次期教育課程において，数学Aでは｢整数｣を扱うようになる。整数において｢素数｣の性質は重要である。素数そのものは具体的に知っていても，それを問題に活用するには，素数の性質，自然数との関わりを十分理解する必要がある。そこで，数列のなかで｢素数｣の性質を考えさせる題材を考案したので紹介したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ニューサポート高校「数学」vol．32（2019年秋号）より。験数楽者です。苦しいときには数学の世界に逃げ込み，日々数学からクールな生き方を教わってます。数学は数楽。知恵の凝縮。今回は，数楽の知恵からチカラをもらえるイメージを二つ紹介しましょう。

明治大学理工学部数学科 教授　矢崎成俊

等差数列と等比数列の和の公式の証明は、どの教科書も判で押したように同じ方法で証明されている。ということは、その方法が最もよいという支持を得ているということなのだろう。しかし、生徒にとって<ruby>より<rt>・・</rt></ruby>わかりやすい証明方法はないのだろうか？ 本稿では、この点について考察してみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

数列は、知的好奇心さえあれば、学べるので、日頃数学に意欲が無い生徒でも挽回するチャンスかもしれない、教員もそのつもりで、いつもより楽しい気分で授業をしたいものである。教科書に書かれていない話題を色々と集めてまとめてみた。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

2つの等差数列の共通項を左から順に並べた共通数列の一般項を求める問題では、数列の項番号が1から始まる自然数であることに注意する必要がある。本稿では、例題の解法をあてはめたときに｢正解｣になる例、｢不正解｣になる例を示しながら、共通数列の一般項について考察する。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

A1＝aと漸化式an＋1＝ranで定められる数列{ an} は初項 a，公比 rの等比数列である。　本稿ではRが原点周りの回転を表す行列，すなわち　R＝（cosθ―sinθ　sinθcosθ）のとき，一般項はどのように表されるのか，また，初項から第ｎ項までの和はどのように表されるのかについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

授業での説明やテスト問題などは提示の仕方の如何によって，生徒にとっては同じ内容であってもわかりやすかったり，わかりにくかったりする。本稿では，同じ問題でも提示の仕方で難易度に違いが出てくる問題を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

東京書籍の令和元年度版『数学大学入試問題分析(監修：木部陽一)』の中の信州大学の入試問題「初項aで公差 dの等差数列の第１項から第 n項で与えられるデータの平均と分散を求めよ。」を題材にして①初項aで公比 rの等差数列の第１項から第n項で与えられるデータの平均と分散 ②等比数列で与えられるデータxにおいて であるとき，n→∞とするときの極限　③初項１,公差２,項数ｎの等差数列のデータと初項１,公比２,項数ｎの等差数列のデータの共分散・相関係数，ｎ＝10のときの相関係数の値ついて考察をしてみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

２つの等差数列の共通項を小さい順に並べてできる数列は等差数列となる。一方，非共通項を小さい順に並べてできる数列や，共通項と非共通項のどちらかにある項を小さい順に並べてできる数列は，等差数列にならないために扱われることがないようであるが，これは興味ある題材である。そこで本稿では，東京書籍「ニューアクションβ 数学Ⅱ+Ｂ」（2012年度発行）の例題を題材として，上記の数列について考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

教科書では、「直前の項に公比を掛けると直後の項になる」という等比数列の定義や等比数列の性質を使い、｢中抜け現象｣を印象づける求め方で初項a、公比rの等比数列の初項から第n項までの和Snを求めている。本稿では、教科書とは別の方法で、等比数列の和の公式の導き方を考える。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

A2＋an－1b＋an－2b2＋……＋abn－1＋bnを求める時どのようにするであろうか。もちろん、変形して等比数列の和の公式を使って構わないのであるが、この和について別の視点で，つまり，ある漸化式の一般項として和を求めることを考えてみたい。また，このことから等比数列の和について，公比をかけて差をとって１－(公比)で割るという方法以外の求め方を考えてみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

等差数列｛an｝ の初項から第n 項までの和 の最大値を求めるときには，正の項のすべての和を求めればよい。場合によっては 0 になる項もあるが，そのときは正の項のすべての和＝0 以上の項のすべての和である。つまり初めて負になる項の直前までの項をすべて足せばよい。これをもっと納得できる形で提示するには，「数列の和と一般項」の指導後の方がよいのではないかと思う。また，等差数列の和の最大と並行して等比数列の積の最大を考えさせると，和と一般項の関係や積と一般項の関係がより鮮明になるのではないかと思う。本稿では，等差数列の（初項から第ｎ 項までの）和の最大と等比数列の（初項から第ｎ 項までの）積の最大について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

高校入試問題の中には少し手を加えれば，高校の題材として十分使えるものがある。拙稿『高校入題の活用⑴～直線の方程式，円の方程式～』では，同じ問題であっても中学生には中学生の解き方が，高校生には高校生の解き方があるが，高校では中学校の場合をより一般化して考察することができることがあるという観点から考察した。本稿では，数列の和と方程式に係る入試問題を叩き台にして考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

中学校の数学の題材として，というよりも高校入試問題としてよく扱われる問題として｢カレンダー問題｣というのがある。つまり，カレンダーを題材に規則性を発見させ，そこに関連することを扱う問題である。このカレンダー問題を題材にして，ある数列の一般項を求める問題を考察した。偶奇性の処理，ガウス記号での適切な処理を通じて，高校生にそれらの復習，定着を図れる問題として，また，興味を与える問題として，その考察を御覧いただければ幸いである。単純，素直な数列であるが，考察に弾力のある思考力が求められるので，進んだ生徒にとっては格好の問題ではないかと思う次第である。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

自然数の折り返し数列の一般項について(1)では，中学校のカレンダー問題を題材にして，数列1,2,3,4,5,6,7,14,13,12,11,10,9,8,15,16,17,18,19,20,21,28,27,26,25,24,23,22,29,30,31,…の一般項を，さらには，それを一般の奇数ｍにした数列，つまり，７つずつの折り返し数列からｍ個ずつの折り返し数列1,2,3,・・・，m，2m,2m-1, ・・・，m+1,2m+1,2m+2,2m+3, ・・・，3m,4m,4m-1,4m-2, ・・・，3m+1,・・・の一般項を考察した。まだ，ｍが偶数の場合，ｍが自然数の場合という一般化や折り返しを長方形状にするのではなく三角形状にするという拡張もある。本稿では，これら３つのことについて考察するものである。

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

自然数の累乗の和を求めるときに、kについての恒等式を用いる場合が多いのですが、この方法だと応用がきくものの自然数の和を求めた発想とはギャップがあり、生徒には唐突なイメージを与えるようです。そこで、パスカルの三角形の性質を利用する方法について述べています。

東京学芸大学附属高等学校教諭　大谷晋

｢整数｣は数学Ａの｢整数の性質｣で扱われるが，数学Ｂの｢数列｣でも整数の数列として扱うことができる。特に数列の場合には，個々の整数としてではなく無限集合，整数全体の集合Ｚの部分集合としての整数という捉え方ができる。整数の性質で｢素数｣,｢合成数｣を扱う。当然のことではあるが，(自然数の)奇数列では２以外の素数がすべて含まれ，(自然数の)偶数列では，素数は２だけでその他はすべて合成数であるという見方ができる。数列の和を活かして，数列の各項がすべて合成数であることが説明できる例はないだろうか。その一例に数列10001,100010001，100010001001，10001000100010001,……がある。どのような理由で各項がすべて合成数になるのかを考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

等差数列の和の問題として，両端が自然数である閉区間内にある分母が等しい既約分数の和を求めさせるものがある。　このように，分数ｍ／ｎにおいて分母ｎが素数であるかそうでないかによって，既約分数の個数や総和の求め方に変化が生じる。ここに数学Ａの「整数の性質」を意識する必要が生じてくる。　自然数の正の約数の個数や総和を考えるとき，素因数分解，場合の数，等差・等比数列の和の公式Σ公式等が関連するので，既習事項の確認やその定着に有効であるといえる。　本稿では，そのような観点から，両端が自然数である閉区間内にあって，分母が等しい既約分数の和について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

初項a（＞０），公差d（＜０）の等差数列{an }の和Snの最大値を求めるとき，簡単に求めようとすればan>０である最大の自然数n０を求めれば，n＝n０ときSnは最大となる。あるいは，Snがnの２次式であることから，Sn＝p(n－q)２＋r（p＜０，q＞０，r＞０）と平方完成して，qに最も近い自然数n０を求めれば，そのときSnは最大となる。an＝０を解いたときのnとqは異なるが，an>０を満たす最大の自然数n１とqに最も近い自然数n２は一致する。本稿では，等差数列の和Snが最大になるときについての一般的な考察をする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

最近、中学校から生徒に高校の授業の体験をさせたいとのことで、高校から教員が中学に出向いて授業を行うことが流行っている。埼玉県では、これを出前授業と呼んでいる。しかし、中学の２年生か３年生を対象にした内容で授業を考えなければならないので、工夫を必要とする。今年度は、私がやることになったので数列を取り上げてみることにした。その実践を紹介したい。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

大学入学共通テストにおける記述式問題は先送りになったが，いずれこのような形式で出題されるので現高１生も準備しておく必要がある。よくある問題形式は「花子さん，太郎さん」あるいは「花子さん，太郎さん，先生」による対話形式によるものである。タイトルの「共通テストの記述式問題を意識した定期考査問題」は，高１生を対象にしたものである。生徒は，模試で「花子さん，太郎さん，（先生）」による対話形式による問題を経験しているが，これまでにない問題形式に戸惑った生徒もいたであろうと思われるので，定期考査でも慣れさせておく必要性があると思い，出題してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/detail/40776/

山口県立光高等学校　西元教善

数列の和を表すのにΣという記号を使う指導をする。それまでは，足す，総和をとるという実感を伴うa1＋a２＋a３＋………＋aｎという書き方であったが，「……」という曖昧さの除去や表記の簡略化ができる記号Σを学習させる。これも生徒にとってはセンセーショナルな記号であろう。本稿では，Σ記号に慣れ，Σ公式を身につけ，Σ公式同士にある相互関係を生徒に見て欲しいと思うことについて考察した。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

命題「Ｎ＞10001ならばＮ＞10000」は真である。しかし，その逆「Ｎ＞10000ならばＮ＞10001」は偽である。しかし，log103＝0.4771とするとき，３ｎ＞10001を満たす自然数ｎを求める問題では，３ｎ＞10000を解いて求める。問題集にあるそのような解答を見てその解法に疑問を持った生徒がいた。確かに「３ｎ＞10001を満たす自然数 n は，３ｎ＞10000を満たす。」というのであれば納得できるが，「３ｎ＞10000を満たす自然数nは，３ｎ＞10001を満たす。」というのは即座には納得しがたいというのである。　本稿では，この問題について生徒に納得がいくような説明と一般的な考察をする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

パスカルの三角形を見て気づくことや数列の和との関連、三角形n倍角の公式との関連について触れ、この題材は数学の不思議さや面白さを楽しめ、発展して探究することができる題材であると述べている。

東京学芸大学附属高等学校教諭　大谷晋

「センター試験『高校数学』過去問題集」より。2000年本試験（数学I・Ａ）第３問。この資料全体は，東京書籍「数学 B 」（2008－2013年度用）の教科書の目次に準拠して，2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は，そのなかの１小問です。データは問題と解答を記載。授業の後、まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。

東京書籍（株）　数学編集部

「センター試験『高校数学』過去問題集」より。2000年追試験（数学I・Ａ）第３問。この資料全体は，東京書籍「数学 B 」（2008－2013年度用）の教科書の目次に準拠して，2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は，そのなかの１小問です。データは問題と解答を記載。授業の後、まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2013年度追試験(数学ⅡＢ)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

「センター試験『高校数学』過去問題集（2007年6月作成）」より。2003年追試験（数学I・Ａ）第３問(1)(2)。この資料全体は，東京書籍「数学A」（2008－2013年度用）「数学B」（2008－2013年度用）の教科書の目次に準拠して，2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は，そのなかの１小問です。データは問題と解答を記載。授業の後，まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。

東京書籍（株）　数学編集部

H20 センター試験 教科書数学Ｂ・１章　数列　１節　数列　２　等差数列　６　和の記号Σ　2節　漸化式と数学的帰納法　１　漸化式。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2009年度本試験（数学ⅡＢ) 第3問この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　TEN管理課

センター試験数学過去問題集。2010年度本試験（数学ⅡＢ) 第3問この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　TEN管理課

センター試験数学過去問題集。2011年度本試験（数学ⅡＢ) 第3問この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　TEN管理課