「場合の数」は、公式などを使った処理は数学Ａで初めて学習する。このような中、今一つ理解が深まりにくいと思われるのが、「グループ分け」の問題、つまり、名前のあるグループ分けと名前のないグループ分けである。その関連と解決のメカニズムについて、図を使って指導した例を紹介したい。※ワード文書をご利用される場合は，Tosho数式エディタが導入されている必要があります。「Tosho数式エディタ」無償ダウンロードはこちらから→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ａの「場合の数」で重複順列を扱うが，その応用として「空き部屋のない部屋分け」を考えさせる問題がある。たとえば，８人の生徒を空き部屋のないようにＡ，Ｂ，Ｃの３つの部屋に分ける方法の数を問うような問題である。空き部屋があってもよい分け方についても８３通りという間違いをする生徒が出てくる。すると空き部屋のない部屋分け問題は当然、正解には至らない。そこには，イメージの欠落がある。本稿では，それを補う説明，別解や一般化について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

円順列では，「固定」するという発想―それは「回転」によって，見かけは異なる順列のように見えても実は同じものを排除する方法―が生徒を悩ませる。これは平面上で考えればよいからまだ扱いやすいが，これが空間内となれば，いわば，「球順列」は生徒を混乱させる。代表的な問題は，「立方体の色塗り問題」である。本稿は，「立方体の色塗り問題」について，高校１年生にとってわかりやすい説明を試みるものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

球面をn等分する方法は１通りとは限らない。本稿では地球儀にたとえれば，①等間隔の経線で囲まれる合同な曲面で球面が分割される場合，あるいは②緯線と赤道で囲まれる単純な合同な曲面で球面が分割できるときはその場合を，また，③正多面体を薄いゴム膜のような材質で作って，それを均等に膨らませて球面を考えたときに，その境界線で分割される場合を，n＝８まで考察することにする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

場合の数の問題として，10円，50円，100円，500円の硬貨を何枚か与え，それらを使って支払える金額が何通りあるかを問うものがある。積の法則を使う問題であり，それがうまく機能するような枚数設定がしてある。その設定を変えるとどうなるのか，さらには一般の場合ではどのような結果になるのかに興味をもったので，考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

取り出すr 個のすべてを○で表し，それを一列に並べ， n－１本の仕切り線｜で ｎ個のグループに分けることが，各グループが同じ物(それが重複して取り出すこと)，つまり異なるｎ 個の物から，重複を許して(認めて) ｒ個を取る(重複)組合せの数に一致するということがある。　この重複組合せは，教科書では発展，研究という扱いであり，今一つ定着は芳しくない。　そこで，この重複組合せについてのわかりやすい指導について考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校 教諭　西元教善

数学Ａの場合の数で，最短経路の問題を扱う。道路が碁盤の目のように整備された街のある地点Ａから別のある地点Ｂへ最短距離で行くとき，その行き方が何通りあるかという問題である。さて，タクシーを使って移動するとき，時間制でないとすればそのすべての行き方に対して料金は同じになる。普通，ｘｙ平面上の２点Ａ(ｘ１,ｙ１)，Ｂ(ｘ２,ｙ２)の距離ＡＢとは√(ｘ２－ｘ１)２＋(ｙ２－ｙ１)２であるが，このような道路に沿っての距離は｜ｘ２－ｘ１｜＋｜ｙ２－ｙ１｜で，これをタクシー距離という。本稿では，このタクシー距離を題材に，場合の数・要素の個数を生徒に考えさせる一例を考察した。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

場合の数を求めるとき，考え方は一見よさそうに思えるのであるが，実際には重複や数え漏れが生じ，不正解になることがある。特に同じものを含む場合の順列は，無意識に区別をして実際の場合の数より多く数えてしまうことがある。　なぜ，このように考えてはダメなのか，重複しているのであればその例を，数え漏れがあればその例を挙げてその考え方の欠陥を指摘し，ではどう考えたらよいのかを考えさせるのがよいのではないかと思う。　本稿では，同じものを含む順列を題材にとって，生徒の陥りやすい間違いを考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

「（高校数学Ⅰ・A）課題学習指導実践記録集」東京書籍2013年7月より。友達との待ち合わせ。会議，大会の開催地。日常生活において集合場所を決めることがある。誰しもが似たような体験をもつ身近な場面である。交通の便や施設の位置の兼ね合いもあるが，Ａ，Ｂ，Ｃさんの歩く距離の合計が最小になるように集合場所（交差点）を決める。

日本大学東北高等学校講師　五十嵐淳

場合の数は、離散数学の中で一番大切だが、その最初に出てくる和の法則、積の法則がおろそかになっていないだろうか？これまでの授業で、場合の数の後半の応用問題になってから二つの場合の数を足すのか掛けるのか分からない生徒が多かったので図を取り入れて目に見える形にしてみた。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

パスカルの三角形を見て気づくことや数列の和との関連、三角形n倍角の公式との関連について触れ、この題材は数学の不思議さや面白さを楽しめ、発展して探究することができる題材であると述べている。

東京学芸大学附属高等学校教諭　大谷晋

１辺の長さが等しく，面の色が無色である立方体がたくさんあるとする。このとき，それぞれの立方体の６つの面を異なる６つの色すべてを使って塗って，塗り方として異なるものすべてを１個ずつ１つの袋の中に入れておく。ここで，ある塗り方をした立方体１つが手もとにあるとき，それと袋から１個取り出した立方体が同じ塗り方である確率を考えると，それは立方体を６色使って塗る塗り方の総数の逆数に等しい。すると，確率を考えることで塗り方の総数を求めることができることになる。本稿では，確率を通じて立方体を６色使って塗る塗り方の総数を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

全体集合Uとその部分集合A，Bについて，n(U)，n(A)，n(B)の値が与えられており，n(A)>n(B)，n(A)+n(B)>n(U)のとき，n(A∩B)の最大値と最小値，およびそのときのU, A, Bの関係を問う問題があったとき，ベン図で視覚的に理解する方法と，n(　)の式から不等式として理解する方法がある。本稿では，これらの２つの理解手順について改めて考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

連続する２つの整数は、一方は奇数で他方は偶数であるからその積は偶数、つまり２の倍数である。すると、連続する３つの整数は連続する２つの整数の積が２の倍数であり、３つの整数のうち一つは３の倍数であり、２と３が互いに素であることから２×３＝６の倍数になる。２＝２！，６＝３！であるから、ｎ＝２，３のときには連続するｎ個の整数の積はｎ！の倍数であるといえる。　では、一般に２以上のすべての整数に対して連続するｎ個の整数の積がｎ!の倍数といえるのかということが問題になる。本稿では、このことについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

センター試験数学過去問題集。2015年度本試験(数学I・A)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2013年度追試験(数学ⅠＡ)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

センター試験数学過去問題集。2014年度本試験(数学ⅠＡ)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

センター試験数学過去問題集。2015年度本試験(旧課程数学I・A)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

2011年1月に実施された北海道高等学校数学コンテストの第１問。

北数教高校部会代数解析研究会

H20 センター試験 教科書数学Ａ・１章　集合と場合の数　2節　場合の数　１　樹形図と場合の数、2章　確率　2節　独立な試行と確率、期待値　１　独立な試行の確率　４　期待値。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験「高校数学」過去問題集。2010年本試験（数学I・Ａ）第4問内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部

センター試験「高校数学」過去問題集。2011年本試験（数学I・Ａ）第4問内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部

センター試験「高校数学」過去問題集。2009年本試験（数学I・Ａ）第4問内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部

センター試験「高校数学」過去問題集。2009年追試験（数学I・Ａ）第4問内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部

2012年1月に実施された北海道高等学校数学コンテストの第１問。

北数教高校部会代数解析研究会

2011年1月に実施された北海道高等学校数学コンテストの第３問。

北数教高校部会代数解析研究会

センター試験数学過去問題集。2012年度本試験（数学ⅠＡ) 第4問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2010年度追試験（数学ⅠＡ) 第4問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2013年度本試験(数学ⅠＡ)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

2012年1月に実施された北海道高等学校数学コンテストの第４問。

北数教高校部会代数解析研究会