三角関数の導関数を求めるにはlimsinθ／θ＝１が必要である。その証明にはsinθ＜θ＜tanθ(0＜θ＜π／2)を使う。三角関数の導関数が使えればlimsinθ／θ＝１, sinθ＜θ＜tanθ の証明は簡単である。 本稿では，limsinθ／θ＝１とsinθ＜θ＜tanθが同値であることを証明した。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数Ⅲの教科書ではtanxの導関数について，導関数の定義に従って求めていたかと思うと，合成関数の微分法を使い，さらには商の導関数を使っている。同じ三角関数の導関数を求めるのになぜこうもやり方が違うのか，学習時には混乱している生徒もいるようである。そこで，sinxの導関数を求めたときのように導関数の定義に従い証明してみることにする。それも複数のやり方で示してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

関数 ｙ＝xx(x＞０)のグラフを描かせようとすると，まず導関数 ｙ’の計算がネックになる。対数微分法で求めるのであるが，指数関数の導関数や実数乗の導関数との混同が見受けられることがある。本稿では，対数微分法の定着をめざしてｙ＝(sinX)sinx，ｙ＝(cosX)cosx，ｙ＝(sinX)cosx，ｙ＝(cosX)sinxの導関数およびそのグラフについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅲでの微分・積分では様々な公式が扱われる。積分は微分の逆演算であるから，微分での公式が導かれると即座に積分での公式が導かれたことになる。しかし，微分の指導の途中で積分に触れることなく一気に微分のことだけを済ませて，さらにその応用をしたあとで積分に入る。積分には不定積分，定積分があるが，不定積分を微分の指導の中で同時展開したらと思う。そうすれば，より微分の指導が効果的になるのではないかと思うからである。そうすることによって，数学Ⅲで微分を扱うときには，すでに数学Ⅱで積分を扱っているから，数学Ⅲで出てくる導関数の公式から即座に積分の公式が扱える。本稿では，そのようなことを中心に考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

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なにも数学Ⅲでの微分法に限ったことではないが，教科書では数学的な有用性をコンパクトに提示することがある。それは，同様なことを繰り返す退屈さや冗長さの回避や，以前あるいは直前に学習した内容を適用する場と捉えることができる。しかし，折角の有用性を感じさせる機会が，生徒には新規の方法を強要する苦痛になることもある。定義に従うと面倒であるとかを経験したうえで，そのやり方のよさ，ありがたみを感じさせると定着はよくなるのではないかと思う。効率性＝生徒の真の理解，納得という構図は必ずしも正しくはない。かといって時間的な制限があるから，悠長なこと，無駄なことは避けたいという考えもあるだろう。理想論になるかもしれないが，このあたりについて考察したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

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数学Ⅲの微分法において，三角関数の導関数を求める過程を重視するというよりはその結果，つまり公式を導いて，それを覚えさせて，道具としてフルに活用させることにウエイトが置かれているという印象を受ける。道具としてそれを当然の事実として使っていくという姿勢だけでなく，その道具がいかにして導かれるかということについて生徒は，複数の方法，しかも本当に腑に落ちたという実感とうまい処理のしかたの手際のよさの実感を得ながら前進しているのであろうか。何となく，消化不良のまま前へ前へと押しやられているのではないだろうか。その辺りの反省を踏まえた考察を行ってみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

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数学では，新規の概念や公式を作りその後の理論に備えるという展開をすることがある。そのために事前に準備しておくべき｢道具｣というのがある。教科書(数学Ⅲ)では，生徒の多くは実際に計算して確認をしたわけでもないのに表から数値を取り出し，これを eと書くことを何の抵抗もなく受け入れている。このような｢わかったつもりの理解｣でも本当によいのか，これよりは多少なりとも数学的な理解があるのではないかという思いがあり，本稿で考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

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自然対数の底ｅは，数列の極限値，あるいは無限級数の和としても表せる。さて，ｅを数列の極限値で考えるとき，数列の一般項は二項定理を使っても表されるが，ここに，異なるｎ個のものの中から異なるｒ個を取り出す組合せの数ｎＣｒや重複を許してｒ個を一列に並べる重複順列の数ｎrが現れる。これらの大小関係はｎr≧nPr≧nCrである。　本稿では，極限値について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

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数学Ⅲでは，そこで扱う微分・積分は数学Ⅱのそれに比べると扱う関数が多様になる。基本的には，数学Ⅱでは，xnの導関数の公式の求め方を理解し，記憶して使いこなせればどうにかなる。この公式は，数学Ⅲになると，二項定理を利用して指数が拡張される。その後，三角関数，対数関数，指数関数というように微分する関数の種類が多様になり，それぞれの個々の導関数を公式として覚え，関数全般についての導関数の公式(積・商の導関数，合成関数の導関数，対数微分法)を使って多様な関数の微分ができることが要求される。本稿は，タイトルにもあるようにxa, ax, xx の微分・積分について，その違いをしっかり教えたいという思いで書いたものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

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ｎを４以上の自然数とするとき，2ⁿ≧n²である。これは数学的帰納法の問題としてもよく扱われる。すると，nを４以上の自然数とするとき，n²／2ⁿ≦１である。ではΣk²／2kの値は のどのような式として表されるのか，それはｎ→∞ のとき収束するのか，収束するならばその値はいくらかということに興味・関心が持たれるであろう。そこで，このことについて考察することにした。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

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関数ｙ=xxのグラフと関数y=1／xxのグラフで囲まれる部分の面積について考察した。まず、xxと1／xxそれぞれについて０から１まで定積分した値を無限級数の和で表し、それを利用して関数ｙ=xxのグラフと関数y=1／xxのグラフで囲まれる部分の面積を無限級数の和で表した。　 レベルは高校の内容を超えるが、先生方の研究や指導の参考になる内容であると思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

鳥取県立米子東高等学校は，平成23年5月1日現在，生徒数は全日制課程普通学科普通科962名，定時制課程普通学科普通科57名，専攻科50名です。本稿では、『ニューアクションα』を使って行った平成23年6月13日の公開授業～平均値の定理の一般化～の一部を紹介します。

鳥取県立米子東高等学校　米江慶典

数学Ⅱで整式の除法を扱う。いわゆる筆算で割り算することもあれば，組立除法で計算することもある。また，１次式で割ったときの余りでは剰余の定理を使うこともある。整式Ａを整式ＢＱ(≠０)で割ったときの商Ｑと余り の間にはＡ＝ＢＱ＋Ｒ，Ｒの次数＜Ｂの次数という関係があるが，これに積の導関数の公式を使うと余りＲが求めやすくなる。数学Ⅱの問題として出題されているときは御法度かもしれないが，数学Ⅲを学習した生徒には別解として提示すれば参考になる。本稿では，ｍ，ｎを自然数として,ｍ＞ｎのとき，Ｘｎ−１を（Ｘ−１）ｍ で割ったときの余りについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

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