数学Ⅱで不等式の証明を扱うが，絶対不等式の証明では，両辺の差≧０等を示すのに２乗すると０以上となるという実数の性質を根拠とするので，数学Ⅰで学習する平方完成という式変形が重要になる。そこから，｢相加・相乗平均の関係｣や｢Cauchy－Schwarzの不等式｣といった，不等式の証明や最大値・最小値を求める際にも有効な公式が導かれる。この小論は，不等式の証明の授業をしていたとき，生徒にとって手頃で興味深い不等式はないかと探していたとき，本棚で目に留まった『不等式への招待(大関信雄・清太共著)』の中で見つけた｢Shapiroの巡回不等式｣について考察したものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

H20.8.4に掲載された拙稿「不等式の証明について」では，生徒が不等式に興味・関心をもってくれそうな題材として， Shapiroの巡回不等式を紹介した。高校で学習する不等式には，実数の性質から成り立つ｢絶対不等式｣と，ある条件のもとでは成り立つ｢条件付き不等式｣とがある。本稿では，ある条件付き不等式について考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

本稿では，東書数学Ⅱの問，問題，練習問題で扱われている「条件付き不等式」の証明問題を計量的に扱えるように，正という条件を追加して，面積として，あるいはグラフを使って考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

「不等式２つ，文字各３つ（したがって文字６つ）」の場合について考察し，それを基にして，一般化された「不等式２つ，文字各ｎ個（したがって文字２ｎ個）」の場合を証明する。また，「不等式３つ，文字各３つ（したがって文字９つ）」の場合について，「不等式２つ，文字各３つ（したがって文字６つ）」の場合を基に証明する※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

「条件付き不等式についての一考察⑴～計量的視点から～」，「条件付き不等式についての一考察⑵～計量的・グラフ的視点から～」，「条件付き不等式についての一考察⑶～拡張と一般化～」では，条件付き不等式『 (*)　ａ＞ｃ, ｂ＞ｄのとき，ａｂ＋ｃｄ＞ａｄ＋ｂｃ　』を中心にした不等式を考察した。本稿では，「条件付き不等式についての一考察⑴⑵⑶」で得られている結果を補充しながら，相加・相乗平均の関係の別証を試みたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅱでは，不等式の証明を扱う。もっぱら(実数)²≧０を出所にして証明をするが，図形的に考えて，長さ(距離)の大小で処理することや判別式の符号などから証明可能な場合もある。たとえば，（コーシー・）シュワルツの不等式の不等式などもそうである。本稿では，その別証について，いくつか考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅱの方程式・式と証明で「不等式の証明」を扱う。式と証明の中で扱うのであるから，基本的には視覚的な理解は目標になく，本来それに言及する必要はないだろう。視覚的な理解としては，数学Ⅲで微分を扱うときに，グラフをかいて，そこで不等式の意味を考えさせればよいのであるが，可能であるならば，そこで式と証明で扱った不等式のグラフをかいて，その意味を視覚的に理解させておく方が，定着がよいように思う。そこで，本稿では，数学Ⅲの無理関数，微分法まで学習した後で，式と証明の不等式を再考させるという立場で，考察を行ってみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

不等式の証明は数学Ⅱの｢式と証明｣で扱う。等式の証明で条件(等式)付きの等式を扱うが，同様に不等式でも条件(不等式)付きの不等式の証明を扱う。　『ａ＞ｃ，ｂ＞ｄのとき，不等式ａｂ＋ｃｄ＞ａｄ＋ｂｃを証明せよ。』という証明問題は『ａ≧ｃ，ｂ≧ｄのとき，不等式ａｂ＋ｃｄ≧ａｄ＋ｂｃを証明せよ。また，等号が成り立つのはどのようなときか。』という等号成立条件を求めさせる証明問題に直すことができる。では，もっと文字を増やしたときの証明はどうなるのか，特に等号成立条件に着目して考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

三角形ＡＢＣの内部にある点Ｐから３辺ＡＢ,ＢＣ,ＣＡまでの距離をそれぞれｄ１,ｄ２,ｄ３とするとき，ｄ１＝ｄ２＝ｄ３であればｄ１(＝ｄ２＝ｄ３)は三角形ＡＢＣの内接円の半径であり，点Ｐは三角形ＡＢＣの内心である。そのとき，三角形ＡＢＣの面積をＳとするとｄ１(ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ)＝２Ｓという関係がある。一般に，ｄ１ＢＣ＋ｄ２ＣＡ＋ｄ３ＡＢ＝２Ｓであり，面積Ｓは３辺の長さや３つの内角から求められる。当然，ｄ１,ｄ２,ｄ３は３辺の長さや３つの内角と関係があるが，どのような関係があるのかについて，コーシー・シュワルツの不等式を活用して，不等式という観点から考察したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

｢不等式｣や｢証明｣は生徒が苦手とする分野である。ましてや｢不等式の証明｣となればなおさらのことである。不等式の前に恒等式や方程式といった等式を，不等式の証明の前には等式の証明を考察して，その準備をする。

山口県立岩国高等学校　西元教善

不等式の証明は数学Ⅱで扱う。不等式の証明とはどのように考え，どう記述すればよいのかにおいて，定着程度に差がつきやすいといえるであろう。両辺の差をとって，いくつかの平方の和に変形して(実数)2≧０から証明するとか，両辺とも０以上であることから平方して差をとって証明するとか，あるいは相加・相乗平均の関係を使うとか証明方法は多様であり，その発想と証明として認められる書き方に苦慮する生徒は少なくない。また，本稿で題材とする不等式「|a|＜1，|a|＜1，|b|＜1⇒ab＋１＞a＋b 」のように条件付き不等式というものあるが，この不等式を利用すると「|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，⇒ab　ｃ＋２＞a＋b＋ｃという条件付き不等式が説明できるが，初学の生徒を悩ませるものであろう。本稿では，生徒にとってわかりやすい説明はどのようなものであるかを中心にして考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

教科書では，『コーシー・シュワルツの不等式』という呼称で扱うことはないが，(ax＋by)2≦(a2＋b2)(x2＋y2) という不等式が成り立ち，等号成立はay＝bxのときであること，およびその応用を扱う。その証明は｢不等式の証明｣という単元で扱うため，その基本である(右辺)－(左辺)＝…＝(実数)２≧０という形で行う。つまり，『(a2＋b2)(x2＋y2)－(ax＋by)2　＝…＝a2y2－２abxy＋b2x2＝(ay－bx）2≧０　よって(ax＋by)2≦(a2＋b2)(x2＋y2) 等号成立はay－bx＝０つまりay＝bx』というようにするが，初学の生徒にとって，a2y2－２abxy＋b2x2＝(ay－bx）2の箇所がネックになるようである。そこで，他にはどのような証明があるか，よりわかりやすいものはないかと思い考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

相加・相乗平均の不等式は、単に不等式の証明にだけではなく、関数において変数の変域を絞り込んだり、最大・最小問題の解法などにおいても現れる。入試問題では数学Ⅲにおいて、微分による方法、指数関数を使った方法等の誘導による形式で 出題されることがある。そのような中にあって、数学ⅡとB だけで証明できないかと考えて今回のテーマに辿り着いた。最後に、2 つの正の数の場合の相加・相乗平均の不等式より、有名なコーシー ＝シュワルツの不等式を導く。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

東京都立駒場高等学校教諭　渡部毅

生徒の数学力の向上をめざし，次期教育課程では，数学Ⅰ・Ａでは「課題学習」が導入されるが，限られた時間数の中で実践するのであるから効果的な題材を選定しなければならない。個人的に実践してみたいことの中に，１つの問題を多面的に考察する，つまり，複数の別解(別証)を考察させることがある。

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

２数の場合の相加・相乗平均の関係は，２個の２乗数の和と２個の数の積の２倍の差の関係から証明される。また，３数の場合の相加・相乗平均の関係は，３個の３乗数の和と３個の数の積の３倍の差の関係を変形して証明される。　本稿では，相加・相乗平均の関係に関わる関係（平方の和，平方の正数倍の和）として，正数のｎ個のｎ乗数の和とｎ個の積のｎ倍の差について，それがどのように表されるかについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

数学Ⅰで三角比を学習すると，三角形についての性質の理解が，中学時までのそれに比べると飛躍的に深まる。３辺の長さや３つの内角という第一次情報から形状や計量について考察できるが，三角比を使うことで，より深い考察が可能になる。また，相加・相乗平均の不等式を利用して，大小関係も考察させれば，発展学習の題材になると思う。本稿は，そのようなねらいで考察したものである｡※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

｢三角形の高さ｣は小学校以来，(三角形の面積)＝(底辺)×(高さ)÷２として，面積を求めるときに重要な役割を果たしている。△ＡＢＣの各頂点からその対辺(またはその延長)に垂線を下ろし，３本の垂線の長さを考えるとき，その３つの長さの和や逆数の和が三角形の内接円や外接円の半径，３辺の長さとどのような関係があるのかについては生徒の興味・関心を引く題材になるであろう。三角比を学べば尚更である。｢整数の性質｣が代数学の基本であるように，｢三角形の性質｣は幾何学の基本であるから，今以上に三角形の性質について深く学ぶ機会があればよいと思う。　本稿は，そのような思いで考察してみた。　※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ヘロンの公式は魅力的な公式の一つである。三角形の面積が辺の長さから求められるのは当然であろうが，それを見事に表現している。周知の通り，三角形の３辺の長さから面積を求められるということであるが，紀元前からこのことが知られて，現在でもなお測量に活かされていると聞いては，今更ながらその数学的生命力に驚かされる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら。http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

エルデス・シュトラウスの予想を証明する。「ニコニコしながら和分の積」＆自動作問研究で考案したプログラミング理論「万が一理論」からのアプローチ。

昭和鉄道高等学校　菅野正人

以前，別解(別証)を考えさせる～多面的理解をめざして～という原稿をアップして頂いた。ｎを３以上の自然数とするとき，ｎの二乗が２ｎより大きいという不等式 が成り立つことの証明を多面的に考察した。問題というのは，ある数学的事実の理解，習得を確認することだけが目的ではない場合，一般的にはステレオタイプでない方がよいだろう。本稿は， の分数関数について，最大値・最小値を多面的に考察して，生徒指導の一助にしたいというねらいのもとで書かれたものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿『a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)の証明について』において，この回のテーマである等式(a＋b＋c)３＝a３＋b３＋c３＋３(a＋b)(b＋c)(c＋a)に触れて，等式(a＋b＋c)２＝a２＋b２＋c２＋２ab＋２bc＋２caと同様に準公式として扱ってはどうかという提案をした。では，この等式の有用性はなにか，つまり，この等式からどのようなことが導けるかについて考察してみるべきであると考え，本稿を書いた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

求値問題・証明問題において，２乗して求める，あるいは証明するということがある。そのままでは求めにくい・証明しにくい，あるいは求められない・証明できないということから窮余の策としてそのようにすることがある。そこが，生徒にはわかりづらいことがある。なぜ，２乗しなければならないのかが理解されず，単に求値問題・証明問題のテクニックとして捉えられるのも残念な気がする。そこで，この『２乗する』ことがどんな問題に出てくるか，そこにはどんな背景があるのかを探り，生徒に提示したく思って考察をしてみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

授業で教える内容を超えて，教えてみたい内容，実践してみたいことをお持ちの先生は多いと思う。数学研究部などの部活動でそれを実践している場合もあるだろう。しかし，どうしても何かと眼先にある「受験」に拘束され，本来の興味ある数学から遠ざかってしまっている自分やそれを伝えきれないもどかしさを反省することもあるだろう。また，教科書以外の内容，受験に関わらないような内容に関心を示さない生徒も増えてきている。数学＝受験ではなく，未知の事柄に興味・関心を持って欲しいものである。

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

センター試験数学過去問題集。2015年度本試験(数学II)第1問[2]。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2013年度追試験(数学Ⅱ)第2問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

センター試験「高校数学」過去問題集。2009年追試験（数学II・Ｂ）第1問[1]内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部

センター試験「高校数学」過去問題集。2009年追試験（数学II・Ｂ）第2問内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2009年度追試験（数学Ⅱ) 第2問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2010年度追試験（数学Ⅱ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2012年度本試験（数学Ⅱ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

前回，「円に外接する三角形の面積の最小値」を求める問題で凸不等式が威力を発揮することをみた。小問誘導が付かない場合に，最初の第一手を自ら見出して解答を組むことは誰にとっても難しい。しかし，最近の入試問題で小問誘導による出題の割合が少々多すぎる感があると思っているのは筆者だけではないかもしれない。採点のし易さや得点の差を出すため，あるいは低い平均点を避けるため，さらには誘導なしの問題にしたのでは高度過ぎる結果を導出させたい等の理由があるにしても，センター試験と同様，解いていて，爽快感や（解答に当たっての）創造感をあまり覚えないのが正直な感想である。総設問数の多さからくる疲労感を伴うことさえある。このような理由で，このシリーズでは小問誘導や多くの小問誘導を必要とする問題は極力避けてある。

東大寺学園中高等学校　本庄隆

センター試験数学過去問題集。2011年度追試験(数学Ⅱ)第1問[1]。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

2012年1月に実施された北海道高等学校数学コンテストの第４問。

北数教高校部会代数解析研究会

今回のテーマは図形に関わる「取り得る値の範囲」である。第1問では対称な量を2次方程式の2解にみる（解の分離）という典型的な処理法を学ぶ。是非，身につけたい考え方である。第2問では対称な変数の連立方程式を同値変形によって，よくわかった図形の共有点の存在条件に帰着させるという手法を紹介する。

東大寺学園中高等学校　本庄隆