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資料室 高等学校 数学の広場

資料室 授業に役立つ資料

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  1. 1 不等式の表す領域の図示指導について~数学が苦手な生徒のために~ 2020年6月26日 お気に入りに追加
    • 指導資料 
    • 高
    • 数学 

    数学が苦手な生徒にとっては,当然であるが,方程式より不等式の方がわかりづらい。そのため,不等式の表す領域を図示する問題では,境界線が仮に描けたとしても,その上側なのか下側なのか,右側なのか左側なのか,内部なのか外部なのかがよくわからない。本稿では,不等式の表す領域の図示指導について,数学が極めて苦手な生徒目線での解説を試みたい。

    ※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立光高等学校 西元教善

  2. 2 コーシー・シュワルツの不等式(Ⅱ)~ベクトルの内積,三角関数の利用~ 2020年6月19日 お気に入りに追加
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    • 高
    • 数学 

    拙稿「コーシー・シュワルツの不等式(Ⅰ)」 では,「a i ,x i それぞれの平方の和の積はそれぞれの同じ番号の項の積 a i x i の和の平方以上」が成り立つことを(等号成立条件も含めて)示した。このように議論を進めていけばよいという納得感のある証明であったと思うが,欠点は高校生にとって計算量が多いということである。そこで,本稿ではもっと簡潔明瞭な証明を考察する。

    ※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立光高等学校 西元教善

  3. 3 基本の徹底について~平面ベクトルを題材にとって~ 2020年6月12日 お気に入りに追加
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    • 数学 

    ある程度数学的思考力があると思われる生徒であっても基本 ―例えば定義― が徹底していないため,それなりの程度の問題を解いて(証明して)いるときに初歩的な疑問に躓き,悩むことがある。本稿では,ベクトル分野の問題を学習後しばらくして,解いていた生徒が疑問に思ったことを題材にして基本の徹底を図る必要性の考察を行う。

    ※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

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  4. 4 コーシー・シュワルツの不等式(Ⅰ)~n=2からn=3,n=kからn=k+1へ~ 2020年6月5日 お気に入りに追加
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    • 数学 

    本稿では,4数a,b,x,yについてのコーシー・シュワルツの不等式を用いて,6数a,b,c,x,y,zについてのコーシー・シュワルツの不等式を証明すること,さらにはその発想を数学的帰納法での n=kから n=k+1を導く過程に使い,2以上のすべての自然数nに対して,2つの数列{an},{xn}それぞれの項の平方の和の積が,それぞれの数列の同じ番号の項の積の和の平方以上あることなどの証明について考察する。

    ※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/detail/40776

    山口県立光高等学校 西元教善

  5. 5 2次曲線を極方程式で表す(Ⅲ)~x=rcosθ,y=rsinθの代入法と余弦定理利用法~ 2020年5月29日 お気に入りに追加
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    本稿では,楕円と双曲線について,それぞれの定義と余弦定理を用いて極方程式で表すことを考える。また,放物線についてもその 定義と余弦定理を用いて極方程式で表すことを考える。

    ※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

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  6. 6 2次曲線を極方程式で表す(Ⅱ)~極によって極方程式はどう変わるか~ 2020年5月22日 お気に入りに追加
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    同じx,yで表された2次曲線であっても,極をどの点にとるかによって,極方程式の表し方は変わる。本稿では,極をどこにとるかによって,極方程式がどのように表されるかについて考察する。

    ※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

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  7. 7 2次曲線を極方程式で表す(Ⅰ)~具体例を通じ,極はどこにとればよいかを考察する~ 2020年5月15日 お気に入りに追加
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    • 高
    • 数学 

     高校で扱う平面座標には,直交座標と極座標がある。前者は点Pの位置をその点からx軸,y軸に下ろした垂線の足の座標である x座標とy座標の対(x,y)で表し,後者は極Оからの距離OP=rとOPと始線の正の向きとのなす角(偏角)θの対(r,θ)で表す。
     本稿では,xy平面上の2次曲線,つまり,放物線,楕円,双曲線について,極方程式で表すとどのように表されるかについて,具体的な例を通じて考察する。

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  8. 8 相加・相乗平均の関係,コーシー・シュワルツの不等式のグラフ化~視覚的に不等式,等号成立条件を理解する~ 2020年5月8日 お気に入りに追加
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     数学Ⅱの「式と証明」で不等式の証明を扱う。その中で,「相加・相乗平均の関係」や「コーシー・シュワルツの不等式(不等式名は教科書では扱っていない)」を扱う。ともに両辺の差の式変形を通じて,(  )2 を作れば証明が完了し,同時に等号成立条件も求められる。「式と証明」という単元名が示すように式変形が主であり,関数やグラフとして捉えることはしない。しかし,関数と捉えてグラフを描くことで,その不等式の持つ意味を視覚的に理解させるという指導法も考えられる。
     本稿では,「相加・相乗平均の関係」や「コーシー・シュワルツの不等式」をグラフ化し,その意味や等号成立条件の視覚的理解を試みる。

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  9. 9 両辺の平方の差を考える不等式の証明について~絶対にそうしなければできないのか,別証を考える~ 2020年5月1日 お気に入りに追加
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     不等式の証明,例えば,不等式 A≧Bを証明するときは A-B≧0を示すことが多い。不等式の証明の直前には等式の証明を扱うが,そこで等式A=Bの証明の仕方には A=……=B ∴A=B, A=……=C,B=……=C ∴A=B,> A-B=……=0 ∴A=Bという3つがあることに言及し,教科書の例題等では主に を扱っている。
     一方,不等式の証明方法についてはこのような記述はない。できれば同様に,A≧Bを証明する方法として A≧……≧B ∴A≧B, A-B=……≧0 ∴A≧B, A≧0,B≧0のとき,A2-B2=……≧0 ∴A≧B などがあることに言及しておけばよいと思う。
     よくある生徒の勘違いに,証明すべき不等式 A≧B をもとに変形して,(  )2≧0等に至ることで証明できたとすることがある。本稿では、不等式の証明を本質的に理解させ,定着させるために必要なことがらについて考察する。

    ※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

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  10. 10 下位層の生徒を対象にした三角関数の加法定理の指導~図形的考察による理解支援~ 2020年4月24日 お気に入りに追加
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    三角関数の加法定理は,下位層の生徒にとってその証明の理解が困難なことが多く,定理の定着もかんばしくない。下位層の生徒に対しては,暗記して使えるようになればそれで十分という教員もいるが,生徒にとって,理解の手がかりさえないものを丸暗記するのは大変である。 本稿では,下位層の生徒が三角関数の加法定理の証明を少しでも理解し,そこで得られた断片的知識でもよいからそれらをもとに記憶し,使えるようになることを期待した指導を考察してみたい。
    ※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/detail/40776/

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