徒の数学力向上のために，テストでよりよい問題を出題しようとする先生方は当然ながら多いと思う。センター試験の前身の共通一次よりも以前の，一期二期世代で，教員になっても校内模試を作成していた世代にとっては，既成の問題群の中から適切であると思われる問題を選択するのではなく，自ら問題を作るという｢問作｣を通じて数学教員としての資質が高まっていったと思う。本稿では，数学Ⅰの｢三角比｣と数学Ａの｢平面図形｣について生徒にとってよかれと思う融合問題を作る，いわば舞台裏を述べたいと思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

「よくわかる！　小・中・高　算数・数学のつながり」（2013年10月発行）より。教科書から抜粋した紙面を通して「どの学年で」「どんな内容を」「どのように学んでいるか」が概観できるようになっております。学習内容のつながりや扱いなどの概要の説明，学習段階・学習内容の一覧，学習内容に関する教科書紙面，学習内容に関する留意点（児童，生徒の実態，取り扱い上の配慮）などで構成。

東京書籍（株）　算数・数学編集部

「よくわかる！　小・中・高　算数・数学のつながり」（2013年10月発行）より。教科書から抜粋した紙面を通して「どの学年で」「どんな内容を」「どのように学んでいるか」が概観できるようになっております。学習内容のつながりや扱いなどの概要の説明，学習段階・学習内容の一覧，学習内容に関する教科書紙面，学習内容に関する留意点（児童，生徒の実態，取り扱い上の配慮）などで構成。

東京書籍（株）　算数・数学編集部

センター試験数学過去問題集。2015年度本試験(数学I・A)第6問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

「センター試験『高校数学』過去問題集（2007年6月作成）」より。2005年本試験（数学I・Ａ）第４問。この資料全体は，東京書籍「数学I」（2007－2012年度用）「数学A」（2008－2013年度用）の教科書の目次に準拠して，2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は，そのなかの１小問です。データは問題と解答を記載。授業の後，まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。

東京書籍（株）　数学編集部

３時間半の中で１題40点の設問を合計5題解く(200点満点)という形式になっている北海道高等学校数学コンテストの問題の中の１つ。

北海道算数数学教育会高校部会代数解析研究会

３時間半の中で１題40点の設問を合計5題解く(200点満点)という形式になっている北海道高等学校数学コンテストの問題の中の１つ。

北海道算数数学教育会高校部会代数解析研究会

「センター試験『高校数学』過去問題集（2007年6月作成）」より。2007年本試験（数学I・Ａ）第３問(1)(2)。この資料全体は，東京書籍「数学I」（2007－2012年度用）の教科書の目次に準拠して，2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は，そのなかの１小問です。データは問題と解答を記載。授業の後，まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。

東京書籍（株）　数学編集部

2011年1月に実施された北海道高等学校数学コンテストの第２問。

北数教高校部会代数解析研究会

センター試験数学過去問題集。2012年度追試験(数学Ⅰ)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2012年度本試験（数学ⅠＡ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

１．円と相似比，２．図形と方程式（正の解），３．黄金分割（中末比），４．面積等分，５．面積等分その２，授業プリントなどでご活用いただけます。

福島県立橘高等学校　本間正幸