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数学が苦手な生徒にとっては，当然であるが，方程式より不等式の方がわかりづらい。そのため，不等式の表す領域を図示する問題では，境界線が仮に描けたとしても，その上側なのか下側なのか，右側なのか左側なのか，内部なのか外部なのかがよくわからない。本稿では，不等式の表す領域の図示指導について，数学が極めて苦手な生徒目線での解説を試みたい。

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拙稿「コーシー・シュワルツの不等式(Ⅰ)」 では，「a _i ，x _i それぞれの平方の和の積はそれぞれの同じ番号の項の積 a _i x _i の和の平方以上」が成り立つことを（等号成立条件も含めて）示した。このように議論を進めていけばよいという納得感のある証明であったと思うが，欠点は高校生にとって計算量が多いということである。そこで，本稿ではもっと簡潔明瞭な証明を考察する。

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ある程度数学的思考力があると思われる生徒であっても基本 ―例えば定義― が徹底していないため，それなりの程度の問題を解いて（証明して）いるときに初歩的な疑問に躓き，悩むことがある。本稿では，ベクトル分野の問題を学習後しばらくして，解いていた生徒が疑問に思ったことを題材にして基本の徹底を図る必要性の考察を行う。

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本稿では，４数a,b,x,yについてのコーシー・シュワルツの不等式を用いて，６数a,b,c,x,y,zについてのコーシー・シュワルツの不等式を証明すること，さらにはその発想を数学的帰納法での n＝kから n＝k＋1を導く過程に使い，２以上のすべての自然数ｎに対して，２つの数列{ａ_n},{ｘ_n}それぞれの項の平方の和の積が，それぞれの数列の同じ番号の項の積の和の平方以上あることなどの証明について考察する。

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本稿では，楕円と双曲線について，それぞれの定義と余弦定理を用いて極方程式で表すことを考える。また，放物線についてもその 定義と余弦定理を用いて極方程式で表すことを考える。

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同じx，yで表された２次曲線であっても，極をどの点にとるかによって，極方程式の表し方は変わる。本稿では，極をどこにとるかによって，極方程式がどのように表されるかについて考察する。

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　高校で扱う平面座標には，直交座標と極座標がある。前者は点Pの位置をその点からx軸，y軸に下ろした垂線の足の座標である x座標とy座標の対(x，y)で表し，後者は極Оからの距離OP＝ｒとOPと始線の正の向きとのなす角(偏角)θの対(ｒ，θ)で表す。
　本稿では，xy平面上の２次曲線，つまり，放物線，楕円，双曲線について，極方程式で表すとどのように表されるかについて，具体的な例を通じて考察する。

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　数学Ⅱの｢式と証明｣で不等式の証明を扱う。その中で，｢相加・相乗平均の関係｣や｢コーシー・シュワルツの不等式（不等式名は教科書では扱っていない）｣を扱う。ともに両辺の差の式変形を通じて，(　　)² を作れば証明が完了し，同時に等号成立条件も求められる。「式と証明」という単元名が示すように式変形が主であり，関数やグラフとして捉えることはしない。しかし，関数と捉えてグラフを描くことで，その不等式の持つ意味を視覚的に理解させるという指導法も考えられる。
　本稿では，「相加・相乗平均の関係」や「コーシー・シュワルツの不等式」をグラフ化し，その意味や等号成立条件の視覚的理解を試みる。

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　不等式の証明，例えば，不等式 Ａ≧Ｂを証明するときは Ａ－Ｂ≧０を示すことが多い。不等式の証明の直前には等式の証明を扱うが，そこで等式Ａ＝Ｂの証明の仕方には １ Ａ＝……＝Ｂ　∴Ａ＝Ｂ，２ Ａ＝……＝Ｃ，Ｂ＝……＝Ｃ　∴Ａ＝Ｂ，３> Ａ－Ｂ＝……＝０　∴Ａ＝Ｂという３つがあることに言及し，教科書の例題等では主に １ ，２ を扱っている。
　一方，不等式の証明方法についてはこのような記述はない。できれば同様に，Ａ≧Ｂを証明する方法として １ Ａ≧……≧Ｂ　∴Ａ≧Ｂ， ２ Ａ－Ｂ＝……≧０　∴Ａ≧Ｂ， ３ Ａ≧０，Ｂ≧０のとき，Ａ²－Ｂ²＝……≧０　∴Ａ≧Ｂ などがあることに言及しておけばよいと思う。
　よくある生徒の勘違いに，証明すべき不等式 Ａ≧Ｂ をもとに変形して，(　　)²≧０等に至ることで証明できたとすることがある。本稿では、不等式の証明を本質的に理解させ，定着させるために必要なことがらについて考察する。

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三角関数の加法定理は，下位層の生徒にとってその証明の理解が困難なことが多く，定理の定着もかんばしくない。下位層の生徒に対しては，暗記して使えるようになればそれで十分という教員もいるが，生徒にとって，理解の手がかりさえないものを丸暗記するのは大変である。 本稿では，下位層の生徒が三角関数の加法定理の証明を少しでも理解し，そこで得られた断片的知識でもよいからそれらをもとに記憶し，使えるようになることを期待した指導を考察してみたい。
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