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教科書単元リンク集・高等学校

教科書の単元から資料を探すページです。

702 数学Ⅱ Standard4節 式と証明

指導資料

  • ∑[k=1→n]kmの計算を高校数学の範囲で行う
    2023年02月27日
    • 数学
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    ∑[k=1→n]kmの計算を高校数学の範囲で行う

    本稿では、∑[k=1→n]kmの計算を、高校数学の範囲で工夫して求める方法をご紹介したい。

    栃木県立栃木高等学校 宇賀神 忠靖

  • 不等式の意味とその活用~a>c,b>d⇒ab+cd>ad+bcを題材にとって~
    2016年01月15日
    • 数学
    • 実践事例
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    不等式の意味とその活用~a>c,b>d⇒ab+cd>ad+bcを題材にとって~

    数学Ⅱの「式と証明」で不等式の証明を扱う。不等式(左辺)≧(右辺)を証明するには,(左辺)-(右辺)が0以上であることを,与えられた条件(不等式)や実数の性質((実数),2≧0)を使って示せばよい。ただ,機械的に示すだけでなく,図形的な解釈,意味付けが可能であるときには,それを生徒に提示する方がその不等式のもつ意味がより理解されると思う。さらには,証明した不等式が別の不等式の証明,特に図形的な意味を伴った不等式の証明に活用できればなおさらであろう。 本稿では,条件付き不等式「a>c,b>d⇒ab+cd>ad+bc 」を題材にとって,このことを考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 根号を含むある不等式について~一般化 ・ 単純化~
    2016年11月25日
    • 数学
    • 指導資料
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    根号を含むある不等式について~一般化 ・ 単純化~

    根号を含む不等式を証明するとき,差をとる方針ではすぐに行き詰まってしまうので,両辺が0以上であることを確認して,各辺の2乗の差をとるという方針で進める。各辺の2乗の差が根号を含む式の平方の和として表されれば,それが0以上になることから与えられた(根号を含む)不等式の証明ができる。本稿では,a≧0,b≧0,c≧0のとき,√3(a+4b+9c)≧√a+2√b+3√c であることの証明および等号成立条件を求める問題を生徒に解説していたときに,その証明の構造を理解するには,一般化,あるいは単純化した方がよいのではないかと思ったことをまとめたものである。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 円に外接する等脚台形について
    2022年07月29日
    • 数学
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    円に外接する等脚台形について

    円に外接する等脚台形ABCDの内部に上底AD・下底BCに平行な線分EFをとって2つの等脚台形をつくり、それぞれに内接円が存在する場合、AD=a、BC=bとするとき、線分EFの長さはaとbを使ってどう表されるか。また、等脚台形の脚の長さや内接円の半径はaとbを使ってどう表されるか。本稿ではこれについて考えたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立徳山高等学校 西元教善

  • 絶対値記号を含む不等式の解答について ~多様な解答~
    2019年03月29日
    • 数学
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    絶対値記号を含む不等式の解答について ~多様な解答~

    採点をしていて,何となく不完全さを感じるが,よく考えみると問題はないことが判明する。しかし,生徒本人は本当にそこまでのことがわかって書いているのかという疑問を抱かせる解答に出会うことがある。説明不足であるとして減点もできるが,わかって書いているのかもしれないし,どう採点したものか……減点法ですべきか加点法ですべきか……と採点基準の設定が悩ましい解答がある。本稿では,このような事例について,絶対値記号を含む不等式の問題の解答を題材にして考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

    山口県立高森高等学校 西元教善

  • ~A3+B3+C3=D3+E3 について~
    2019年04月24日
    • 数学
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    ~A3+B3+C3=D3+E3 について~

    1つの恒等式は,様々な数式を生み出す原動力となるなんとも頼もしい存在である。自分なりに魅力を感じる恒等式とそこから生まれる数式を紹介してみようと思う。

    國學院大學栃木高等学校 宇賀神忠靖

  • 両辺の平方の差を考える不等式の証明について~絶対にそうしなければできないのか,別証を考える~
    2020年05月01日
    • 数学
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    両辺の平方の差を考える不等式の証明について~絶対にそうしなければできないのか,別証を考える~

     不等式の証明,例えば,不等式 A≧Bを証明するときは A-B≧0を示すことが多い。不等式の証明の直前には等式の証明を扱うが,そこで等式A=Bの証明の仕方には 1 A=……=B ∴A=B,2 A=……=C,B=……=C ∴A=B,3> A-B=……=0 ∴A=Bという3つがあることに言及し,教科書の例題等では主に 1 ,2 を扱っている。 一方,不等式の証明方法についてはこのような記述はない。できれば同様に,A≧Bを証明する方法として 1 A≧……≧B ∴A≧B, 2 A-B=……≧0 ∴A≧B, 3 A≧0,B≧0のとき,A2-B2=……≧0 ∴A≧B などがあることに言及しておけばよいと思う。 よくある生徒の勘違いに,証明すべき不等式 A≧B をもとに変形して,(  )2≧0等に至ることで証明できたとすることがある。本稿では、不等式の証明を本質的に理解させ,定着させるために必要なことがらについて考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら。

    山口県立光高等学校 西元教善

  • 相加・相乗平均の関係,コーシー・シュワルツの不等式のグラフ化~視覚的に不等式,等号成立条件を理解する~
    2020年05月08日
    • 数学
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    相加・相乗平均の関係,コーシー・シュワルツの不等式のグラフ化~視覚的に不等式,等号成立条件を理解する~

     数学Ⅱの「式と証明」で不等式の証明を扱う。その中で,「相加・相乗平均の関係」や「コーシー・シュワルツの不等式(不等式名は教科書では扱っていない)」を扱う。ともに両辺の差の式変形を通じて,(  )2 を作れば証明が完了し,同時に等号成立条件も求められる。「式と証明」という単元名が示すように式変形が主であり,関数やグラフとして捉えることはしない。しかし,関数と捉えてグラフを描くことで,その不等式の持つ意味を視覚的に理解させるという指導法も考えられる。 本稿では,「相加・相乗平均の関係」や「コーシー・シュワルツの不等式」をグラフ化し,その意味や等号成立条件の視覚的理解を試みる。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立光高等学校 西元教善

  • 数学における「とる」という意味 ~√をとる、対数をとる~
    2022年05月13日
    • 数学
    • 指導資料
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    数学における「とる」という意味 ~√をとる、対数をとる~

    新採用数学教員の研究授業後の反省会で、数学教員<ruby>ではない<rt>・・・・</rt></ruby>管理職から「ルート(√)をとると言ったが、記号を取り去るのか、正の平方根を求めるのか、言葉遣いが明確でない。」との助言があった。そこで本稿では、数学的な見地から改めて日本語の「とる」という語句の意味を考えてみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立徳山高等学校 西元教善

  • 【式と証明】複数の学習内容を含む問題(ニューグローバルトップ)
    2024年07月08日
    • 数学
    • 指導資料
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    【式と証明】複数の学習内容を含む問題(ニューグローバルトップ)

    math connect「教科書・教材のひと工夫(高校)」より。入試対策問題集『ニューグローバルトップ数学Ⅰ+A+Ⅱ+B+C』では,典型的な入試問題を集めた“Try”のコーナーのすべての問題に,解説動画を用意しています。

    東京書籍(株) 算数・数学編集部

  • 条件付き不等式についての一考察(1)~計量的視点から~
    2010年02月19日
    • 数学
    • 実践事例
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    条件付き不等式についての一考察(1)~計量的視点から~

    H20.8.4に掲載された拙稿「不等式の証明について」では,生徒が不等式に興味・関心をもってくれそうな題材として, Shapiroの巡回不等式を紹介した。高校で学習する不等式には,実数の性質から成り立つ「絶対不等式」と,ある条件のもとでは成り立つ「条件付き不等式」とがある。本稿では,ある条件付き不等式について考察してみたい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 条件付き不等式についての一考察(2)~計量的・グラフ的視点から~
    2010年03月05日
    • 数学
    • 実践事例
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    条件付き不等式についての一考察(2)~計量的・グラフ的視点から~

    本稿では,東書数学Ⅱの問,問題,練習問題で扱われている「条件付き不等式」の証明問題を計量的に扱えるように,正という条件を追加して,面積として,あるいはグラフを使って考察してみる。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 条件付き不等式についての一考察(3)~拡張と一般化~
    2010年03月19日
    • 数学
    • 実践事例
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    条件付き不等式についての一考察(3)~拡張と一般化~

    「不等式2つ,文字各3つ(したがって文字6つ)」の場合について考察し,それを基にして,一般化された「不等式2つ,文字各n個(したがって文字2n個)」の場合を証明する。また,「不等式3つ,文字各3つ(したがって文字9つ)」の場合について,「不等式2つ,文字各3つ(したがって文字6つ)」の場合を基に証明する※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 相加・相乗平均の関係についての一考察~条件付き不等式による別証~
    2010年07月30日
    • 数学
    • 実践事例
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    相加・相乗平均の関係についての一考察~条件付き不等式による別証~

    「条件付き不等式についての一考察⑴~計量的視点から~」,「条件付き不等式についての一考察⑵~計量的・グラフ的視点から~」,「条件付き不等式についての一考察⑶~拡張と一般化~」では,条件付き不等式『 (*) a>c, b>dのとき,ab+cd>ad+bc 』を中心にした不等式を考察した。本稿では,「条件付き不等式についての一考察⑴⑵⑶」で得られている結果を補充しながら,相加・相乗平均の関係の別証を試みたい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • コーシー・シュワルツの不等式の別証~不等号の出所を考えながら~
    2011年09月30日
    • 数学
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    コーシー・シュワルツの不等式の別証~不等号の出所を考えながら~

    数学Ⅱでは,不等式の証明を扱う。もっぱら(実数)²≧0を出所にして証明をするが,図形的に考えて,長さ(距離)の大小で処理することや判別式の符号などから証明可能な場合もある。たとえば,(コーシー・)シュワルツの不等式の不等式などもそうである。本稿では,その別証について,いくつか考察してみたい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 不等式を視覚的に捉える~不等式の証明で扱う例題を中心にして~
    2011年10月07日
    • 数学
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    不等式を視覚的に捉える~不等式の証明で扱う例題を中心にして~

    数学Ⅱの方程式・式と証明で「不等式の証明」を扱う。式と証明の中で扱うのであるから,基本的には視覚的な理解は目標になく,本来それに言及する必要はないだろう。視覚的な理解としては,数学Ⅲで微分を扱うときに,グラフをかいて,そこで不等式の意味を考えさせればよいのであるが,可能であるならば,そこで式と証明で扱った不等式のグラフをかいて,その意味を視覚的に理解させておく方が,定着がよいように思う。そこで,本稿では,数学Ⅲの無理関数,微分法まで学習した後で,式と証明の不等式を再考させるという立場で,考察を行ってみた。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • ある条件付き不等式の等号成立条件について~拡張による煩雑さの解消をねらって~
    2014年07月18日
    • 数学
    • 実践事例
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    ある条件付き不等式の等号成立条件について~拡張による煩雑さの解消をねらって~

    不等式の証明は数学Ⅱの「式と証明」で扱う。等式の証明で条件(等式)付きの等式を扱うが,同様に不等式でも条件(不等式)付きの不等式の証明を扱う。 『a>c,b>dのとき,不等式ab+cd>ad+bcを証明せよ。』という証明問題は『a≧c,b≧dのとき,不等式ab+cd≧ad+bcを証明せよ。また,等号が成り立つのはどのようなときか。』という等号成立条件を求めさせる証明問題に直すことができる。では,もっと文字を増やしたときの証明はどうなるのか,特に等号成立条件に着目して考察してみた。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 三角形の内部の点から3辺までの距離に関する不等式~コーシー・シュワルツの不等式の活用~
    2015年09月25日
    • 数学
    • 実践事例
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    三角形の内部の点から3辺までの距離に関する不等式~コーシー・シュワルツの不等式の活用~

    三角形ABCの内部にある点Pから3辺AB,BC,CAまでの距離をそれぞれd1,d2,d3とするとき,d1=d2=d3であればd1(=d2=d3)は三角形ABCの内接円の半径であり,点Pは三角形ABCの内心である。そのとき,三角形ABCの面積をSとするとd1(AB+BC+CA)=2Sという関係がある。一般に,d1BC+d2CA+d3AB=2Sであり,面積Sは3辺の長さや3つの内角から求められる。当然,d1,d2,d3は3辺の長さや3つの内角と関係があるが,どのような関係があるのかについて,コーシー・シュワルツの不等式を活用して,不等式という観点から考察したい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 不等式の証明について
    2008年08月04日
    • 数学
    • 実践事例
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    不等式の証明について

    「不等式」や「証明」は生徒が苦手とする分野である。ましてや「不等式の証明」となればなおさらのことである。不等式の前に恒等式や方程式といった等式を,不等式の証明の前には等式の証明を考察して,その準備をする。

    山口県立岩国高等学校 西元教善

  • 条件付き不等式についての一考察~|a|<1,|b|<1のとき,ab+1>a+bを題材にして~
    2013年03月08日
    • 数学
    • 実践事例
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    条件付き不等式についての一考察~|a|<1,|b|<1のとき,ab+1>a+bを題材にして~

    不等式の証明は数学Ⅱで扱う。不等式の証明とはどのように考え,どう記述すればよいのかにおいて,定着程度に差がつきやすいといえるであろう。両辺の差をとって,いくつかの平方の和に変形して(実数)2≧0から証明するとか,両辺とも0以上であることから平方して差をとって証明するとか,あるいは相加・相乗平均の関係を使うとか証明方法は多様であり,その発想と証明として認められる書き方に苦慮する生徒は少なくない。また,本稿で題材とする不等式「|a|<1,|a|<1,|b|<1⇒ab+1>a+b 」のように条件付き不等式というものあるが,この不等式を利用すると「|a|<1,|b|<1,|c|<1,⇒ab c+2>a+b+cという条件付き不等式が説明できるが,初学の生徒を悩ませるものであろう。本稿では,生徒にとってわかりやすい説明はどのようなものであるかを中心にして考察してみたい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 相加・相乗平均の関係を納得する~点と直線の距離の公式による相加平均・相乗平均の図式化~
    2020年01月17日
    • 数学
    • 指導資料
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    相加・相乗平均の関係を納得する~点と直線の距離の公式による相加平均・相乗平均の図式化~

    相加・相乗平均の関係は簡便な公式である。不等式の変形の際に使えるだけでなく,ある条件の下で考えている式の最大値や最小値を求めるときにも使える。その証明については,(相加平均)-(相乗平均)を変形して平方の形にして(実数)2≧0という実数の基本性質から導かれる。本稿では,図で納得させるように「点と直線の距離の公式」を使った例を考案した。

    山口県立高森高等学校 西元教善

  • 相加平均≧相乗平均≧調和平均」と直角三角形 ~斜辺>直角をはさむ辺の利用~
    2022年07月22日
    • 数学
    • 指導資料
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    相加平均≧相乗平均≧調和平均」と直角三角形 ~斜辺>直角をはさむ辺の利用~

    2つの正の数の相乗・相加平均の関係については「式と証明(数学Ⅱ)」で扱うが、式での理解以外に、「直角三角形において斜辺は最大の辺」という三角形の辺の長さの大小(長短)での納得の仕方がある。本稿では、直角三角形を使って「相加平均≧相乗平均≧調和平均」であることを印象深く納得する方法を紹介したい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立徳山高等学校 西元教善

  • 数学Ⅱにおける点と直線の指導について~ 直線のベクトル方程式を理解しやすくするための準備として ~
    2017年11月10日
    • 数学
    • 指導資料
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    数学Ⅱにおける点と直線の指導について~ 直線のベクトル方程式を理解しやすくするための準備として ~

    数学Bの「ベクトル」で,直線のベクトル方程式を扱うが,数学Ⅱでの直線の方程式,つまり座標平面でのx,yを使った方程式に比べ,それは生徒にとってはわかりにくい代物のようである。数学Ⅱでの 「点と直線」 についての展開を見ると,直線の方程式の直前に座標平面上の 「分点」 の座標を扱っているが,これは「直線の方程式」とうまく連結されていない。そこには分点という視座から直線を考えるというスタンスは見受けられない。しかし,「線分の分点と端点の集合が直線になる」,「直線は線分の分点と端点から構成されている」ことが理解できていれば,即座に理解できる。そこで,そのようなわかり方ができる準備を数学Ⅱの「点と直線」で行う指導について考えたい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立高森高等学校教諭 西元教善

  • n個の正数のn乗の和とn個の積のn倍の差 ~相加・相乗平均の関係に関わる変形~
    2018年10月05日
    • 数学
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    n個の正数のn乗の和とn個の積のn倍の差 ~相加・相乗平均の関係に関わる変形~

    2数の場合の相加・相乗平均の関係は,2個の2乗数の和と2個の数の積の2倍の差の関係から証明される。また,3数の場合の相加・相乗平均の関係は,3個の3乗数の和と3個の数の積の3倍の差の関係を変形して証明される。 本稿では,相加・相乗平均の関係に関わる関係(平方の和,平方の正数倍の和)として,正数のn個のn乗数の和とn個の積のn倍の差について,それがどのように表されるかについて考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立高森高等学校教諭 西元教善

  • コーシー・シュワルツの不等式(Ⅰ)~n=2からn=3,n=kからn=k+1へ~
    2020年06月05日
    • 数学
    • 指導資料
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    コーシー・シュワルツの不等式(Ⅰ)~n=2からn=3,n=kからn=k+1へ~

    本稿では,4数a,b,x,yについてのコーシー・シュワルツの不等式を用いて,6数a,b,c,x,y,zについてのコーシー・シュワルツの不等式を証明すること,さらにはその発想を数学的帰納法での n=kから n=k+1を導く過程に使い,2以上のすべての自然数nに対して,2つの数列{an},{xn}それぞれの項の平方の和の積が,それぞれの数列の同じ番号の項の積の和の平方以上あることなどの証明について考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/detail/40776

    山口県立光高等学校 西元教善

  • コーシー・シュワルツの不等式(Ⅱ)~ベクトルの内積,三角関数の利用~
    2020年06月19日
    • 数学
    • 指導資料
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    コーシー・シュワルツの不等式(Ⅱ)~ベクトルの内積,三角関数の利用~

    拙稿「コーシー・シュワルツの不等式(Ⅰ)」では,「a i ,x i それぞれの平方の和の積はそれぞれの同じ番号の項の積 a i x i の和の平方以上」が成り立つことを(等号成立条件も含めて)示した。このように議論を進めていけばよいという納得感のある証明であったと思うが,欠点は高校生にとって計算量が多いということである。そこで,本稿ではもっと簡潔明瞭な証明を考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立光高等学校 西元教善

  • a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)の証明について
    2011年02月04日
    • 数学
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    a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)の証明について

    以前,『x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)の活用について~3次方程式の解に関連して~』という原稿を東書Eネットにアップして頂いた。それはこの等式についての活用として,3次方程式の解に関連させるため,あえてx,y,zで表した。本稿では通常どおりa,b,cで表し, a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)の証明については,どのようなものが考えられるか,また,生徒にとってわかりやすいものはどのようなものかを考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 等式(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)からの一考察
    2011年02月11日
    • 数学
    • 実践事例
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    等式(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)からの一考察

    拙稿『a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)の証明について』において,この回のテーマである等式(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)に触れて,等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caと同様に準公式として扱ってはどうかという提案をした。では,この等式の有用性はなにか,つまり,この等式からどのようなことが導けるかについて考察してみるべきであると考え,本稿を書いた。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • ak≧0(k=1,2,…,l),m<n(l,m,n∈N)のとき、(∑akm)n≧(∑akn)mであること
    2016年10月28日
    • 数学
    • 指導資料
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    ak≧0(k=1,2,…,l),m<n(l,m,n∈N)のとき、(∑akm)n≧(∑akn)mであること

    a≧0, b≧0に対して不等式(a2+b2)3≧(a3+b3)2が成り立つことは, =3a2b2{(a-b/3)2+8/9b2}≧0であることで証明される。等号成立はa=0, またはb=0のときである。さて,この不等式をa≧0, b≧0,c≧0 のとき(a2+b2+ c2)3≧(a3+b3+ c3)2と拡張した場合とか,さらに,これをak≧0(k=1,2,…,l),m<n(l,m,n∈N)のとき、(∑akm)n≧(∑akn)mと一般化した場合にこれらの不等式は成り立つのであろうか。成り立つのであれば,等号成立条件や証明方法に興味・関心を引かれる。 本稿では,この2つの不等式の証明および等号成立条件を考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • コーシー・シュワルツの不等式の証明あれこれ~別証を考えさせよう~
    2013年02月22日
    • 数学
    • 実践事例
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    コーシー・シュワルツの不等式の証明あれこれ~別証を考えさせよう~

    教科書では,『コーシー・シュワルツの不等式』という呼称で扱うことはないが,(ax+by)2≦(a2+b2)(x2+y2) という不等式が成り立ち,等号成立はay=bxのときであること,およびその応用を扱う。その証明は「不等式の証明」という単元で扱うため,その基本である(右辺)-(左辺)=…=(実数)2≧0という形で行う。つまり,『(a2+b2)(x2+y2)-(ax+by)2 =…=a2y2-2abxy+b2x2=(ay-bx)2≧0 よって(ax+by)2≦(a2+b2)(x2+y2) 等号成立はay-bx=0つまりay=bx』というようにするが,初学の生徒にとって,a2y2-2abxy+b2x2=(ay-bx)2の箇所がネックになるようである。そこで,他にはどのような証明があるか,よりわかりやすいものはないかと思い考察してみた。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 平均に関する不等式、コーシー=シュワルツの不等式について
    2013年08月12日
    • 数学
    • 指導資料
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    平均に関する不等式、コーシー=シュワルツの不等式について

    相加・相乗平均の不等式は、単に不等式の証明にだけではなく、関数において変数の変域を絞り込んだり、最大・最小問題の解法などにおいても現れる。入試問題では数学Ⅲにおいて、微分による方法、指数関数を使った方法等の誘導による形式で 出題されることがある。そのような中にあって、数学ⅡとB だけで証明できないかと考えて今回のテーマに辿り着いた。最後に、2 つの正の数の場合の相加・相乗平均の不等式より、有名なコーシー =シュワルツの不等式を導く。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    東京都立駒場高等学校教諭 渡部毅

  • 別解(別証)を考えさせる~多面的理解をめざして~
    2010年05月27日
    • 数学
    • 実践事例
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    別解(別証)を考えさせる~多面的理解をめざして~

    生徒の数学力の向上をめざし,次期教育課程では,数学Ⅰ・Aでは「課題学習」が導入されるが,限られた時間数の中で実践するのであるから効果的な題材を選定しなければならない。個人的に実践してみたいことの中に,1つの問題を多面的に考察する,つまり,複数の別解(別証)を考察させることがある。

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • これからの解答編のあり方について ~生徒目線の解答と模範解答~
    2022年11月04日
    • 数学
    • 指導資料
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    これからの解答編のあり方について ~生徒目線の解答と模範解答~

    「先生、解答を見たのですがわけがわかりません」――こんな質問を受けることがよくある。確かに、問題集のいわゆる解答編には正統的ではあるものの、力が足りない生徒にはわかりづらい―消化しづらい―ものがあるのも事実である。これを踏まえ、本稿では解答編のあり方について一石を投じてみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立徳山高等学校 西元教善

  • 数学未解決問題研究-エルデス・シュトラウスの予想を証明する-
    2009年02月15日
    • 数学
    • 実践事例
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    数学未解決問題研究-エルデス・シュトラウスの予想を証明する-

    エルデス・シュトラウスの予想を証明する。「ニコニコしながら和分の積」&自動作問研究で考案したプログラミング理論「万が一理論」からのアプローチ。

    昭和鉄道高等学校 菅野正人

  • 三角形の重心の図形的な意味について~3辺までの距離の積が最大になる点~
    2016年04月08日
    • 数学
    • 実践事例
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    三角形の重心の図形的な意味について~3辺までの距離の積が最大になる点~

    「重心」の図形的な意味といえば,その定義から三角形の3本の中線の交点であって,頂点とその対辺の中点を結ぶ3本の中線をそれぞれ2:1に内分するということである。では,これとは別に重心の図形的な意味を説明せよと問われるとどう答えることができるのであろうか。 本稿では,三角形の面積,正弦定理,3数の相加・相乗平均の関係を使って,これらを考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • [集中連載]先輩,ここどげん教えると?-私ならこう教える Part 4-
    2014年09月01日
    • 数学
    • 実践事例
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    [集中連載]先輩,ここどげん教えると?-私ならこう教える Part 4-

    ニューサポート高校「数学」vol.22(2014年秋号)より。 「先輩,ここどげん教えると?」の第4 弾です。今回は主に,数学Ⅱの相加平均と相乗平均の関係を扱ってみました。数学の問題を解くうえで頻出する不等式ですが,一般化までは日頃考えません。生徒達に視覚的に捉えさせることを含め,一般化への証明を試みました。

    九州数学シンクタンクグループ

  • (小中高関連)[数と式]不等式
    2013年11月18日
    • 算数
    • 数学
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    (小中高関連)[数と式]不等式

    「よくわかる! 小・中・高 算数・数学のつながり」(2013年10月発行)より。教科書から抜粋した紙面を通して「どの学年で」「どんな内容を」「どのように学んでいるか」が概観できるようになっております。学習内容のつながりや扱いなどの概要の説明,学習段階・学習内容の一覧,学習内容に関する教科書紙面,学習内容に関する留意点(児童,生徒の実態,取り扱い上の配慮)などで構成。

    東京書籍(株) 算数・数学編集部

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