官公庁の入札で「くじ引きの順番を決めるくじ」が多く導入されていることからも、一般的には「くじを引く順番で有利・不利が生じる」と考えられているようだ。しかし、当たりくじを引く確率は一定である。これは確率を理解していれば自明なのだが、生徒に実感させるのは難しい。そこで本稿では、くじ引きで誰が当たりくじを引くかが同様に確からしいことを生徒に実感させ、問題の解法に活用する方法も考察する。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

常翔学園中学校・高等学校　栗原達也

ニューサポート高校「数学」vol．28（2017年秋号）より。新課程入試も3 年目となり，もはや「新」と断る必要も感じなくなった。改訂で加えられた分野についても，「データの分析」の減少，「整数の性質」・「複素数平面」の隆盛といった印象はあったが，通常運転の入試における傾向と言ってしまっていいように思う。そこでこちらも通常運転に戻って，新課程とは関係なく「確率」の問題を眺めてみることにした。

開成中学・高等学校教諭　井手健宏

「２つの袋Ａ，Ｂにはそれぞれ碁石(白と黒)がいくつか入っているとする。袋Ａからその中に入っている碁石を１個取り出して袋Ｂに入れて，よくかき混ぜて袋Ｂからその中に入っている碁石を１個取り出す。この碁石が白(あるいは黒)であったときそれが袋Ａから袋Ｂに移ってきた碁石である確率を求めよ。」とか「両面が白のカード，両面が黒のカード，１つの面が白で残りの面が黒である白黒のカードが何枚か入った袋から１枚ずつ取り出して並べる。そのとき上面を表，下面を裏とするとき，並べたカードの表がすべて白(あるいは黒)であったとき，裏がすべて黒(あるいは白)である確率を求めよ。」といった「白黒についての条件つき確率」を考えさせる問題は生徒にとって悩ましい問題のようである。生徒にとってどこがどのように難しいのか，生徒が納得する説明を試みたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

確率の問題の中に「先にｎ勝で優勝する確率」を求める問題がある。これはプロ野球の日本シリーズのような試合で優勝する確率を求めるもので，反復試行の確率を使って求める。東書数学Ａでは，これに類する問題として次のような問題を扱っている。≪Ａ，Ｂの２人が１枚ずつコインを投げ，２人とも表ならＡの勝ち，それ以外のときはＢの勝ちとなるゲームを行う。このゲームをくり返して，先に３回勝った方を優勝とするとき，次の確率を求めよ。⑴　４回目にＡの優勝が決まる。⑵　Ａが優勝する。≫本稿では，この問題を一般化して≪Ａ，Ｂの２人が勝負のつくゲームを行う。Ａが勝つ確率をＰとしてこのゲームをくり返し，先にｍ回勝った方を優勝とするとき，Ａの優勝する確率ＰAを求めよ。≫という問題を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

ごく平凡な「くじ引き」問題に少しだけ特別ルールを加えたとき、その確率はどうなるであろうか。本稿では、その「実験」の結果をご報告させていただきたい。「時の流れを逆にする」ことのスッキリ感を味わっていただければ幸いである。

栃木県立壬生高等学校　宇賀神 忠靖

さいころを１回投げたときに出る目の半分の｢床関数｣(あるいは｢天井関数｣)での値を１辺の長さが１の正方形ＡＢＣＤの辺上をある頂点からの点Ｐの移動距離とするとき，何回かさいころを投げて，点Ｐが４つの頂点Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄそれぞれにある確率を求めるという問題を考えてみた。　本稿は，特に｢床関数｣での場合を，また２～４回投げるとき，点Ｐが４つの頂点それぞれにある確率を求めることを中心に考察したものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

新教育課程での数学Ａでは｢整数の性質｣が新規導入された。それ以前では整数の性質について基本的な事項さえも十分に押さえないまま，ある意味知っていて当然というような扱いであった。そのため整式の計算や分数式の計算に支障を来していたこともある。さて，｢整数の性質｣といっても多様であるが，その中に｢除法の性質｣や｢整除｣がある。それに関連して２つの整数をある整数で割ったときの余りが等しい，つまり２つの整数の差がある整数で割りきれるというというのがある。これは｢合同式｣で体系的に扱うことができる。　本稿では，この｢合同式｣を使って，整数に関する確率―従って場合の数も含まれる―を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

確立の値の意味は，説明するのが大変なものの一つであろう。通常は，O＜ｐ＜１として，ある事象の確率がｐならば，100回中100×ｐ回程度はその事象が起こることを意味すると説明されている。また，現実の様々な事象に対して，その確率は多くの回数を繰り返した中でその事象が起こった割合から定められていることが普通である。

法政大学教授　長坂建二

確率の問題では，さいころを投げたときの目の数や数字の書かれたカードや色のついたボールなどを袋に入れ，取り出したときの数字やボールの個数などを使うことが多い。　本稿では，合同な正三角形を繋ぎ合せて大きな正三角形を作ったとき，出た数字ともとの正三角形の頂点からなる頂点，辺上の点，内部の点を対応させる確率の問題を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

赤玉２個，白玉３個，青玉４個の入っている袋から，１個の玉を取り出して色を確認して袋に戻すという試行を６回繰り返すとき，赤玉を１個，白玉を２個，青玉を３個取り出す確率は，１回の試行で赤玉，白玉，青玉を取り出す確率がそれぞれ ２／９，３／９，４／９であることから ６！／１！２！３！　（２／９）1 （３／９）２ （４／９）３ である。また，同じ袋から６個の玉を同時に取り出すとき，赤玉を１個，白玉を２個，青玉を３個取り出す確率は 2C1 ・ 3C2・ 4C3／9C6である。このとき，赤玉２個は区別している。白玉３個，青玉４個についても同様に区別している。　なぜ，同時に取り出すときは区別して，反復試行の確率のときは区別しないのかその理由がわからないという生徒がいたので，生徒の納得のいく説明を考察してみることにした。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

さいころをn回投げるとき，k (k＝1，2，3，4，5，6)以下の目が出る確率は（ｋ／6）n であり，l (l＝1，2，3，4，5，6)以上の目が出る確率は(7－l／6) nである。また,k≦lを満たす１以上６以下の整数k,lに対して，ｌ以上ｋ以下の目が出る確率は（k－l＋１／６）nである。「k≧l＋2を満たす１以上６以下の整数k,lに対して，さいころをn回投げるとき，最大値がk，最小値がlである確率を求めよ」という問題に対して，(最大値がk以下で最小値がl以上である確率)－(最大値がk－l以下で最小値がl＋ｌ以上である確率)というように考える生徒が出てくることがある。本稿では，なぜこれではいけないのか，ではどのように考えればよいのかについて，生徒にとってわかりやすい説明を考察したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

条件つき確率と積事象の確率を混同，混乱する生徒は少なくない。その区別は時制，つまり「現在形」であるか「過去形」であるかで区別できる。「***であったとき，……である確率を求めよ。」と書いてあれば条件つき確率であり，「***であるとき，……である確率を求めよ。」と書いてあれば積事象の確率である。このことから問題文を読んだときに，求める確率が｢条件つき確率｣であるのかあるいは｢積事象の確率｣であるのかを区別できなければならない。本稿では，生徒にとってこの違いがよくわかって，しかも楽しい題材を紹介する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

２つの事象ＡＢに対して，事象Ａが起こったときの事象Ｂの起こる確率を，事象Ａが起こったときの事象Ｂの起こる条件つき確率といい，ＰＡ（Ｂ）で表す。本稿では，条件つき確率の図的な意味を説明するとき，１つの図だけでは説明できないような例について，複数の図を使って生徒にわかりやすい説明を試みる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

独立な試行に関する内容(数学A確率)の中で，｢２個のさいころを同時に投げて，最大値が３である確率を求めよ。｣のように何個かのさいころを同時に投げ，出る目の最大値や最小値が指定された値(１から６まで)になる確率を問う問題がある。さて，このような問題に初めて出会う生徒はどう解答するだろうか。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

事象Bが起こったときに事象Aの起こる確率を，Bが起こったときのAの起こる条件つき確率というが，事象Aと事象Bにおいて時間的な違いがあるとき，たとえば事象Aが先に起こり，事象Bが後に起こるという場合に，「Bが起こったときのAの起こる条件つき確率」という表現をすると違和感がある。先に起こることが現在形で後に起こることが過去形で表現されると生徒はそのことに拘り，混乱してしまうことがある。　本稿では，時間的に違いのある２つの事象についての条件つき確率の問題における表現について考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学 A の「確率」の分野から「期待値」は姿を消し，数学 C の学習内容であった「条件つき確率」が数学 A で取り扱われることとなりました。概念的に決してわかりやすいものとは言えません。具体例を通してイメージを膨らませることで，理解を深めさせたいものです。

東京都立戸山高等学校　志村賢一

今回の学習指導要領の改訂では、「教育を受ける者が、学校生活を営む上で必要な規律を重んずるとともに、自ら進んで学習に取り組む意欲を高めることを重視して行わなければならない」(教育基本法第6条第2 項) ことや、「主体的に学習に取り組む態度を養うことに、特に意を用いなければならない」(学校教育法第30 条第2 項) ことを踏まえ、生徒の学習意欲の向上を重視しています。そのような授業は、教師が意図的に数学的活動を導き、生徒とともに実現していきます。その過程では、いろいろな工夫が必要ですが、今回は、生徒の主体的な活動につながる「学習意欲を向上させるための問題設定の工夫」に焦点を絞り、確率の単元から、4 点ばかり挙げてみます。

神奈川県立総合教育センター　持丸裕一

東京大学前期（文理）第３問の確率の問題を授業で扱ったところ，数学同好会の一人の生徒がそれを一般化したものをメモにしてもってきたので，それを整理し、誘導設問を付した問題にして授業で取り上げました。メモを提出した生徒は漸化式を繰り返し代入する計算によっていましたが，特殊解による解法をどこかで教えようと思っていたところなので，ちょうどよい例となっていたこともありいい教材になったと思っています。また，一般化自体が問題の本質をよく見抜いているので是非紹介したいと思います。

奈良県東大寺学園高等学校　本庄隆

確率の問題，あるいは場合の数の問題でもそうであるが，事象として硬貨，さいころ，トランプなどを使った例が多い。何か他に目新しいものはないかと考えて，オセロの駒を思いついた。オセロの駒は表裏が白黒になっていて，裏返してその変化を表すことができる。本来，ゲームとしては相手の駒を自分の色の駒で挟むとそれらを裏返して自分の駒の色に変え，最終的に枚数の多い方が勝ちになるわけであるが，これを何か他のものの変化に連動して裏返して，白の駒数，黒の駒数を考えれば，確率の問題とすることができる。　本稿では，このようにオセロの駒の枚数に関わる確率の問題を考えてみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Aで学習する二項係数、二項定理の応用として多項係数が出てくるが、その多項係数の一つとして、三項係数の問題例を紹介している。

埼玉県立岩槻北陵高等学校教諭　福住譲

「センター試験『高校数学』過去問題集（2007年6月作成）」より。2000年本試験（数学II・Ｂ）第５問(1)(2)(3)キ～コ。この資料全体は，東京書籍「数学A」（2008－2013年度用）の教科書の目次に準拠して，2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は，そのなかの１小問です。データは問題と解答を記載。授業の後，まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

ニューサポート高校「数学」vol.20　特集：集中連載　先輩，ここどげん教えると？Part 2（2013年秋号）より。あるとき，知人から電話があり「大学の先輩が数学の問題を解いて欲しいと言っています。問題を送っていいですか？」というので，早速送ってもらいました。

駿台予備校講師　安田亨

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2015年度本試験(旧課程数学I・A)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2014年度追試験(数学I・A)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2011年度追試験(数学ⅠＡ)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2012年度追試験(数学ⅠＡ)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

「センター試験『高校数学』過去問題集（2007年6月作成）」より。2001年本試験（数学I・Ａ）第１問［２］(1)(2)(3)(4)。この資料全体は，東京書籍「数学A」（2008－2013年度用）の教科書の目次に準拠して，2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は，そのなかの１小問です。データは問題と解答を記載。授業の後，まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。

東京書籍（株）　数学編集部

「センター試験『高校数学』過去問題集（2007年6月作成）」より。2007年本試験（数学I・Ａ）第４問。この資料全体は，東京書籍「数学A」（2008－2013年度用）の教科書の目次に準拠して，2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は，そのなかの１小問です。データは問題と解答を記載。授業の後，まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。

東京書籍（株）　数学編集部