数学Ⅲの教科書で三角関数の基本的な極限の証明では円の面積が既知であることを前提にしている。アルキメデスにならい，内接多角形の面積と外接多角形の面積の間に円の面積があると考えて計算をしてみることにした。

埼玉県豊岡高等学校　五十嵐英男

ｙ＝sinx, y＝cosxのグラフは授業で必ず扱うが，ｙ＝sin1/x, y＝cosx1/xのグラフまで扱うことは少ない。ｙ＝xsin1/x, y＝xcosx1/x　のグラフについては尚更であるが，ｙ＝xsin1/xという関数は｢はさみうちの原理｣を使って求める関数の極限limx→０xsin1/xに現れる。ｙ＝xsin1/xのグラフについてそのイメージを持たないままであるから無理やり説得させられたという印象を持つ生徒もいる。本稿では，ｙ＝sin1/x, y＝cos1/x, y＝xsin1/x, Y＝xcos1/xについて，その増減とグラフについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

数学Ⅲで扱う「対数関数logaxの x→∞のときの極限」については，グラフを通じての視覚的な判断によるものである。しかし，対数関数 logax (a>１)の場合は，関数 y＝ logaxのグラフは直線 ｙ＝ｘの下方にあり，しかも増加が緩やかで，直線ｙ＝ｘからどんどん引き離されて行くようすがグラフからうかがえ，確かに単調増加であるから徐々に上昇しているものの，いずれ頭打ちになってある値を超えられなくなるのではないかという可能性もグラフからは否定できない。このようなことから「a>１のとき，limｘ→∞logax＝∞」であることを「グラフから判断して」とさらりとかわしていいものであろうかと思う。案外，ここを疑問に思っている生徒も決して少なくないのではないかと思うので，対数関数の極限について，分数関数との比較で考察してみたいと思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

ｘについての１次方程式ｘ＝ｘ/ｎ＋ｍ（ｎは２以上の自然数，ｍは自然数）の解はｘ＝ｍｎ/ｎ－１である。では，両辺にガウス記号をつけたｘについての方程式［ｘ］＝［ｘ/ｎ＋ｍ］（ｎは２以上の自然数，ｍは自然数）の解はどのようになるであろうか。さて，ガウス記号[　]は，≪実数 ｘに対して，［ｘ］はｘを超えない最大整数≫という定義で数学Ⅰの｢実数｣で扱われている。この定義から，ｎを整数として，①［ｘ］＝ｎ⇔ｎ≦ｘ＜ｎ＋１②［ｘ］＝ｎ⇔ｘ＝ｎ＋α（０≦α＜１）ということになる。なお，①は教科書でも扱ってある。本稿では②の意味で使い，方程式ｘ＝ｘ/ｎ＋ｍ（ｎは２以上の自然数，ｍは自然数）の解を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

limx→0sinx/x＝1の証明には，0＜x＜π/2 のとき，sinx＜x＜tanx が成り立つことを図形的に証明するといった，これまで極限値が等式変形で求められていたのに対し，不等式を利用するはさみうちの原理による証明をする点で，意識改革が要求される。不等式sinx＜x＜tanx（0＜x＜π/2）を式変形でなく，図形の面積を比較して証明するなど，生徒は思いも及ばぬ方法に当惑する。本稿では，三角関数の性質に注目し，limx→0sinx/x＝1の証明について考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

座標平面上で点Cを中心とする半径rの円Cを考えると，円C上の異なる２点A，B(ｘ座標をそれぞれa，bとする)における法線の交点はCであり，2つの接点と2本の法線の交点間の距離AC，BCについては，AC＝BC＝rであるからB→AのときBC→rで，limb→aBC＝rであり，Aの位置とは無関係に一定である。本稿では，代表的な関数としてf(x)＝1/x，x2，logx，ex，sinxについて，それぞれの極限値 limb→aBCを求めてみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

前回「２つの接点と２本の法線の交点間の距離の極限値について（１）」で，曲線y＝f(x)の異なる2点における法線na，nbの交点をCとするとき，極限値limb→a BCについて考察した。本稿では，ここで得られた結果について，それぞれの最大値，最小値の存在の有無について確認し，もし存在するのであればその値を求めてみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

問題を解いて（あるいは証明して）いて，「なるほどここにこの公式（定理）を使うのか」と納得するときがある。同時にそれは，その公式（定理）の重要性を認識するときでもある。逆に，問題を作成するときには，その公式（定理）をここで使わせたいという思いがそこに込められている。本稿では，limθ→0sinθ/θ＝1を使う問題をつくりながら，問題作成の教育的意義についても言及する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

三角関数を含む関数の極限を求める問題では、グラフとともに考えれば、はさみうちの原理を使えばよいのか，lim[θ→0]sinθ/θ=1を使えばよいのかがわかりやすくなる。本稿では、三角関数の極限を求める問題でのグラフを使った理解支援について考察する。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

標題の問題を一般化し、aがどのような条件を満たせば、2以上の自然数nに対し方程式logax－x/na=0がaとan√aの間に少なくとも1つの実数解をもつのかという証明問題にできるのではと思った。本稿では、この点を考察したい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

数学Ⅲの「極限」で関数の極限を扱うが、極限値を求める際「はさみうちの原理」を使うのか、lim[θ→0]sinθ/θ=1を使うのか、混乱する生徒がいる。これに慣れるには、「はさみうちの原理」を使うための不等式をつくることから始める必要がある。本稿では、はさみうちの原理について考察する。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

[はじめに]11月11日付掲載の『解けるだけでよいのか～用具的理解と関係的理解の狭間で～』で，連続性，微分可能性についての生徒の理解度を考察したものを紹介した。その後，12月に実施された第４回考査(２学期期末考査)では問題Eを出題してみたが，これはよくできていた。その一方で次の問題は思ったほどの正解率ではなかった。そこで，今回はそれについて考察してみたい。

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

連続性，微分可能性やはさみうちの原理などは極限に関わる基本的かつ重要な数学的概念や原理である。微分に関わる性質や公式を覚え，それを機械的に処理することはできてもいざ関数f(x)がx＝aで連続であること，微分可能であることを問うとその定義さえ正確に述べることができなかったり，与えられた関数の具体的な値での連続性や微分可能性について答えられなかったりすることがある。　定期考査で上記に関する問題を出題したところ想定外に正答率が悪かった。もう一度基本事項の確認をさせる必要があると思い，特にサイン(sine)に関する極限の指導法について考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，く表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅲの微分法で関数の増減をもとにしてそのグラフをかくことを扱う。その中で漸近線を求めることがある。分数関数の場合は，分母＝０を解くことでy 軸に平行な漸近線x＝a が求められる。また，単にその方程式を求めるだけでなく，右側極限と左側極限を求めておく必要がある。つまり，x→ a + 0 のとき極限が∞であるのか－∞であるのか，同様にx→ a－0 のとき極限が∞であるのか－∞であるのかを調べておく必要がある。本稿では，f1(x)=1/(x2－a), f2(x)=x/(x2－a), f3(x)=x2/(x2－a), f4(x)=x3/(x2－a)の各々について，x→1+0，x→1－0，x→－1+0，x→－1－0が，∞であるのか－∞であるのかについて，生徒にとってわかりやすい説明を考察した。　※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

解答編には｢和積公式｣を使った解答がしてあって，わからないと質問に来た生徒がいた。訊けば｢和積公式｣を知らないという。教科書(数学Ⅱ)には載っていたが授業では扱わなかったという。｢和積公式｣は加法定理の応用であるから必要に応じて作れないことはない。しかしそれを意識させる場面がなければ生徒はこのようなことに考えが及ばない。当然のことである。｢和積公式｣はその応用場面として，三角関数の導関数を定義通りに求めるときがある。しかし，それを使わなくては絶対にできないわけでもない。確かに有効な公式であるが，絶対に使わなければ求められないわけではない。では，どのような｢別解｣があるのか，考察してみることにした。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

三角関数の導関数を求めるにはlimsinθ／θ＝１が必要である。その証明にはsinθ＜θ＜tanθ(0＜θ＜π／2)を使う。三角関数の導関数が使えればlimsinθ／θ＝１, sinθ＜θ＜tanθ の証明は簡単である。 本稿では，limsinθ／θ＝１とsinθ＜θ＜tanθが同値であることを証明した。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅲの｢関数の極限｣で，ｘ→αのときｇ（ｘ）→０かつ　ｆ(ｘ)/ｇ（ｘ）→β（α，βは定数）……(*)が成り立つとき，関数 ｆ(ｘ)の中に含まれている定数 a，b 等を定める問題を扱う。教科書で扱ってある解法の他に解法はないのか，しかももっとわかりやすい解法はないのかという思いがあったので，本稿で，整式の割算やロピタルの定理を用いた別解を考えてみたいと思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

「はさみうちの原理」には不等式が絡んでくる。初学の生徒は，等式の証明になぜ不等式を使うのかという疑問を抱くであろう。確かにこれまで，等式の証明といえば，① Ａ＝･･･(→)･･･＝Ｂ ⇒ Ａ＝Ｂ② Ａ＝･･･(→)･･･＝Ｃ，Ｂ＝･･･(→)･･･＝Ｃ ⇒ Ａ＝Ｂ　③ Ａ－Ｂ＝･･･(→)･･･＝０ ⇒ Ａ＝Ｂという３パターンであったのでなおさらである｡　しかし，④ Ａ≦ＢかつＡ≧Ｂ ⇒ Ａ＝Ｂというような場合もある｡　不等式で等式を証明することはあるが，④は生徒の認知度，定着度が低い｡本稿では，はさみうちの原理を使って証明する代表的な事例について，このような説明を加えたら生徒の理解がもう少し進むであろうと思うことを述べてみたい｡※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

特に数学に限ったことではないが，何かの概念を規定するために｢定義｣をする。数学では，日常的な経験に必ずしも立脚していない点に独特のわかりにくさを感じる生徒は少なくない。ましてやその定義が否定を伴うものであればなおさらである。　本稿では，ガウス記号[　]を中心にして，否定で定義されている数学的概念について，そのわかりにくさ，その回避法について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

「解法は１通りではない」－数学の別解づくりを考えよう－稲永善数―平成15年4月作成より。アメリカのテキスト「解析」の分野では，必ず δ− ∈ が表われる。また，不連続関数もふんだんにグラフに載せてあり，日本の数学Ⅲの教科書とは趣をことにしている。大学では，「微分積分学」は，実数の連続性から始まり，極限，収束の理論など多くの公理や定理が学ばれる。しかし次から次へと単品メニューが現われ，それを消化するには時間を要した経験がある。ここでは特に，「実数の連続性に関する定理の同値性」についてまとめておきたい.

稲永善数

高校生で数学IIIまで学ぶ生徒が減っているので、微積分について腰を据えて教材研究することがなかったが、やはりそんないい加減な気持ちだとバチが当たるらしい。かつて転勤していきなり数学IIIそれも一番優秀な生徒のいるクラスを担当させられた。当時は、毎日教材研究を必死にやったが、それでも不安で、あの「解析概論」まで引っ張りだしてきていた。さて、そのとき気になったのが、中間値の定理と平均値の定理である。これが、教科書には、正確な証明が記述されていない。今年、再び数学IIIを教えるにあたって、この部分について再検討を重ねた結果、高校生にも納得できる糸口を見つけたので紹介したい。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

三角関数絡みの極限値を求める問題で，公式を使い懸命に計算している生徒を見て，ふと彼らは「どんなグラフでx→0としているのか」を考えたことがあるだろうかと思った。本稿では，教科書の問題レベルの関数のグラフを，limθ→0sinθ/θ＝1を使って極限を求める問題のサポート役として活用してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

ある関数をともに同じ値に収束する関数で挟み，はさみうちの原理でその関数も同じ値に収束することという考え方は，生徒にとってなかなか馴染めないものである。本稿では，数列{2nsin(1/2n)}の極限値について考察し，生徒の理解支援としたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

半径が１の円を使って円周上に円周を５，６等分する点をとってできる星形をそれぞれ「星形正五角形」，｢星形正六角形｣と呼ぶことにして，一般的にｎを５以上の自然数として｢星形正 ｎ角形｣を考えるとき，その面積Snはどのように表されるのかとか，ｎ→∞とするとSnの極限はどのようになるのかとかは，生徒にとっても興味を引く問題であろう。　本稿では，これらのことについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

オイラーの定数γとは極限値limn→∞{logn-（１＋１／２＋１／３＋……＋１／ｎ）}のことであり，ζ(ｓ)とは∞Σｎ＝１　１／ｎ,sのことである。　本稿では，γとζ(ｓ)の間にある関係式について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校　西元教善

数列の極限，関数の極限で｢はさみうちの原理｣を扱う。本質的には同じ問題であるが，その証明方針は若干違う。その微妙な違いの中に躓く生徒がいる。もうワンクッションあればよいと感じる所があるのでその辺りを中心に考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅰでは｢関数とグラフ｣を，数学Ａでは｢整数の性質｣を扱う。関数と整数を関連させるものの一つにガウスの記号[　]があるといえる。これは｢床関数｣であり，これとのセットとして｢天井関数｣がある。さらには，小数第１位を四捨五入する｢四捨五入関数｣もある。整数という世界だけで整数を考察するだけでなく，実数という世界の中で整数を考察することも整数を理解する上で大切である。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

一般的な微分の導入は、平均変化率の学習から始まり、xの変化量を限りなく０に近づけることで接線を定義し、その傾きを微分係数とする展開をとる。はたして、曲線上のある点における接線が一つとは限らないとしている生徒が、この極限の接線のイメージをつかみ、微分係数の意味を理解することができているのであろうか。というのは、そういう誤解を持つ生徒は、ある点における接線もぐらぐら揺らいでいるイメージを持っているように推察されるからである。そこで微分の導入には、いくつかの配慮が必要となろう。

岡山県立備前緑陽高等学校教諭　末廣聡

定理の証明を理解させるのは難しいことである。ここでは，４つの定理についてそれを理解させるための工夫の一案を紹介している。

開成高等学校　木部陽一