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本稿では，数列の極限の指導について述べる。極限については数学Ⅱでも扱うが，数学Ⅲでは無限大(∞)を扱うことが決定的に違う点である。数学Ⅲは数列の極限から始まるといっても過言ではないが，それまでの実数上での計算との違いを明確にした指導をしなければならない。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
前回、サイクロイドの媒介変数表示をする際の図を利用し、sinθ＜θ＜tanθであることを証明した。とは言え、多分に視覚的考察であり、数学的に厳密な証明とは言い難い。そこで本稿では、循環論法に陥らず図も使わず、漸化式で定義された数列を使うことで証明してみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら
山口県立徳山高等学校 西元教善
単位円上の点をx軸方向に平行移動した点をθだけ回転させる。本稿では、この操作を連続して行っていったときにつくられるn個の正方形の面積の平均値とその平均値における極限値を求めてみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら
山口県立徳山高等学校 西元教善
n→∞のとき，cosθ/２n→１であるが，nを1, 2, 3, ・・・とするときのcosθ/２nをすべて掛け合わせた無限積つまり n→∞のときの積cosθ/２・cosθ/２2・cosθ/２3・・・・・cosθ/２nの極限はどうなるのだろうか。 収束をするのかしないのか，するならばその値は何なのか。 ０＜θ＜π/２のとき０＜cosθ/２n＜１だから０＜cosθ/２・cosθ/２2・cosθ/２3・・・・・cosθ/２n＜１である。 このような事実も考え合わせてどのようなことがいえるのかについて考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
拙稿『１＋１/２＋１/３＋…＋１/ｎとloｇｎについて(1)』では数学Ⅲの「定積分と不等式」では，オイラーの定数を用いて考察した。本稿では，１＋１/２＋１/３＋…＋１/ｎとloｇｎについて，ともに無限級数の形に直して比較・考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
数列の和の中で，部分分数の差に分解して，｢相殺現象｣を利用して求める問題がある。本稿では，相殺現象を利用して の２重無限級数表示を行う。いろいろな数列の和，無限級数の和(２重Σも含めて)を求めるとき，「相殺現象」が現れると比較的求めやすい。参考になれば幸いである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
ｎを４以上の自然数とするとき，2ⁿ≧n²である。これは数学的帰納法の問題としてもよく扱われる。すると，nを４以上の自然数とするとき，n²／2ⁿ≦１である。ではΣk²／2kの値は のどのような式として表されるのか，それはｎ→∞ のとき収束するのか，収束するならばその値はいくらかということに興味・関心が持たれるであろう。そこで，このことについて考察することにした。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
拙稿「オイラーの定数とゼータ関数の関係についての一考察～進んだ生徒の興味・関心を起こさせる題材として～」（EネットH21.9.7掲載）で，オイラーの定数とゼータ関数について考察した。今回は，オイラーの定数を面積の和として，また線分の長さの和として，グラフから視覚的に捉えてみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
面積や体積を求めるとき，和の極限値として求める方法が「区分求積法」であるが，これが定積分と結びつくことで，ある種の数列の和の極限値が定積分で求められる。この数列の和の極限値は定積分でなければ絶対に求められないのか？という生徒からの質問があったので，これに答えるべく考察を行ってみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
数学Ⅲの数列の極限では，２項間の漸化式によって定められる数列の極限を扱っている。そうであれば，２次の正方行列のｎ乗の極限を扱ってもよいのではないか，つまり，数学Ⅲと数学Ｂのコラボがあるのなら，数学Ⅲと数学Ｃのコラボもありうるのではないかという思いで考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
9月7日付で，拙稿『オイラーの定数とゼータ関数の関係についての一考察～進んだ生徒の興味・関心を起こさせる題材として～』をＥ－ネットに掲載した。これはゼータ関数に関する和(無限和)についての考察であったが，では，積(無限積)ではどうなるのか？ と考えてみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
拙稿『オイラーの定数とゼータ関数の関係についての一考察～進んだ生徒の興味・関心を起こさせる題材として～』と『ゼータ関数表からの一考察(1)』では，ゼータ関数に関する無限和 を考察し，無限和から無限積という流れを経ているが，ゼータ関数表(表１)を眺めているとゼータ関数に関する無限和について，さらに興味を起こさせる題材を見つけることができる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
「はさみうちの原理」には不等式が絡んでくる。初学の生徒は，等式の証明になぜ不等式を使うのかという疑問を抱くであろう。確かにこれまで，等式の証明といえば，① Ａ＝･･･(→)･･･＝Ｂ ⇒ Ａ＝Ｂ② Ａ＝･･･(→)･･･＝Ｃ，Ｂ＝･･･(→)･･･＝Ｃ ⇒ Ａ＝Ｂ ③ Ａ－Ｂ＝･･･(→)･･･＝０ ⇒ Ａ＝Ｂという３パターンであったのでなおさらである｡ しかし，④ Ａ≦ＢかつＡ≧Ｂ ⇒ Ａ＝Ｂというような場合もある｡ 不等式で等式を証明することはあるが，④は生徒の認知度，定着度が低い｡本稿では，はさみうちの原理を使って証明する代表的な事例について，このような説明を加えたら生徒の理解がもう少し進むであろうと思うことを述べてみたい｡※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
関数ｙ=xxのグラフと関数y=1／xxのグラフで囲まれる部分の面積について考察した。まず、xxと1／xxそれぞれについて０から１まで定積分した値を無限級数の和で表し、それを利用して関数ｙ=xxのグラフと関数y=1／xxのグラフで囲まれる部分の面積を無限級数の和で表した。 レベルは高校の内容を超えるが、先生方の研究や指導の参考になる内容であると思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
拙稿「オイラーの定数を視覚的に捉える～面積の和として，線分の長さの和として～」では，オイラーの定数γの定義式に修正を加えて，曲線ｙ＝１／ｘと直線ｘ＝ｎ＋１，ｙ＝１／ｎで囲まれる図形の面積の無限和として考察できるようにした。そこで，γを「取り尽くし法」で計算すればどのようなことがわかるかについて考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
数学Ⅲで数列の極限を扱う。収束すること，発散することがわかりやすい数列もあればそうでないものもある。見た感じが似ていると先入観で混乱することもある。発散には,｢正(負)の無限大に発散する｣と｢振動｣とがあり，振動する数列の代表例は{(－1)ｎ}である。(－1)ｎを他のｎの式の中に組み入れて，他の振動する例が作れると同時に，収束する例，正(負)の無限大に発散する例も作れる。生徒の中には，(－1)ｎがあると，振動と判断する者もいるが，確かにそうなる場合もあれば，そうでない場合がある。そのような｢似て非なる例｣をいくつか挙げて，生徒の理解を深める考察を行ってみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
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数学Ⅲの数列の極限で，無限等比数列{ｒｎ}の極限を扱う。教科書では，ｒ＞１のときはｒ＝１＋ｈ(ｈ＞０)と表し，二項定理，第３項以降の正数の切り捨てで得られる不等式ｒｎ＞１＋ｎｈによって，ｎ→∞のとき，右辺→∞となることから，左辺ｒｎ→∞を示す。ただ，これについては，直観的，経験的に生徒は理解しているだろう。たとえば，電卓で２×２×２×･･････を計算するとき，何回か掛けるとオーバーフローしてしまう。また，同様に，0.5×0.5×0.5×･･････を計算すると，今度は何回か掛けると０になる。このような電卓遊びの中で，ｒ＞１のとき，ｒｎ→∞(ｎ→∞)，－１＜ｒ＜１のとき，ｒｎ→０(ｎ→∞)ということを実感していると思う。これは，電卓による数値的な理解である。これについて視覚的な理解をさせてみようと思い，Ｔｏｓｈｏ関数図形エディタの活用を試みた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
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数学Ⅲで無限級数を扱うが，その中で限級数の収束・発散と数列との関連についての考察がある。これについて生徒から質問があった。本稿では，この疑問についての指導を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
数式等で表されたものを，グラフを通じて｢見る｣ということは，数学的現象を理解する上で大切である。数列の極限については，収束・発散に関わる事実を理解して，式変形を通じてその極限を調べるが，その数列がどのような振る舞いをしながら，収束をする，発散をするということまでは調べない。教科書では，その導入部分で，簡単な例で，ｎ が１桁程度のときの点（ｎ，an） を平面に図示して，その収束のようすを視覚的に理解させている。しかし，それがもっと複雑になった場合のグラフは割愛され，主に式変形から極限を求めるようになっている。もちろんこの姿勢でよいのであるが，そこにそのようすを示すグラフがあれば，もっと動的な理解ができるのではないかと思い，BASICを使って，教科書の例や例題で取り上げられている数列の極限をグラフに表してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
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無限等比数列の極限の問題として，rn/ｒｎ＋1等を分母・分子に含む分数列の極限を扱う。このグラフは，不連続な点や定義されないｒ があり，関数の連続性を扱うには格好の関数のように思え，関数の連続性を扱う前に扱っておきたいという思いがある。視覚的理解をさせるために収束のようすをグラフで扱ってみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
数学Ⅲで，主に無限等比級数であるが，無限級数の和を扱う。また，これは発展になりますがe=∑1/n!という興味ある無限級数の和にも触れる機会がある。これを活用すれば，e=lim(1+1/n)nが無理数であることも証明できる。本稿では∑1/nnについて，評価や近似値を中心にして考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
数学Ⅲの「定積分と不等式」では，例題として １＋１/２＋１/３＋…＋１/ｎ＞log(ｎ＋１）（ｎは自然数），問いとして１/２＋１/３＋…＋１/ｎ＜logｎ（ｎは２以上の自然数）（東書数学Ⅲｐ.１５０）を扱う。本稿では，オイラーの定数を用いて，１＋１/２＋１/３＋…＋１/ｎとlogｎについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
ある関数をともに同じ値に収束する関数で挟み，はさみうちの原理でその関数も同じ値に収束することという考え方は，生徒にとってなかなか馴染めないものである。本稿では，数列{2nsin(1/2n)}の極限値について考察し，生徒の理解支援としたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
オイラーの定数γというのがある。その値は0.57721 56649･･･であり，それは現在のところ有理数とも無理数とも証明されていない。生徒は円周率 ,虚数単位 ,自然対数の底 についてはそれなりの知識と馴染みを持っているだろうが，進んだ生徒に，このγにも興味を思ってもらえないだろうかと思ったのがこの小論を書くきっかけであった。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
高３生にもなると数学力は多様化，多層化が進行している。高１生で学習し，当然わかって，できなければならないような問題から難関大学の難問まで，質問のレベルは様々である。最近の理系学部では数学ⅢＣを課さない所もあり，理系といえども数学ⅢＣの授業を受けない生徒もいる。生徒の要望，入試に即したカリキュラム編成のため，数学ⅢＣの選択者は減少し，理系として期待される数学力は質・量の両面で低下を余儀なくされている。 ※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm
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数学Ⅲで無限級数を扱う。形式的に無限数列の和を考えるのであるが，まず，これに生徒の感じるギャップがある。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm
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２項間の漸化式 a1=a, aｎ＋１=ｐaｎ＋ｑ（ｐｑ≠０）で定義される数列｛aｎ｝は，│ｐ│＜１という条件で，特性方程式α=ｐα＋ｑの解に収束する。では，３項間の漸化式で定義される数列｛aｎ｝は，ｐ，ｑがどのような条件を満たせば収束して，どのような値に収束するのかに興味，関心を抱く生徒もいるだろう。本稿は，そのような生徒を対象にした指導のための考察である。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
２項間の漸化式 a1=a, aｎ＋１=ｐaｎ＋ｑ（ｐｑ≠０）で定義される数列｛aｎ｝は，0＜│ｐ│＜１という条件で，特性方程式α=ｐα＋ｑの解に収束する。では，３項間の漸化式で定義される数列｛aｎ｝は視覚的にどのように説明できるだろうか。本稿では，このことについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
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自然対数の底e＝lim(1＋1/n)n ＝Σ1/n！が無理数であることはよく知られている。また，その証明には背理法が使われることも同様である。つまり，eが有理数であると仮定して議論を進めると0と1の間に整数が存在することになり，そこに矛盾が生じることから，eは無理数でなければならない。また，背理法でうまく証明できる理由の一つには階乗の性質がうまく機能していることが挙げられる。つまり，k=0,1,2,…,nのときn！k！がすべて自然数であることが0＜(整数)＜1という矛盾を導く。em＝Σ1/(n！)m（m∈N）は，m＝1のときeであり，それが無理数であることが背理法で証明できるのであれば，m≧2のときも同様に背理法で証明できるのではないかと予想され，本稿では，このことについて考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
生徒に好評であった実践事例について２つ紹介したい。１つ(実践事例Ⅰ)は，数列の極限について，｢くくり出し｣による方法と｢分子の有理化｣による方法の比較を行った事例である。もう1つ(実践事例Ⅱ)は，定積分と面積の関係 について，導関数を考える理由を結果からさかのぼることで把握させ，その証明を理解しやすくした事例である。
山口県立岩国高等学校 西元教善
授業で教える内容を超えて，教えてみたい内容，実践してみたいことをお持ちの先生は多いと思う。数学研究部などの部活動でそれを実践している場合もあるだろう。しかし，どうしても何かと眼先にある「受験」に拘束され，本来の興味ある数学から遠ざかってしまっている自分やそれを伝えきれないもどかしさを反省することもあるだろう。また，教科書以外の内容，受験に関わらないような内容に関心を示さない生徒も増えてきている。数学＝受験ではなく，未知の事柄に興味・関心を持って欲しいものである。
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
ニューサポート高校「数学」vol．22（2014年秋号）より。数列の漸化式というと，ついつい解くことばかりを考えてしまうが，解けない（あるいは，解かないで処理する方がベターな）漸化式の問題も多い。その代表格は，数列の極限の問題である。
開成中学校・高等学校教諭 井手健宏
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