連続する２つの整数は、一方は奇数で他方は偶数であるからその積は偶数、つまり２の倍数である。すると、連続する３つの整数は連続する２つの整数の積が２の倍数であり、３つの整数のうち一つは３の倍数であり、２と３が互いに素であることから２×３＝６の倍数になる。２＝２！，６＝３！であるから、ｎ＝２，３のときには連続するｎ個の整数の積はｎ！の倍数であるといえる。　では、一般に２以上のすべての整数に対して連続するｎ個の整数の積がｎ!の倍数といえるのかということが問題になる。本稿では、このことについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

必要条件・十分条件について問う問題は，センター試験ではよく出題される。条件がいくつか与えられ，それらについて「ｐ⇒ｑ」とか，「ｐかつｑ⇒ｒまたはｓ」などの命題について，⓪　必要十分条件である，①必要条件であるが，十分条件ではない，②十分条件であるが必要条件ではない，③必要条件でも十分条件でもない,を答えさせるというものである。本稿では，必要条件・十分条件についての問題が十分にはわかっていない生徒が質問に来て，「目から鱗が取れた」といって納得した指導例を紹介する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

必要条件と十分条件について，イラストをまじえて分かりやすく解説する。

北海道札幌東陵高等学校　前田勝利

やや大げさなタイトルを掲げたが， 定期テスト後にテスト範囲の復習を兼ねて， 関連する整数問題を取り扱うことを試みている。大学受験対策を考慮すると， 高校３ 年間のうちのどこかで整数問題を取り扱う必要性はあるものの， 現行の学習指導要領においてはどの時期にどのような形でどの程度取り扱うのが適当なのかはよくわからない。平成２ ４ 年度から先行実施される数学科の新学習指導要領『数学Ａ 』では， 選択ではあるものの， 正式に“整数” が取り扱われることとなる。それに先駆けて， 整数問題を１ 年次から徐々に取り扱っていく方針で取り組みはじめたところである。

宮崎県立宮崎西高等学校　陶山宜浩

部屋割り論法自体は非常にシンプルで直観的にも理解しやすいものだと考えるが，実際の問題で利用できるようになるには，多くの練習問題にあたる必要がある。教科書（数学A　p.79）による記述2．部屋割り論法を利用した問題3．学習指導案

長崎県立佐世保西高校　片山司朗

数学Ａの「論証」で「背理法」を扱います。それは,ある命題を証明するときの１つの方法として，「その命題が成り立たないと仮定すると矛盾が生じることから，その命題は成り立たなければならない」というものですが，どんな矛盾が生じるのかは命題によって異なります。　仮定に反する場合もあれば，それまでに認められている数学的事実に矛盾する場合もあります。単に「矛盾が生じる」といっても生徒には「どんな矛盾が生じるか」という予備知識がない，あるいは明確に意識されていないことがあります。これでは，背理法で証明するといってもその意味がわかりにくいのではないでしょうか。何となく論理的に展開していけば矛盾に行き当たることもあるでしょうが，代表的な「矛盾の例」を事前に提示しておくと理解しやすいのではないかと思います。本稿は代表的な矛盾の例を中心に考察したものです。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

√2P1＝√2P2＝√２は無理数である。また，3√3P1＝3√3, 3√3P2＝3√3!＝3√6も無理数である。では，一般にn√nPr(nは２以上の自然数,ｒはｎ以下の自然数)はすべて無理数であろうか。本稿では，このことについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

自然対数の底e＝lim(1＋1/n)n ＝Σ1/n！が無理数であることはよく知られている。また，その証明には背理法が使われることも同様である。つまり，eが有理数であると仮定して議論を進めると0と1の間に整数が存在することになり，そこに矛盾が生じることから，eは無理数でなければならない。また，背理法でうまく証明できる理由の一つには階乗の性質がうまく機能していることが挙げられる。つまり，k=0,1,2,…,nのときn！k！がすべて自然数であることが0＜(整数)＜1という矛盾を導く。em＝Σ1/(n！)m（m∈N）は，m＝1のときeであり，それが無理数であることが背理法で証明できるのであれば，m≧2のときも同様に背理法で証明できるのではないかと予想され，本稿では，このことについて考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅰで｢三角比｣を扱う。教科書の巻末には０°から90°までの１°きざみの角について，三角比の値が小数第４位まで示されている。それに対して sin60°は三角比の表では0.8660と示されている｡初学の生徒はこれを真の値であるとか，有限小数で表されているから有理数であるという思い違いをすることがある。近似値であると言うと，30°の正弦の値は真の値で有理数であるが，それ以外の角の正弦の値は有理数なのか，無理数なのかについて興味を抱く生徒も出てくる。　三角比の表では sin1°＝0.0175であるが，これが果たして有理数なのか無理数なのかについて，数学Ⅱの｢三角関数｣を学習したあと（つまり，加法定理を学習した後(背理法は三角比以前に学習済み)）に考察させてみるとよいだろう。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿『sink°（ｋ＝１，２，…，２９，３１，…，８９）が無理数であること～３倍角の公式の活用～』では正弦の３倍角の公式と２倍角の公式を用いて，sin18°の値を求めることから始めてcos18°の値を求め，さらに半角の公式からsin９°を求め，これが無理数であることから，sin3°，sin1°が無理数であることを証明した。三角比の表には正接の値も載せてあり，それによるとtan1°はsin1°と同じ0.0175と表されている。もちろんsin1°＜tan1°であるが，θ≒0のときtanθ≒sinθであり，小数第４位まででは表面上tan1°＝sin1°ということになる。　さて，sin1°は無理数であるが，tan1°はどうなのか。本稿ではこれを追究していく。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

センター試験「高校数学」過去問題集。2009年本試験（数学I・Ａ）第1問[2]内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部

センター試験「高校数学」過去問題集。2009年追試験（数学I・Ａ）第1問[2]内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部

センター試験「高校数学」過去問題集。2011年本試験（数学I・Ａ）第1問[2]内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部

2012年1月に実施された北海道高等学校数学コンテストの第２問。

北数教高校部会代数解析研究会

センター試験数学過去問題集。2012年度本試験（数学ⅠＡ) 第1問[2]この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2010年度追試験（数学ⅠＡ) 第1問[1]この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2010年度追試験（数学ⅠＡ) 第1問[2]この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2012年度追試験(数学ⅠＡ)第1問[2]。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2013年度本試験(数学ⅠＡ)第1問[2]。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2011年度追試験(数学ⅠＡ)第1問[2]。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

2012年1月に実施された北海道高等学校数学コンテストの第１問。

北数教高校部会代数解析研究会