x2の係数がa（＞０）である２つの２次関数のグラフとその共通接線で囲まれる部分の面積Sは，接点のx座標をα，β（α＜β）とすると， S＝ａ/12（β－α）3 であることはよく知られており，公式として活用している生徒もいる。では，x2の係数がa，ｂ（ａ＞ｂ＞０）である２つの２次関数のグラフとその共通接線で囲まれる部分の面積Ｓは，接点のx座標をα，β（α＜β）とすると，a，ｂ，α，βを使ってどのように表されるのであろうか。本稿では，議論を簡単にするため，共通接線がx軸である場合を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

定積分の応用では２つの放物線で囲まれた図形の面積を求める。さらに，その発展として放物線と３次曲線で囲まれた図形の面積を求める。共有点のx 座標を求め，その間でのグラフの上下関係を調べ，その区間で上方にある関数と下方にある関数の差を定積分する。関数が他の文字を含む場合には，その値の範囲によって上下関係が変化するために場合分けが必要になる。それぞれの場合に２曲線で囲まれる図形の面積は aでどのように表されるか，また，最大値・最小値は存在すればいくらであるかについて考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

「場合分け」とは，「ある基準に従って問題を細かく分けて，そこでは共通した扱いができるようにして問題を解決していくこと」といえますが，生徒にとってはどのような問題で，どのような場面で，どのように進めていくのか把握できていないことがあって，難しいという印象，面倒という印象を持っていることがあります。このような「場合分け」という問題解決に必要な発想が出てこないことがあるからです。また，そうすることはわかっていても具体的な方策がないということもあるでしょう。しかし，数学Ⅰではこのような「場合分け」の方策を経験しているのです。結局は，それが定着していないということなのかもしれません。数学Ⅱでは，定積分を扱います。単にその計算であればどうにかできても，そこに積分変数以外の文字が含まれるとできなくなることがあります。本稿では，数学Ⅰで学習した２次関数の最小と数学Ⅱで学習する定積分で，基本的には同じ考え方である「場合分け」について考察をしました。その目的は，生徒にとって一見難しそうに思えても，以前に学習している発想で解決できることを経験させて，思考の整理を行わせるためです。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

いわゆる『１/６ 公式』を一般化し，部分積分法を通じて数列の漸化式の問題として考察してみた。この程度であれば，入試問題として出題されれば手頃な問題となるのではなかろうか。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

俗称であるが，定積分の値を求める簡便公式として『１/６ 公式』，『 １/１２公式』がある。大学入試で，これを使ってよいのかどうかについて議論される公式ではあるが，計算が苦手な生徒にとってはありがたい公式である。さて，本稿では，特に １/１２公式を使えば簡単に処理できる問題を，東書数学Ⅱの演習問題(ｐ.233，３)をベースにして,追加問題として加えて考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿「1/12公式を使った問題例～東書数学Ⅱの演習問題をベースにして～」では，ある３次曲線にある点からちょうど２本の接線が引けるとき，その曲線と接線とで囲まれる部分の面積比について考察しました。本稿では，それとは別の３次曲線にある点から３本の接線が引けるとき，その曲線と接線で囲まれる３つの部分の面積比について，1/12公式を活用して考察しました。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

微分法と積分法は、もともと別のジャンルとして発達してきた数学である。それを、ニュートン、ライプニッツらが微積分の基本公式によって結びつけ今日に至っている。かつての高校数学では、そうした歴史的な経緯を踏まえ、積分法を区分求積法から導入する授業もあった。しかし、数列は数学Bであり、数列の極限は数学IIIにあるので、現行の指導要領で積分法を区分求積法から導入することは単純には難しい。では、どうしたら求積＝積分のイメージを指導できるのか？合わせて積分法の生かし方について考察したい。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

数学ⅡやⅢの積分の例題としてよく見られる「軸が直交している，同じ大きさの２つの円柱の共通部分の体積を求めと」という問題や，３つの円の共通部分の体積の問題について考察する。

慶應義塾高校教諭　新井田和人

２次関数Ｙ＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃのグラフ，つまり放物線がｘ軸と異なる２点Ａ，Ｂで交わるとき，そこにさまざまな図形的，計量的な考察ができる。たとえば，ｘ軸が放物線によって切り取られる線分の長さ，ｘ軸と放物線によって囲まれる部分の面積やそれに内接，外接（内接，外接の意味については本文で説明）する正三角形，正方形や円の面積である。　本稿では，これらの基本図形の長さや面積が，a, b, cでどのように表されるか、特に とaとＤ（＝ｂ2-4ac）でどのように表されるかを考察した。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅱで不定積分を扱うが，そこには次のような｢定数倍，和，差の不定積分｣の公式が出てくる。＝の意味、定数倍，和，差の不定積分の集合的証明、集合的な意識での問題解釈などについて。

山口県立岩国高等学校　西元教善

放物線C0:ｙ＝x2の下方にある点Ｐ(Ｘ，Ｙ)からC0に２本の接線が引けるが，この２本の接線とC0で囲まれる図形の面積ＳはＳ＝2/3(Ｘ2－Ｙ)3/2である。一般に，点Ｐ(Ｘ，Ｙ)から放物線Ｃ：ｙ＝x2 ＋ｂｘ＋Cに２本の接線が引けるとき，その２本の接線とＣで囲まれる図形の面積Ｓは，Ｆ（ｘ，ｙ）＝x2 ＋ｂｘ＋C －ｙとおくとき，Ｓ＝2/3Ｆ（ｘ，ｙ）3/2と表せるのであろうか。本稿では，このことについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

放物線では，その上にない点から接線が引けないことがあるが，３次曲線では平面上のどの点からでも少なくても１本，多くて３本の接線を引くことができる。ただし，放物線では下(上)に凸のときはその放物線より下(上)にある点からは必ず２本の接線を引くことができる。　本稿では，３次曲線上にない点からちょうど２本の接線が引けるときを考え，そうできるための条件や２つの接点の座標を中心に考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

生徒に好評であった実践事例について２つ紹介したい。１つ(実践事例Ⅰ)は，数列の極限について，｢くくり出し｣による方法と｢分子の有理化｣による方法の比較を行った事例である。もう1つ(実践事例Ⅱ)は，定積分と面積の関係 について，導関数を考える理由を結果からさかのぼることで把握させ，その証明を理解しやすくした事例である。

山口県立岩国高等学校　西元教善

積分では(微分でもそうであるが)，どの文字について積分(微分)しているか，つまり｢積分変数｣を意識させる必要がある。確かに，定積分は積分変数には無関係に，上端と下端で決まるが，複数の文字が混在している関数については，どの文字について積分しているかで結果が異なってくる。Xで積分することが多いために，他の文字(ｙ，t等)が混ざるとその処理に戸惑う生徒は少なくない。そこで，定積分を含む関数を求める問題を題材にして，生徒に｢揺さぶり発問｣をして，積分変数を意識させることを目的として，考察を行ってみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

「数学」シリーズ　使用実践集vol. 8（2014年10月作成）より。東京書籍の標準版教科書は，コンパクトな構成のおかげでリズムよく単元を終わらせて次へ進むことができるのが魅力です。ここでは，いくつか印象的だった授業を紹介します。

埼玉県立浦和高等学校　荻原 紹夫

センター試験数学過去問題集。2014年度追試験(数学II)第2問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

今回は放物線の問題4題を紹介する。各問題には解説を付して関連する事項や問題の背景などを記してあるので，さっそく問題に入ることとする。

東大寺学園中高等学校　本庄隆

センター試験数学過去問題集。2014年度本試験(数学Ⅱ)第2問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

入試問題を解くことによって、図形の性質やいくつかの解法を考え整理していく。今回は、２００４年度の順天堂大学（医学部）の問題から放物線と２本の接線の交点を中心に面積の公式を考察していく。

山梨県立吉田高等学校　長田茂

センター試験「高校数学」過去問題集。2010年本試験（数学II・Ｂ）第2問内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部

センター試験「高校数学」過去問題集。2011年本試験（数学II・Ｂ）第2問内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2010年度追試験（数学Ⅱ) 第2問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2012年度本試験（数学Ⅱ) 第2問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2011年度追試験(数学Ⅱ)第2問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2012年度追試験(数学Ⅱ)第2問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2013年度本試験(数学Ⅱ)第2問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2015年度本試験(数学II・B)第2問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2009年度追試験（数学Ⅱ) 第2問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2010年度本試験（数学Ⅱ) 第2問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2011年度本試験（数学Ⅱ) 第2問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2013年度追試験(数学Ⅱ)第2問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

[内容]直線・曲線の通過領域は論理と微分をはじめとする計算力の双方が身に付く古典的良問として，繰り返し入試問題の題材となっており，早めに理解しておくことが必須である。どうとらえるかによって3つの考え方が知られている。その3つをすべて理解しておくことが望ましいので，今回，それぞれの手法を再確認しておこう。特に第3の方法【同値法】と第2の方法【簾法】を身に着けなければならない。

東大寺学園中高等学校　本庄隆

センター試験数学過去問題集。2015年度本試験(数学II)第2問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験「高校数学」過去問題集。2009年本試験（数学II・Ｂ）第2問内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部

センター試験「高校数学」過去問題集。2009年追試験（数学II・Ｂ）第2問内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部