数学Ａの｢場合の数｣で｢順列｣と｢組合せ｣を扱う。異なる ｎ個のものからｒ個を並べる順序を考慮して一列に並べる順列の総数をnPr，異なる ｎ個のものからｒ個を並べる順序は考慮しないで取り出して一組にする組合せの総数をnCrで表すこと，その間にはnCr×ｒ！＝nPrという関係があることが，数学の苦手な生徒にはわかりづらいようである。中学校では樹形図をかくとか，表をつくるとかの作業を通じて場合の数を求めていることが多いが，高校ではその方法を使うこともあるが，基本となる場合の数の求め方の公式をつくっておき，それらを駆使するようになる。数学の苦手な生徒の多い本校では，問題文を読んでもそこから｢nPrを使うのかnCrを使うのかよくわからない。｣という生徒が多い。意味の理解ができていない，その違いがよく判らないからである。言葉による説明がよくわからない生徒には｢樹形図をかくとか表をつくる｣ことが重要である。そこで，本稿では｢樹形図｣を利用して｢順列の総数｣と｢組合せの総数｣の関連性と違いがわかるような説明を考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

ニューサポート高校「数学」vol．36（2021年秋号）より。新型コロナ禍が始まって2度目の大学入試である。今年もボクが解いた問題の中から印象に残ったものを紹介しようと思う。

開成中学・高等学校教諭　井手健宏

「場合の数」は、公式などを使った処理は数学Ａで初めて学習する。このような中、今一つ理解が深まりにくいと思われるのが、「グループ分け」の問題、つまり、名前のあるグループ分けと名前のないグループ分けである。その関連と解決のメカニズムについて、図を使って指導した例を紹介したい。※ワード文書をご利用される場合は，Tosho数式エディタが導入されている必要があります。「Tosho数式エディタ」無償ダウンロードはこちらから→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ａの「場合の数」で重複順列を扱うが，その応用として「空き部屋のない部屋分け」を考えさせる問題がある。たとえば，８人の生徒を空き部屋のないようにＡ，Ｂ，Ｃの３つの部屋に分ける方法の数を問うような問題である。空き部屋があってもよい分け方についても８３通りという間違いをする生徒が出てくる。すると空き部屋のない部屋分け問題は当然、正解には至らない。そこには，イメージの欠落がある。本稿では，それを補う説明，別解や一般化について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

円順列では，「固定」するという発想―それは「回転」によって，見かけは異なる順列のように見えても実は同じものを排除する方法―が生徒を悩ませる。これは平面上で考えればよいからまだ扱いやすいが，これが空間内となれば，いわば，「球順列」は生徒を混乱させる。代表的な問題は，「立方体の色塗り問題」である。本稿は，「立方体の色塗り問題」について，高校１年生にとってわかりやすい説明を試みるものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

球面をn等分する方法は１通りとは限らない。本稿では地球儀にたとえれば，①等間隔の経線で囲まれる合同な曲面で球面が分割される場合，あるいは②緯線と赤道で囲まれる単純な合同な曲面で球面が分割できるときはその場合を，また，③正多面体を薄いゴム膜のような材質で作って，それを均等に膨らませて球面を考えたときに，その境界線で分割される場合を，n＝８まで考察することにする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

場合の数の問題として，10円，50円，100円，500円の硬貨を何枚か与え，それらを使って支払える金額が何通りあるかを問うものがある。積の法則を使う問題であり，それがうまく機能するような枚数設定がしてある。その設定を変えるとどうなるのか，さらには一般の場合ではどのような結果になるのかに興味をもったので，考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

取り出すr 個のすべてを○で表し，それを一列に並べ， n－１本の仕切り線｜で ｎ個のグループに分けることが，各グループが同じ物(それが重複して取り出すこと)，つまり異なるｎ 個の物から，重複を許して(認めて) ｒ個を取る(重複)組合せの数に一致するということがある。　この重複組合せは，教科書では発展，研究という扱いであり，今一つ定着は芳しくない。　そこで，この重複組合せについてのわかりやすい指導について考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校 教諭　西元教善

場合の数を求めるとき，考え方は一見よさそうに思えるのであるが，実際には重複や数え漏れが生じ，不正解になることがある。特に同じものを含む場合の順列は，無意識に区別をして実際の場合の数より多く数えてしまうことがある。　なぜ，このように考えてはダメなのか，重複しているのであればその例を，数え漏れがあればその例を挙げてその考え方の欠陥を指摘し，ではどう考えたらよいのかを考えさせるのがよいのではないかと思う。　本稿では，同じものを含む順列を題材にとって，生徒の陥りやすい間違いを考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

全体集合Uとその部分集合A，Bについて，n(U)，n(A)，n(B)の値が与えられており，n(A)>n(B)，n(A)+n(B)>n(U)のとき，n(A∩B)の最大値と最小値，およびそのときのU, A, Bの関係を問う問題があったとき，ベン図で視覚的に理解する方法と，n(　)の式から不等式として理解する方法がある。本稿では，これらの２つの理解手順について改めて考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

「ｎ個からｋ個取る組合せが何通りあるのかを求めるときはｋ！で割る」という作業は、生徒は良く覚えています。しかし「なぜそのようにするのか」をしっかり説明できる生徒は多くはなく、理由も考えず暗記している生徒が少なくないのは、その必然性を生徒自身が納得していないからだと考えます。組合せの計算においては、数の多い順列をまず考え、その後ｋ！で割るという手間をかけています。なぜそんな面倒な手続きをする必要があるのでしょうか。この作業の必然性を理解させることが大切です。そのため私は「重複度」という言葉を用い、組合せを教える前から、登場させ、その共通性を考えさせるように心がけています。

東京都渋谷教育学園渋谷高等学校　小嶋裕之

場合の数は、離散数学の中で一番大切だが、その最初に出てくる和の法則、積の法則がおろそかになっていないだろうか？これまでの授業で、場合の数の後半の応用問題になってから二つの場合の数を足すのか掛けるのか分からない生徒が多かったので図を取り入れて目に見える形にしてみた。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

部屋割り論法自体は非常にシンプルで直観的にも理解しやすいものだと考えるが，実際の問題で利用できるようになるには，多くの練習問題にあたる必要がある。教科書（数学A　p.79）による記述2．部屋割り論法を利用した問題3．学習指導案

長崎県立佐世保西高校　片山司朗

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

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東京書籍（株）　数学編集部

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東京書籍（株）　数学編集部

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東京書籍（株）　数学編集部