座標平面において，x座標m，y座標nがともに整数である点、つまり格子点（m，n）に有理数n/mを対応させると数列ができる。格子点P（m, n）の次に格子点Q（m´，n´）をとり，この順に……，ｎ/m，ｎ´/m´，……と並べて数列を作るとき，格子点の巡り方に応じてさまざまな数列ができる。たとえば，点（1，1）→点（2，1）→点（1，2）→点（3，1）→点（2，2）→点（1，3）→…のように巡っていくと，そのときには1/1，1/2，2/1，1/3，2/2，3/1，……という数列ができる。すると，この数列に対して，たとえば有理数8/9，が初めて現れるのは第何項であるかとか，この数列の100番目の項は何であるかなどの問題を考えることができる。　本稿では，３つの巡り方を考え，それを群数列の問題として，上記の問題を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

立方数 １3 ２3 ３3　… ｎ3の前に｢－｣｢＋｣の符号を交互に付けた和 －１3 ＋２3 －３3＋…ｎ3についてはどのようなｎの式で表されるのであろうか。本稿では，ｎ∑ｋ＝１（－１）kk3についてｎ∑ｋ＝１（－１）kk，n∑ｋ＝１（－１）kk２と同様に考察をしてみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋…＋（1＋2＋3＋…＋ｎ）のように，一般項がある数列の和で表されている数列の和を求める，つまり和の和を求める問題がある。この場合は二重シグマ ｎΣｋ＝１ｋΣi＝１iである。さらには，1＋12＋22/1＋2＋12＋22＋32/1＋2＋3＋…＋12＋22＋32＋ｎ2/1＋2＋3＋…＋ｎのように，一般項がある数列の和の商である数列の和を求める，つまり和の商の和を求める問題がある。この場合はシグマが３つあるｎΣｋ＝１ｋΣi＝１i2/ｋΣi＝１ iと表される。　本稿では，　ｎΣｋ＝１ｋΣi＝１ai/ｋΣi＝１bi について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数列｛an｝の群数列とは，初項から順に左から１列に並べてある数列｛an｝に対して，左からある規則に従ってグループ分けしたものである。通常，その規則とは個数の指定であることが多く，仕切り線「｜」で区切ってグループ分けしてある。数列｛an｝の一般項がわかっていれば，第ｎ群anの最初の項が，項数の和からわかる。教科書での説明はこれによる。しかし，第ｎ群anの最初の項を求めるとき，第ｎ群の最初の項をbnとするときの数列｛bn｝を考えた方が早いのである。本稿では，階差数列を使って第n群anの最初の項を求めることを考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

本稿では、∑[k=1→n]kmの計算を、高校数学の範囲で工夫して求める方法をご紹介したい。

栃木県立栃木高等学校　宇賀神 忠靖

数列{an}を初項から順に左から並べ、仕切り線を入れてグループ分けしたものを、第n群の最初や最後の項、項の和などを求める問題がある。本稿では、群数列の理解のための一般論を扱ったマーク式問題をご提示したい。

山口県立徳山高等学校　西元教善

数列の和の応用問題の一つに，１からｎまでの自然数のうち，異なる２つの自然数の積の和を求めさせる問題がある。このような問題はこれまで数列の問題として扱っていなかったために，初見の生徒は解答の糸口が見つけにくいようである。　この問題はi,jを１から nまでの自然数とし，i＜ｊとするときの積ij の和，つまり　　 ｎ∑i＜j ijを求めればよいのであるが，総和記号 についてこのような表し方，使い方をすることは基本的には認められていない。しかし，このような表し方を認めた方が，問題が扱いやすくなる。　本稿では，このような表し方を認め，１から nまでの自然数のうち，異なる２つの自然数の積の和の求め方について，その根底にある考え方を探りながら考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校　西元教善

拙稿『１からnまでの異なる２つの自然数の積の和について ～いろいろな見方～』では，n個の数 ai（i＝１，２，３，……，ｎ；ai≠aj（a≠j））について，その中の異なる２つの数の積 ai ajの和n∑i ＜j ai ajについて考察し，その応用としてn∑i ＜j ij を求めた。　本稿では，これを拡張して，つまりn個の数 ai（i＝１，２，３，……，ｎ；ai≠aj（a≠j））について，その中の異なる３つの数の積 n∑i ＜j＜ｋ ai aj akについて考え，その応用として１からnまでの異なる３つの自然数の積 ijkの和n∑i ＜j＜ｋ ijk を求めてみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校　西元教善

数学では思わず｢うまい！｣と膝を打つような解法がある。そのような中に「中抜け現象」を利用する解法がある。代表的な例は数学Ｂの｢数列｣の中で｢いろいろな数列の和｣という項目で扱われている。２行目において両端以外は，隣り合う偶数番目と奇数番目が「打ち消しあって」消えてしまう。つまり，「中が抜けて」両端の差として求められる。教科書ではこのような数列の和は｢いろいろな数列の和｣として取り上げられているが，実はこの現象は「等差数列」「等比数列」の一般項を求めるときにも潜んでいる。ただ，そのような見方をしていない，あるいは気付いていないだけである。本稿では，この｢中抜け現象｣を意識して数列の一般項や和を再考してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校　西元教善

教科書で紹介されている，群数列の第ｎ群の最初の項の求め方の手順は，① 仕切り線「|」を取り除いてあらわれる数列{an}の一般項を求める ② n≧2のときの第1群から第(n－1)群までの項数+1を求める（これをNとする） ③ ①で求めた一般項anにn＝Nを代入する であるが，もっと直接的に求める方法がある。本稿では，群数列において第ｎ群の最初の項を求める別の方法について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

等差数列と等比数列の積の和，つまり，第k項が pk+q(p,qは定数,p≠0)である数列と，ark-1(a,rは定数,ar≠0,r≠1)である数列の積(pk+q)ark-1の初項から第n項までの和Snは，(1-r)Snを考えることで求められる。ここでは，「公比をかけて引く」という操作の中に，等差数列と等比数列のそれぞれの性質が効果的に出現して和が求められるが，実際にはΣkrk-1(r≠1)が求められればよいのである。本稿では，Σkrk-1(r≠1)の求め方について考えてみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

素数pを分母とする1よりも小さい既約分数列について，⑴ 分母がplである項の個数，⑵ 分母がplである項の和，⑶ 第n項，⑷ 初項から第n項までの和，⑸ 値が1/p以上の項を取り除いてできる数列の第n項，⑹ 値が1/p以上の項を取り除いてできる数列の初項から第n項までの和は，それぞれどのような式で表されるだろうか。本稿では，これらのことを中心に考察したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

自然数の2乗の和の公式はあまりにも有名で、恒等式の利用や三角形上に数値をうまく配置した3枚のカードを回転して重ねるなどその証明もさまざまで、高校生が数学とふれ合うには最適なテーマである。当然結論がわかっていれば、数学的帰納法の練習問題ともなるが、証明を学び理解することで終わってしまう生徒も多いのではなかろうか。そこで本稿では、この数式に意味を見出し、高校数学のレベルで等式の成立を確認してみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

栃木県立壬生高等学校　宇賀神 忠靖

東京書籍『数学Ｂ Advanced』p.28の応用例題9では「等差数列×等比数列」の問題を扱っているが、「等差数列×等比数列」の和を求めるときの公差rの扱いや、公差dがどう関わるのかという点に疑問や関心をもつ生徒もいるのではないだろうか。本稿で考察してみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

数学Bの数列｢和の記号｣で、累乗の和＝｢Σ公式｣を扱う。このうち、自然数の和の公式Σ[k=1→n]k=1/2n(n+1)は容易に導けるが、平方数の和や立方数の和といった累乗の和では｢工夫｣が必要である。本稿では、教科書における証明とは別視点での平方数の和・立方数の和の求め方について考察したい。

山口県立徳山高等学校　西元教善

分数で表された数列の和では，部分分数の差に分解することが要求される。部分分数の差に分解することは，慣れてくると機械的にできてしまうが，初めて学ぶ生徒には決して易しくはないようである。教科書の解説でも，当然のように変形式が書いてあるが，どうしてそうなるのか疑問に思っている生徒がいる。その分解のメカニズムについて，生徒の立場に立って考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

周知のとおり，ｎ∑ｋ＝１ｋとｎ∑ｋ＝１ｋ2については，ｎ∑ｋ＝１ｋ＝1/2n(ｎ＋１），ｎ∑ｋ＝１ｋ2＝1/6n(n＋１)（２ｎ＋１）である。では，これにちょっと手を加えたｎ∑ｋ＝１（－１）kｋ,ｎ∑ｋ＝１(－１)ｋk2はｎの式としてどのように表されるのであろうか。本稿では，ｎ∑ｋ＝１（－１）kｋ,ｎ∑ｋ＝１(－１)ｋk2をｎの式として表すことを通じて，ｎ∑ｋ＝１（－１）n－ｋk2＝ｎ∑ｋ＝１ｋであるという興味深い等式を導く。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

『等差数列×等比数列の和を求める問題』は，数列では典型問題であるが，定期試験に出題しても結果はあまり芳しくない。その一因として，途中の指数計算や通分の計算力不足，答えが煩雑で検算もままならないことが挙げられ，手をつけない生徒も多い。そこで，検算に使えるような一般的な和の公式を導くことは可能であるかを考察してみた。

埼玉県立春日部高等学校　池内仁史

数学Ｂの数列の中で，いろいろな数列ということで部分分数の差に分解して，いわゆる｢中抜け｣を利用して和を求めることができることがある。部分分数の差に分解することで，括弧をはずしたときの隣の項，あるいは一つ飛ばし，二つ飛ばしで項が次々に消えて，両端の項だけ，あるいは両端に２つずつ，３つずつ残って和が求められるというというものである。本稿では，それについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

「数列」は苦手とする生徒の多い分野の一つである。理数科の課題研究では「漸化式」を扱ったが，それ以外にも「課題学習」を通じて「数列」を効果的に指導できる内容があるのではないかという思いで，かような小論を書いた次第である。

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

前回は「５乗数まで和を発見学習する～数学Ｂの課題学習として～」で，発見学習することを紹介した。では，これを具体的にどのように実践するかである。以前，実際に授業で実践して「新数学Ａにおける課題学習の先取り実践～方べきの定理に関わる作図問題～」という報告を行った際には，事前にプリントを作成し，それを活用して実践を行った。今回も同様の方法を採ってみようと考えている。つまり，細かい説明はしないで，まずはプリントを読ませて，個人で２０分間考えさせる（個人探究）。２０分考えてもわからない，できない場合には５～６人程度までのグループで３０分間考えさせる（グループ探究）という方法である。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

等差数列と等比数列の積数列とは少し乱暴な言い方であるが，第ｎ項が等差数列の第ｎ項と等比数列の第ｎ項の積になっているものをいう。教科書の例題には，自然数列(初項１，公差１の等差数列)と初項１，公比ｒの等比数列の積数列の和が扱われていることが多い。そのような具体的な例の場合，同じ１であるために等差数列の公差ｄ，等比数列の公比ｒの意味が見失われがちである。そこで，本稿では一般的に考察することで，その求め方の中にある２つの数列の性質を明確にしながら考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

以前，Ⓐ｢５乗数まで和を発見学習する～数学Ｂの課題学習として～」（２０１０年２月３日掲載），Ⓑ｢４乗数・５乗数の和の公式を作ってみよう～数学Ｂの課題学習用のプリント～｣（２０１０年２月１２日掲載）を紹介した。授業で扱うまでに時間があったため，紹介から５ヶ月経過して，本校理数科２年次生を対象に実践した。本稿は，その報告である。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数列の累乗和は、数列の授業で1乗、2乗、3乗までが、扱われている。特に、３乗については、きれいな結果なので生徒も興味を持つし、数学的帰納法の教材としても優れている。では、４乗以降は、どうなっているのだろうか？m乗和まで分かれば、m+1乗の累乗和は、求められるので、数学を遊ぶくらいの気分で挑戦してみることにした。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

平成23年8月12日にアップされた埼玉県立豊岡高校の五十嵐英男先生の『数列累乗和の公式の規則性を遊ぶ』に大変興味を持った。というのも私自身自然数の累乗の和について考察し，本校生徒を対象にして行った累乗和についての発見学習を『５乗数までの和を発見学習する～数学Ｂの課題学習として～』『４乗数・５乗数の和の公式を作ってみよう～数学Ｂの課題学習用のプリント～』『４乗数・５乗数の和の公式を作ってみよう～階差数列の利用／実践報告～』としてＥネットで発表していたからである。本稿は，五十嵐英男先生の『数列累乗和の公式の規則性を遊ぶ』に提示されていた問題｢①奇数乗和と偶数乗和が，交互に同形になること(つまり，奇数乗和には ，ｎ（ｎ＋１）偶数乗和にはｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１） が因数として出現すること)と，② ｎ，ｎ＋１，２ｎ＋１以外には１次式の因数が存在しない」という規則性の解明に向けて考察を行ったものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

自然数の累乗和，つまり自然数ｋのｍ乗(ｍ は自然数)の総和は，自然数 の関数である。本稿では自然数のｍ乗和について，ｎによる微分を通して｛Ｓｍ（ｎ）｝の持つ性質を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ニューアクションωの例題201で格子点の個数を数列の和として求める問題が扱ってある。ある直線とx軸，y軸とで囲まれる直角三角形の周および内部に含まれる｢格子点｣の個数を問う問題である。これを少し変えると，格子点を頂点とする三角形の面積が，その内部にある格子点の個数，辺上にある格子点の個数で求められるというPickの定理と関連付けられる。本稿では，例題201を題材にPickの定理に触れてみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

２つの等比数列 ｛an｝,｛bn｝の積, 商が等差数列であることは簡単に示せる。同様に２つの等差数列｛cn｝,｛dn｝の和・ 差が等差数列であることも簡単に示せる。等比数列は積，商について閉じていて，等差数列は和，差について閉じているということである。 本稿では，等比数列の和，積，等比数列の逆数の和の間に成り立つ関係式を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

自然数の冪の和，つまり１からｎまでの各自然数のｐ乗の和について，教科書ではｐ＝0，1，2，3のときが公式として扱ってある。p＝0 のときは，初項１，公差１，項数nの等差数列の和として求められる。p＝2　のときは，「中抜け現象」から求めることができる。これは大変うまい方法である。しかし，｢うまい方法｣＝(生徒にとって)｢わかりやすい方法｣とは限らない。事前に数列の和の求め方の一つとして「中抜け現象」という求め方があることを知らせておかなければ，証明方法にギャップを感じるであろう。本稿では，Ｓｎ(0)＝ｎΣｋ＝１１＝ｎを基にしてＳｎ（１），Ｓｎ（２），Ｓｎ（３）を求める方法を考察する。これは初めからこのような方法で求めることを勧めるのではなく，一通り教科書通りの証明を行ったあとで，別証として扱うことを念頭に置いたものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

数列{an}の一般項を求める方法の1つとして，その階差数列{bn}を利用する方法があるが，このとき用いられる公式では，n≧2という条件が不可欠であり，かつ，Σの上がnではなくn-1になることから，数学が苦手な生徒は躓きやすい。本稿では，このn≧2，n-1を回避する方法を考えながら，数学が苦手な生徒向けの公式の改良について考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

自然数の累乗の和を求めるときに、kについての恒等式を用いる場合が多いのですが、この方法だと応用がきくものの自然数の和を求めた発想とはギャップがあり、生徒には唐突なイメージを与えるようです。そこで、パスカルの三角形の性質を利用する方法について述べています。

東京学芸大学附属高等学校教諭　大谷晋

これは生徒の数学理解観や学習目的観にも関わることであるが，今学んでいる数学的内容の理解が脇に置かれ，受験のため単に正解を求めるだけの作業に堕してはいないか，そのため学ぶ意欲が削がれているのではないか，そのために数学力が身に付かないのではないかという危惧がある。本稿では，等差数列と等比数列の積数列の和を題材にして，本当にその数学的な意味がわかっていてそのような解き方をしているのか，何となくマニュアル的なことを上滑りに使っているだけではないのか，そのギャップを埋めることを目的に考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数列は、漸化式・帰納法で時間を使い切ってしまうので、発展やチャレンジなど別項目で付録されている群数列は、生徒に自主的に学習するよう促している。しかし、近年の受験傾向を見ると、整数問題、数列が重視されるようだ。これには、解析などパターン化されている問題では、学生の数学的な能力差が出にくいとの意図が有るのではと感じている。しかし、群数列をしっかり教えようとすると、最低２〜3時間はとられるのは必定だ。それでなくても２年生の数学は時間が窮屈なので授業での指導は難しい。そこで、誰でもできる自主教材を作ろうと考えてみた。もし、共感される方がいらしたら是非使って頂いてコメントを寄せて頂けたらありがたい。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

数学Ｂで扱う「数列」「ベクトル」を苦手とする生徒は少なくない。数列では和の記号Σを使うあたりからそのような兆候が現れる。階差数列，漸化式･･･と進めば尚更である。　本稿では，数列の初歩である「等差数列」「等比数列」「和の記号Σ」について生徒にとってわかりやすい指導を試みる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

四則計算(演算)というように，和・差・積・商（加・減・乗・除）の４つの演算があるが，そのうちの和・差(加・減)，定数倍という特殊な積ではそれぞれ分配法則のようなことが，また，それは生徒にとっては常識的なことが成り立っているわけである。しかし，積・商(乗・除)については成り立たない。このことを注意したにも拘わらず，テスト時に積・商(乗・除)についてまで拡張して，使う生徒がいる。本稿では，Σ計算の誤答から学ぶ考察をする。　※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

これまで１１年間、高校数学を私立高校で教えている上で、さまざまな教え方などを多くの先生方と検討し、新たなアイデアを考え、授業に活かしてきました。今回は本校の特進クラス（国公立大学進学を目指すクラス）で実践した群数列の考え方および実践例について紹介します。

福岡県東福岡高等学校　小瀬木悟

等差数列の和の問題として，両端が自然数である閉区間内にある分母が等しい既約分数の和を求めさせるものがある。　このように，分数ｍ／ｎにおいて分母ｎが素数であるかそうでないかによって，既約分数の個数や総和の求め方に変化が生じる。ここに数学Ａの「整数の性質」を意識する必要が生じてくる。　自然数の正の約数の個数や総和を考えるとき，素因数分解，場合の数，等差・等比数列の和の公式Σ公式等が関連するので，既習事項の確認やその定着に有効であるといえる。　本稿では，そのような観点から，両端が自然数である閉区間内にあって，分母が等しい既約分数の和について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

本校理数科は昭和４７年に設置され，爾来独自の行事や課題研究を行っている。特筆すべき課題研究は，平成１５年から同１７年まで文部科学省からの指定を受けたＳＳＨ (スーパーサイエンスハイスクール)であるが，それは長期的なものではなくわずか３年間で終了した｡一方，長期的に継続している恒例行事には，①理数科合同合宿セミナー（１年次），②課題研究およびその発表会（２年次），③理数科学習合宿（２年次）等がある。本稿では，③の学習合宿で私の行った数学指導について紹介したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

nを自然数とするとき，１からnまでの値をとる確率変数xの期待値Eｎ(x)はｎの関数となるが，特にEｎ(x)が部分分数の差に分解することで求められる場合について，ｎ→∞のときの極限値も扱う問題として作成してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

数列は、知的好奇心さえあれば、学べるので、日頃数学に意欲が無い生徒でも挽回するチャンスかもしれない、教員もそのつもりで、いつもより楽しい気分で授業をしたいものである。教科書に書かれていない話題を色々と集めてまとめてみた。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

平方数の和の公式は，３次の乗法公式 の活用で求めることができる。では，それまでに学んでいる別の知識を活用して，平方数の和の公式を導けないであろうか。本稿では，組合せの数として，あるいは二項係数としての nCr の性質を利用して，平方数の和の公式を導くことを中心に考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

授業での説明やテスト問題などは提示の仕方の如何によって，生徒にとっては同じ内容であってもわかりやすかったり，わかりにくかったりする。本稿では，同じ問題でも提示の仕方で難易度に違いが出てくる問題を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

a≧0, b≧0に対して不等式（a2＋b2）3≧（a3＋b3）2が成り立つことは， ＝3a2b2｛(a－ｂ/3)2＋8/9b2｝≧0であることで証明される。等号成立はa＝0, またはb＝0のときである。さて，この不等式をa≧0, b≧0，c≧0 のとき（a2＋b2＋ c2）3≧（a3＋b3＋ c3）2と拡張した場合とか，さらに，これをak≧0(k=1,2,…,l),m＜n(l,m,n∈N)のとき、(∑akm)n≧(∑akn)mと一般化した場合にこれらの不等式は成り立つのであろうか。成り立つのであれば，等号成立条件や証明方法に興味・関心を引かれる。　本稿では，この２つの不等式の証明および等号成立条件を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

自然数の和は，等差数列の和の公式から求められるが，平方数の和，立方数の和については，二項定理を通じて求められる。平方数の和を求めるときには，（生徒にとっては青天の霹靂のごとく，あるいは天下り式に）等式(k＋1)3－k3＝3k2＋3k＋1が出現する。立方数の和の場合にも，等式(k＋1)４－k４＝4k3＋6k2＋4 k＋1が出現し，同様の方法で求められる。生徒にとっては，この等式は何なのか？　どうしてこのような等式が成り立つのか，と同時になぜこのような等式を唐突に提示されて，累乗の和を求めるときにこれを使わなければならないかが疑問となる。生徒にとって，分かりやすい流れでこれを考察し，授業に役立てるような提示をしたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

平成の最後の年は31年で，西暦では2019年である。現在使われている「元号」の終わりの年が事前にわかっているということはこれまで類がなく，違和感と戸惑いを覚えてからしばらく経つ。本稿ではその惜別の意味も込めて「31」と「2019」について，特に 312019と201931 の下２桁の数を中心にして考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

数列の和を表すのにΣという記号を使う指導をする。それまでは，足す，総和をとるという実感を伴うa1＋a２＋a３＋………＋aｎという書き方であったが，「……」という曖昧さの除去や表記の簡略化ができる記号Σを学習させる。これも生徒にとってはセンセーショナルな記号であろう。本稿では，Σ記号に慣れ，Σ公式を身につけ，Σ公式同士にある相互関係を生徒に見て欲しいと思うことについて考察した。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数列の問題について、生徒が自分で問題を作成し、１つの題材でいくつかの要素、特に漸化式と数列との基本がつながるような演習を考え実施した。その結果、漸化式は同じ数列で表し方の違いであり、楽に漸化式を作ることができるということを生徒は実感したようだと結んでいる。

東京女学館教諭　矢ヶ崎二郎

大学入学共通テストにおける記述式問題は先送りになったが，いずれこのような形式で出題されるので現高１生も準備しておく必要がある。よくある問題形式は「花子さん，太郎さん」あるいは「花子さん，太郎さん，先生」による対話形式によるものである。タイトルの「共通テストの記述式問題を意識した定期考査問題」は，高１生を対象にしたものである。生徒は，模試で「花子さん，太郎さん，（先生）」による対話形式による問題を経験しているが，これまでにない問題形式に戸惑った生徒もいたであろうと思われるので，定期考査でも慣れさせておく必要性があると思い，出題してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/detail/40776/

山口県立光高等学校　西元教善

以前，『教員研修を兼ねた大学入試問題研究⑴～東大の問題を中心にして～』を本サイトで紹介した。本校では進路指導部の管轄のもとで，各教科(国･地歴･数･理･英)の教員が自己研修を兼ねて夏季休業中に研究する。これは平成17年度から始まり，東大，京大，センター試験，本校の生徒の進学希望の多い広島大あるいは山口大の問題中心に指導のための研修を行うものである。ここでは，筆者の担当した2011年度のセンター試験と広島大学の問題(各１問)について，紹介する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

パスカルの三角形を見て気づくことや数列の和との関連、三角形n倍角の公式との関連について触れ、この題材は数学の不思議さや面白さを楽しめ、発展して探究することができる題材であると述べている。

東京学芸大学附属高等学校教諭　大谷晋

「センター試験『高校数学』過去問題集（2007年6月作成）」より。2003年本試験（数学I・Ａ）第３問(1)(2)。この資料全体は，東京書籍「数学B」（2008－2013年度用）の教科書の目次に準拠して，2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は，そのなかの１小問です。データは問題と解答を記載。授業の後，まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。

東京書籍（株）　数学編集部

「センター試験『高校数学』過去問題集（2007年6月作成）」より。2005年追試験（数学I・A）第３問(1)(2)。この資料全体は，東京書籍「数学B」（2008－2013年度用）の教科書の目次に準拠して，2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は，そのなかの１小問です。データは問題と解答を記載。授業の後，まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。

東京書籍（株）　数学編集部

「センター試験『高校数学』過去問題集（2007年6月作成）」より。2006年本試験（数学II・Ｂ）第３問(1)(2)(3)。この資料全体は，東京書籍「数学B」（2008－2013年度用）の教科書の目次に準拠して，2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は，そのなかの１小問です。データは問題と解答を記載。授業の後，まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。

東京書籍（株）　数学編集部

「センター試験『高校数学』過去問題集（2007年6月作成）」より。2002年追試験（数学I・Ａ）第３問(1)(2)(3)(4)。この資料全体は，東京書籍「数学B」（2008－2013年度用）の教科書の目次に準拠して，2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は，そのなかの１小問です。データは問題と解答を記載。授業の後，まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2009年度追試験（数学ⅡＢ) 第3問この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　TEN管理課

センター試験数学過去問題集。2012年度本試験（数学ⅡＢ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2009年度本試験（数学ⅡＢ) 第3問この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　TEN管理課

センター試験数学過去問題集。2010年度本試験（数学ⅡＢ) 第3問この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　TEN管理課

センター試験数学過去問題集。2011年度本試験（数学ⅡＢ) 第3問この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　TEN管理課