大学入試でよく出題される関数 y＝(xn)(e－x)の，入試では見かけない n≧4 の場合についていろいろ調べてみたとき，ある有名な不等式に行き当たったことを紹介している。

東京都立立川高等学校　志村賢一

１からnまでの自然数の総和、２乗の総和、３乗までの総和は、すでに公式として教科書にも載っているので、高校生なら誰でも知っている筈です。では、１からnまでの自然数の４乗の総和、５乗の総和、さらに一般にk乗の総和がどうなるか、その求め方は知っていても、実際に計算する人は少ないと思います。ところが１７世紀ごろ、日本では和算の関孝和、西洋ではベルヌーイがこれに関する一般公式を与えています。

栃木県立矢板東高等学校　潮田康夫

自然対数の底であるe の無限級数表示のような表示は他にもあるのであろうか。もし他にもあるのであれば anはnの式としてどのような式であるのかという探究心が湧いてくる。本稿では，このことについて考察するものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

eの定義lim[n→∞](1+1/n)nを変形して、その極限値を求めさせる問題をよく見る。これをきっかけに、本稿では、自然対数eに関わるさまざまな数列の極限値について考察する。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

自然対数の底eが無理数であることは数学的厳密性には<ruby>難<rt>・</rt></ruby>があるものの、｢テーラー展開｣を使わずとも、高校生にわかりやすく説明することができる。これについて、本稿で詳しく考察する。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

数学Ⅲでe＝lim h→0(１＋ｈ）1/hを扱う。対数関数の導関数を求めるときにこの極限値が必要であるからである。教科書本文ではe＝lim n→∞(１＋１/n）nということには触れていないが，h→0とするときの(１＋ｈ）1/hのようすを見るために，hの値を１，0.1, 0.01，0.001，0.0001，0.00001とするときの(１＋ｈ）1/hの値が表にしてあり，h→0 のとき(１＋ｈ）1/hが 2.718……に近づくことが実感されるようにしてある。ｎ→∞のとき極限値がeである数列 ｛（１＋１/n）n｝について，教科書では触れられる機会が少ないので，本稿で考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

自然対数の底eは対数関数logaxの導関数を求める際に必要となる微積分において重要な定数である。対数関数 logaxの x＝１における微分係数を求めるとき，極限値limh→0loga(1＋ｈ)1/ｈの値を求める必要が出てくるが，そのためにはlimh→0(1＋ｈ)1/ｈ を求めればよいのであるが，微分法の公式を用いないで limh→0(1＋ｈ)1/ｈ＝∞∑ｎ＝01/ｎ！ を証明し，ひいては極限値　limh→0(1＋ｈ)1/ｈが無理数であることを示したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

数学Ⅲの微分法の応用で，媒介変数で表された関数の微分法を扱う。それはｘ＝f(t)，ｙ＝ｇ(t)のとき，　ｄｙ/ｄｘ＝ｄｙ/ｄｔ ／ ｄｘ/ｄｔ ＝ｇ’(t)/f'(t)というものであるが，では第２次導関数ｄ2ｙ/ｄ2ｘはどうなるのであろうか。これをｄ2ｙ/ｄ2ｘ＝ｇ”(ｘ)/f”(ｘ)として計算をしてはいけないのかと質問した生徒がいたので，まずどのように考えたのか聞いてみた。生徒の考えは，「合成関数の微分法も逆関数の微分法も形の上では分数計算と同様な処理ができる。媒介変数で表された関数でもそうである。Yの第１次導関数ｄｙ/ｄｘがｇ’(t)/f'(t)だから， の第２次導関数ｄ2ｙ/ｄ2ｘはｇ”(t)/f”(t) ではないのか。しかし，これで計算すると答が合わない。どうしてなのか…。」　本稿は，媒介変数表示された関数の第２次導関数について，生徒の抱いた疑問を題材に考察したものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

（ex）´＝exであることを知って，問題を解くときに使える生徒でも（ex）´＝exであることを実感しているとは限らない。一般に微分すると元の関数とは異なる関数になるにもかかわらず，exだけは微分しても元と同じである。これは極めて特異な性質である。本稿では，無限級数の和で表されたexについて微分を考えることで，なるほど確かに（ex）´＝exとなるという実感を生徒に与えられる説明を試みる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

一般に「微分の計算はできればそれでよく、使用する公式の成立理由や納得はさほど大切でない」という立場、「道具」としての理解で使えればよいという立場がある。「わかる」ことや「できる」ことを一くくりにすることはなかなか難しい。しかし、なぜそうなのかという理由が納得できたときの喜びは格別である。それを踏まえて、本稿では高い立場での説明が納得のいく理解になる例を，導関数において考察したい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

前回はex,sinx,cosxの導関数について考えた。今回はそれに引き続き、対数関数logxの導関数が1/xになることの別の納得の仕方として、logxをべき級数表示してみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

数学Ⅱまでは導関数の公式はさほど多くないが、数学Ⅲになると微分する関数も導関数の性質に関わる公式も多くなり、理解することも覚えることさえも十分にできない生徒が出てくる。そのようなとき、我々教員には式ばかりの説明＝左脳ばかり使わせるのではなく、イメージを司る右脳にも理解参加させるような指導が求められるのではないか。本稿では導関数を題材に、単なる公式記憶にならないための視覚的説明をご提案したい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

第２次導関数と極値の判定法における注意点は、連続な第２次導関数をもつことである。すると、ある生徒に「不連続な第２次導関数をもつ関数の例を挙げてください。」と突っ込まれた。本稿では今回の生徒からの指摘を受け、初めて具体的に考察してみようと思う。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

exや e-x、logxなどを含む関数のグラフをかくとき、eに関する値の近似値を知らないとグラフの概形をかきづらい。本稿では、これらの作図の際、既習内容を有効活用できないかを考察してみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

高等学校の数学教師，高等専門学校の数学教師は理論的に重要なテーラーの定理を踏まえた上で，テーラー展開を出発点にし，そこから，テーラー展開を近似する1次近似式（1次のテーラー多項式），2次近似式（2次のテーラー多項式），もっと一般に高次近似式（高次のテーラー多項式）を取り上げて，関数の近似計算，極値判定ができることを積極的に指導するべきであると思います。

新潟県立新発田南高等学校　本望英明

数Ⅲの教科書ではtanxの導関数について，導関数の定義に従って求めていたかと思うと，合成関数の微分法を使い，さらには商の導関数を使っている。同じ三角関数の導関数を求めるのになぜこうもやり方が違うのか，学習時には混乱している生徒もいるようである。そこで，sinxの導関数を求めたときのように導関数の定義に従い証明してみることにする。それも複数のやり方で示してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

関数 ｙ＝xx(x＞０)のグラフを描かせようとすると，まず導関数 ｙ’の計算がネックになる。対数微分法で求めるのであるが，指数関数の導関数や実数乗の導関数との混同が見受けられることがある。本稿では，対数微分法の定着をめざしてｙ＝(sinX)sinx，ｙ＝(cosX)cosx，ｙ＝(sinX)cosx，ｙ＝(cosX)sinxの導関数およびそのグラフについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅲの微分法において，三角関数の導関数を求める過程を重視するというよりはその結果，つまり公式を導いて，それを覚えさせて，道具としてフルに活用させることにウエイトが置かれているという印象を受ける。道具としてそれを当然の事実として使っていくという姿勢だけでなく，その道具がいかにして導かれるかということについて生徒は，複数の方法，しかも本当に腑に落ちたという実感とうまい処理のしかたの手際のよさの実感を得ながら前進しているのであろうか。何となく，消化不良のまま前へ前へと押しやられているのではないだろうか。その辺りの反省を踏まえた考察を行ってみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学では，新規の概念や公式を作りその後の理論に備えるという展開をすることがある。そのために事前に準備しておくべき｢道具｣というのがある。教科書(数学Ⅲ)では，生徒の多くは実際に計算して確認をしたわけでもないのに表から数値を取り出し，これを eと書くことを何の抵抗もなく受け入れている。このような｢わかったつもりの理解｣でも本当によいのか，これよりは多少なりとも数学的な理解があるのではないかという思いがあり，本稿で考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

自然対数の底ｅは，数列の極限値，あるいは無限級数の和としても表せる。さて，ｅを数列の極限値で考えるとき，数列の一般項は二項定理を使っても表されるが，ここに，異なるｎ個のものの中から異なるｒ個を取り出す組合せの数ｎＣｒや重複を許してｒ個を一列に並べる重複順列の数ｎrが現れる。これらの大小関係はｎr≧nPr≧nCrである。　本稿では，極限値について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅲでは，そこで扱う微分・積分は数学Ⅱのそれに比べると扱う関数が多様になる。基本的には，数学Ⅱでは，xnの導関数の公式の求め方を理解し，記憶して使いこなせればどうにかなる。この公式は，数学Ⅲになると，二項定理を利用して指数が拡張される。その後，三角関数，対数関数，指数関数というように微分する関数の種類が多様になり，それぞれの個々の導関数を公式として覚え，関数全般についての導関数の公式(積・商の導関数，合成関数の導関数，対数微分法)を使って多様な関数の微分ができることが要求される。本稿は，タイトルにもあるようにxa, ax, xx の微分・積分について，その違いをしっかり教えたいという思いで書いたものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

鳥取県立米子東高等学校は，平成23年5月1日現在，生徒数は全日制課程普通学科普通科962名，定時制課程普通学科普通科57名，専攻科50名です。本稿では、『ニューアクションα』を使って行った平成23年6月13日の公開授業～平均値の定理の一般化～の一部を紹介します。

鳥取県立米子東高等学校　米江慶典

（栃木県立田沼高等学校の植物写真）写真は学校のすぐ裏の水田で撮ったアオウキクサです。葉のようなものを葉状体といい、密なところでは下の土が見えないくらいびっしりと張っています。今号はそんなウキクサ葉状体の増え方を紹介します。

栃木県立田沼高等学校　川島基巳

自然対数の底e＝lim(1＋1/n)n ＝Σ1/n！が無理数であることはよく知られている。また，その証明には背理法が使われることも同様である。つまり，eが有理数であると仮定して議論を進めると0と1の間に整数が存在することになり，そこに矛盾が生じることから，eは無理数でなければならない。また，背理法でうまく証明できる理由の一つには階乗の性質がうまく機能していることが挙げられる。つまり，k=0,1,2,…,nのときn！k！がすべて自然数であることが0＜(整数)＜1という矛盾を導く。em＝Σ1/(n！)m（m∈N）は，m＝1のときeであり，それが無理数であることが背理法で証明できるのであれば，m≧2のときも同様に背理法で証明できるのではないかと予想され，本稿では，このことについて考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

サイクロイドは数学Ⅲで，媒介変数で表示される関数の一つとして扱われる。サイクロイド (cycloid) は日本語では擺線(はいせん)と訳されていて，擺には振子の意味がある。また，サイクロイド (cycloid) はcycle + oidでlike a circleの意味を持つ。-oidは…のようなものという接尾辞である。Circleには「円」「周期」「循環」などの意味がある。さて，サイクロイドは媒介変数のままで曲線の方程式が表示され，媒介変数を介した微分や積分を行わせる格好の題材である。その媒介変数表示は x＝a(t-sint),y＝a(1-cost)(a>0)であるが，これをx＝at-sint,y＝a-cost(a>0) としたら，グラフはどのようになるのか，サイクロイドのように のときにそれと 軸で囲まれた図形の面積はどのようになるのかを中心にして考察してみたい。 ※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

本稿では，中央大学法学部2019年の入試問題を題材にとってnΣk=01/k!(2/3)k

山口県立高森高等学校　西元教善

数学Ⅲでの微分・積分では様々な公式が扱われる。積分は微分の逆演算であるから，微分での公式が導かれると即座に積分での公式が導かれたことになる。しかし，微分の指導の途中で積分に触れることなく一気に微分のことだけを済ませて，さらにその応用をしたあとで積分に入る。積分には不定積分，定積分があるが，不定積分を微分の指導の中で同時展開したらと思う。そうすれば，より微分の指導が効果的になるのではないかと思うからである。そうすることによって，数学Ⅲで微分を扱うときには，すでに数学Ⅱで積分を扱っているから，数学Ⅲで出てくる導関数の公式から即座に積分の公式が扱える。本稿では，そのようなことを中心に考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ニューサポート高校「数学」vol．25（2016年春号）より。本シリーズ第7回です。今回は数学Ⅲにおける導関数についてと，上底面と下底面が平行でない角柱の体積について，それぞれの考察を深めます。

九州数学シンクタンクグループ

関数はすべて微分可能であると思っている生徒は少なくない。逆説的であるが，その誤解はさまざまな導関数を学ぶことで大きくなるのかもしれない。それと同時に，機械的に導関数を求めることは上達しても，微分係数や導関数を定義に従って求めることやある点における微分可能性を問う問題を苦手とする生徒は決して少なくないと言える。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

数学Ⅱで整式の除法を扱う。いわゆる筆算で割り算することもあれば，組立除法で計算することもある。また，１次式で割ったときの余りでは剰余の定理を使うこともある。整式Ａを整式ＢＱ(≠０)で割ったときの商Ｑと余り の間にはＡ＝ＢＱ＋Ｒ，Ｒの次数＜Ｂの次数という関係があるが，これに積の導関数の公式を使うと余りＲが求めやすくなる。数学Ⅱの問題として出題されているときは御法度かもしれないが，数学Ⅲを学習した生徒には別解として提示すれば参考になる。本稿では，ｍ，ｎを自然数として,ｍ＞ｎのとき，Ｘｎ−１を（Ｘ−１）ｍ で割ったときの余りについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

受験科目の多様化により，理系の生徒でも数学Ⅲを履修しないことがある。そのため，進学先の大学で数学Ⅲの知識を必要とする講義を受けなければならないことがあり，戸惑う学生が見られる。本稿では，某私大の薬学部に進学し，分析化学の講義で自然対数を扱うことになった学生（数学Ⅲ履修者）から対数（常用対数，自然対数）についての質問を受け，数学Ⅲ未履修者の苦労を思いやりながら説明をしたことを題材にして考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

ニューサポート高校「数学」vol．32（2019年秋号）より。学IIIで，サイクロイドを教えるとき，円上の定点Pが描く軌跡で説明することは多くの先生が実践されていることかと思います。私も，実際に教室にある丸い時計を教卓の上で転がして見せたり，コンピュータでグラフ化したものを見せたりして説明します。しかし，図形が苦手な生徒の一部は，なかなか定点Pの軌跡を想像できなくて苦労しているようです。

札幌北陵高等学校教諭　吉田直哉

数学Ⅲでは数学Ⅱの微分法(３次式まで，和・差，定数倍の導関数)を拡張し，三角関数や指数関数を始めとしたいろいろな関数の導関数や関数の積・商の導関数の公式を扱う。それを使って，４段の増減＋凹凸表を作成し，グラフをより正確に描くことができるようになるが，関数が多様になったため，その積や商で作られる関数のグラフは多くの場合には｢概形｣しか描けない。また，デフォルメといったら言い過ぎかもしれないが，縦横の比率を変えないとグラフの特徴が明示できないこともある。　本稿では，そのようなことを踏まえて，y ＝e-ｘcosxを例にとって考察したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

「高校数学ニューサポートVol.２　2004年秋発行」より。チェビシェフの多項式を背景とした問題例をいくつか紹介する。

開成高等学校教諭　井出健宏