不定積分の部分積分法とは，積の導関数の公式から不定積分f(x)ｇ(x)が変形できること，およびそれを利用して積f(x)ｇ(x)の不定積分∫f(x)ｇ(x)dxをｇ(x) の原始関数 を用いて，変形したりその結果として，不定積分が求められたりする不定積分の計算方法のことである。本稿では，このように部分積分法を２回適用した結果，右辺に求めるべき左辺の不定積分が出現する不定積分を題材にして考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

nを整数とするとき，不定積分∫sinndxの求め方はnの値によって違ってくる。では，nの値に応じてどのように変形してもとめればよいか，本稿ではその背景を明らかにしながら，n＝－３，－２，－１，１，２，３，４，５の場合について求めてみる。なお，ｎ＝１，２，３，４，５，－１，－２，－３の順に求めることにする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

asinx＋bcosxの不定積分であれば，生徒も即座に－cosnx＋bsinx＋C (Cは積分定数)と答えられるが，その逆数である１／asinx＋bcosxについては少々考えなければならない。　本稿では，tanｘ／2を介して求める方法と三角関数の合成を利用して求める方法を扱ってみる。また，その結果を公式として使うと見かけが異なる答えとなるが，その理由と解消法についても考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

数学Ⅲで分数関数の不定積分を扱う。ｇ(x)＝ｆ’(x)の場合 すなわち∫ｆ’(x)／ｆ(x)ｄｘ(ｆ(x)は整関数)であれば即座にlog |ｆ(x)|＋C（Cは積分定数）と答えることができるが，そのような形でない場合には一般には部分分数に分解して求める。その際には,以前学習した恒等式による計算が必要とされるが，時には部分分数の分解の形が指示されていることがある。本稿は，なぜ指示された形においてよいのかについて疑問をもった生徒がいたので，その指導について考察したものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

数学Ⅲの定積分では，a＞０として∫a 0　√a2－x2　dxや∫a0 dx／a2＋x2という定積分を扱う。数学のよくできる生徒から不定積分∫√１＋x2dxはどのように求めればよいのかという質問を受けた。恐らく，x＝tanθとおいて計算すればよいのであろうという見当はついているようであったが，求められなかったようである。本稿では，この質問に対する解答を試みたい。 ※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

n=1､2､3､4のとき∫sinnx dxは、生徒にとっても比較的簡単に求められる。では、∫dx/sinnx(n=1､2､3､4)はどうであろうか。本稿では、この4つの不定積分を求める。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

前回は、n=1､2､3､4のときの4つの不定積分について考察した。生徒に考えさせる問題としてはこれで十分だろうが、もっと一般的な場合の結果が知りたくなった。そこで今回は、nが自然数のときの不定積分∫dx/sinnxについて考察してみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

不定積分∫dx/xn±1について、n=1,2の場合は高校数学で扱われ、比較的容易に求められる。一方、n=3,4,5の場合、逆三角関数を用いる不定積分は高校数学では扱われていないが、逆関数については扱っているので「できない」ことはない。本稿ではこれについて考察する。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

前回は、不定積分∫dx/xn±1について、n=1,2,3,4の場合どうなるかについて考察した。本稿では前回に引き続き、今度は n=5の場合について考察する。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

東京書籍の教育情報誌 『ニューサポート高校　数学　vol.14 2010 』の“ドキッ”とする生徒からの問集part3において，なぜ，このような部分分数に分けるのか，また，分けられるのかその理由を生徒にわからせる指導方法を訊ねる質問への回答が掲載されてあった。なぜこのような形にするのか，その目的は何か，また，このような形にしなくても，他に求められる形はあるのかについて考えてみれば，別視点からのよい指導法になるのではないかと思い，考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅲでは，そこで扱う微分・積分は数学Ⅱのそれに比べると扱う関数が多様になる。基本的には，数学Ⅱでは，xnの導関数の公式の求め方を理解し，記憶して使いこなせればどうにかなる。この公式は，数学Ⅲになると，二項定理を利用して指数が拡張される。その後，三角関数，対数関数，指数関数というように微分する関数の種類が多様になり，それぞれの個々の導関数を公式として覚え，関数全般についての導関数の公式(積・商の導関数，合成関数の導関数，対数微分法)を使って多様な関数の微分ができることが要求される。本稿は，タイトルにもあるようにxa, ax, xx の微分・積分について，その違いをしっかり教えたいという思いで書いたものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

三角関数の不定積分で，∫sin2xdxや∫sin3xdxを求めるとき，それぞれ２倍角の公式や３倍角の公式を使って求める。では，一般に∫sinnxdxはどのようになるのかという質問を生徒から受けた。そこで考察してみることにした。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ニューサポート高校「数学」vol．26（2016年秋号）より。最終回は、多項式関数のグラフからの係数の符号の判別、分数関数や無理関数の原始関数についてそれぞれ考察を深めてみました。

九州数学シンクタンクグループ

ニューサポート高校「数学」vol．24（2015年秋号）より。今回は，部分積分がくり返される場合についてと，無限級数の収束，発散について，それぞれ考察を深めてみました。また，前回（Part 5）に引き続いて，接線の方程式を陰関数にまで拡張して考えてみました。

九州数学シンクタンクグループ

立体の体積は，切り口の面積がわかれば定積分で求めることができる。本稿では，正方形を底辺とし，辺の長さがすべて等しい正四角錐を，底面の正方形の対角線の交点を中心とし，直径が正方形の１辺の長さに等しい円を底面とする直円柱でくり抜いてできる残りの立体の体積を定積分で求めてみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

授業での説明やテスト問題などは提示の仕方の如何によって，生徒にとっては同じ内容であってもわかりやすかったり，わかりにくかったりする。本稿では，同じ問題でも提示の仕方で難易度に違いが出てくる問題を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善