標題の数式の値 γ（オイラーの定数）が有理数か無理数かは、今のところわかっていない。本稿では、標題の数式からわかることをさまざまな角度から考察する。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

本稿では、本サイト既掲載『lim(1+1/2＋1/3＋…＋1/n－logn)=γからわかること』の続編として、自然数の逆数の和とオイラーの定数γの関係について考察する。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

本稿では、eが無理数であることを証明するときにうまくいった方法にならい、オイラーの定数γに関する不等式をつくって、それが無理数であることの証明を試みてみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

東京書籍『数学Ⅲ Advanced』(平成31年度発行) p.98では、rn→∞(r＞1)であることを二項定理を使い、証明している。本稿ではこの証明について、生徒にとって<ruby>より<rt>・・</rt></ruby>わかりやすい説明にチャレンジしてみる。

山口県立徳山高等学校　西元教善

各項が有理数であり，極限値をもつとき，その値が無理数となるような数列の例を生徒に尋ねると案外答えられない。たとえば，a1＝１， a2＝1.4， a3＝1.41，a4＝1.414，……，an＝√2を小数表示したときの第 ｎ-１位までの有限小数とすれば，各項は有理数で　　　　　　　（無理数）である。しかし，これは作為的な印象を持ったりして生徒の興味・関心を引きそうにない。そこで，生徒の興味・関心を引きそうな例を「連分数」に求め考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校　西元教善

本稿では，連分数fmについて，特別なｍの値に対するいくつかの連分数fmを扱い，それらの和や積，関係式を求めたり，ｍの値を分数や負の整数まで拡張してその値やある関係について考察したりする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校　西元教善

数列の極限の応用として，自然数nで決定される確率Pnにおいて，その極限値を求める問題がある。このような問題では，一般的に極限値を求めることは比較的簡単で，数列{Pn}の一般項を求めることの方が生徒にとっては難しい。特に，漸化式を作ることが難しいようである。それどころか，漸化式を作るという発想が全くない場合さえある。「なぜ漸化式という発想が必要なのか」，また，「その漸化式をどのように作るのか」について，生徒にとってわかりやすい説明を試みたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

数学Ⅲの定期考査問題として、無限級数の収束と発散について問うたことがある。点を取らせようと思ったにもかかわらず、デキは一息であった。そこで、無限級数の和の求め方（発散も含めて）の指導の徹底が必要であると痛感し、指導法について改めて考察してみた。

山口県立徳山高等学校　西元教善

本稿では，数列の極限の指導について述べる。極限については数学Ⅱでも扱うが，数学Ⅲでは無限大(∞)を扱うことが決定的に違う点である。数学Ⅲは数列の極限から始まるといっても過言ではないが，それまでの実数上での計算との違いを明確にした指導をしなければならない。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

n→∞のとき，cosθ/２n→１であるが，nを1, 2, 3, ・・・とするときのcosθ/２nをすべて掛け合わせた無限積つまり n→∞のときの積cosθ/２・cosθ/２2・cosθ/２3・・・・・cosθ/２nの極限はどうなるのだろうか。 収束をするのかしないのか，するならばその値は何なのか。 ０＜θ＜π/２のとき０＜cosθ/２n＜１だから０＜cosθ/２・cosθ/２2・cosθ/２3・・・・・cosθ/２n＜１である。 このような事実も考え合わせてどのようなことがいえるのかについて考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿『１＋１/２＋１/３＋…＋１/ｎとloｇｎについて(1)』では数学Ⅲの「定積分と不等式」では，オイラーの定数を用いて考察した。本稿では，１＋１/２＋１/３＋…＋１/ｎとloｇｎについて，ともに無限級数の形に直して比較・考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数列の和の中で，部分分数の差に分解して，｢相殺現象｣を利用して求める問題がある。本稿では，相殺現象を利用して の２重無限級数表示を行う。いろいろな数列の和，無限級数の和(２重Σも含めて)を求めるとき，「相殺現象」が現れると比較的求めやすい。参考になれば幸いである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅲの数列の極限では，２項間の漸化式によって定められる数列の極限を扱っている。そうであれば，２次の正方行列のｎ乗の極限を扱ってもよいのではないか，つまり，数学Ⅲと数学Ｂのコラボがあるのなら，数学Ⅲと数学Ｃのコラボもありうるのではないかという思いで考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

9月7日付で，拙稿『オイラーの定数とゼータ関数の関係についての一考察～進んだ生徒の興味・関心を起こさせる題材として～』をＥ－ネットに掲載した。これはゼータ関数に関する和(無限和)についての考察であったが，では，積(無限積)ではどうなるのか？　と考えてみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿『オイラーの定数とゼータ関数の関係についての一考察～進んだ生徒の興味・関心を起こさせる題材として～』と『ゼータ関数表からの一考察(1)』では，ゼータ関数に関する無限和 を考察し，無限和から無限積という流れを経ているが，ゼータ関数表(表１)を眺めているとゼータ関数に関する無限和について，さらに興味を起こさせる題材を見つけることができる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

平成２０年度の１年間、科目等履修生として宇都宮大学大学院の教育学研究科に通わせていただき、週に１回、解析学特論Ⅲという科目名で、数学の藤平秀行教授からマンツーマンで解析学を改めて一から学び直す機会を得た。今回はその成果の中から、高校３年生理系の数学Ⅲの授業にも活用できそうなトピックをいくつか紹介し、関連する大学入試問題にも触れてみる。

栃木県矢板東高等学校　潮田康夫

数学Ⅲで数列の極限を扱う。収束すること，発散することがわかりやすい数列もあればそうでないものもある。見た感じが似ていると先入観で混乱することもある。発散には,｢正(負)の無限大に発散する｣と｢振動｣とがあり，振動する数列の代表例は{(－1)ｎ}である。(－1)ｎを他のｎの式の中に組み入れて，他の振動する例が作れると同時に，収束する例，正(負)の無限大に発散する例も作れる。生徒の中には，(－1)ｎがあると，振動と判断する者もいるが，確かにそうなる場合もあれば，そうでない場合がある。そのような｢似て非なる例｣をいくつか挙げて，生徒の理解を深める考察を行ってみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅲの数列の極限で，無限等比数列{ｒｎ}の極限を扱う。教科書では，ｒ＞１のときはｒ＝１＋ｈ(ｈ＞０)と表し，二項定理，第３項以降の正数の切り捨てで得られる不等式ｒｎ＞１＋ｎｈによって，ｎ→∞のとき，右辺→∞となることから，左辺ｒｎ→∞を示す。ただ，これについては，直観的，経験的に生徒は理解しているだろう。たとえば，電卓で２×２×２×･･････を計算するとき，何回か掛けるとオーバーフローしてしまう。また，同様に，0.5×0.5×0.5×･･････を計算すると，今度は何回か掛けると０になる。このような電卓遊びの中で，ｒ＞１のとき，ｒｎ→∞(ｎ→∞)，－１＜ｒ＜１のとき，ｒｎ→０(ｎ→∞)ということを実感していると思う。これは，電卓による数値的な理解である。これについて視覚的な理解をさせてみようと思い，Ｔｏｓｈｏ関数図形エディタの活用を試みた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅲで無限級数を扱うが，その中で限級数の収束・発散と数列との関連についての考察がある。これについて生徒から質問があった。本稿では，この疑問についての指導を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数式等で表されたものを，グラフを通じて｢見る｣ということは，数学的現象を理解する上で大切である。数列の極限については，収束・発散に関わる事実を理解して，式変形を通じてその極限を調べるが，その数列がどのような振る舞いをしながら，収束をする，発散をするということまでは調べない。教科書では，その導入部分で，簡単な例で，ｎ が１桁程度のときの点（ｎ，an） を平面に図示して，その収束のようすを視覚的に理解させている。しかし，それがもっと複雑になった場合のグラフは割愛され，主に式変形から極限を求めるようになっている。もちろんこの姿勢でよいのであるが，そこにそのようすを示すグラフがあれば，もっと動的な理解ができるのではないかと思い，BASICを使って，教科書の例や例題で取り上げられている数列の極限をグラフに表してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

無限等比数列の極限の問題として，rn/ｒｎ＋1等を分母・分子に含む分数列の極限を扱う。このグラフは，不連続な点や定義されないｒ があり，関数の連続性を扱うには格好の関数のように思え，関数の連続性を扱う前に扱っておきたいという思いがある。視覚的理解をさせるために収束のようすをグラフで扱ってみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅲで，主に無限等比級数であるが，無限級数の和を扱う。また，これは発展になりますがe=∑1/n!という興味ある無限級数の和にも触れる機会がある。これを活用すれば，e=lim(1+1/n)nが無理数であることも証明できる。本稿では∑1/nnについて，評価や近似値を中心にして考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

授業での説明やテスト問題などは提示の仕方の如何によって，生徒にとっては同じ内容であってもわかりやすかったり，わかりにくかったりする。本稿では，同じ問題でも提示の仕方で難易度に違いが出てくる問題を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

オイラーの定数γとは極限値limn→∞{logn-（１＋１／２＋１／３＋……＋１／ｎ）}のことであり，ζ(ｓ)とは∞Σｎ＝１　１／ｎ,sのことである。　本稿では，γとζ(ｓ)の間にある関係式について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校　西元教善

２項間の漸化式 a1=a, aｎ＋１=ｐaｎ＋ｑ（ｐｑ≠０）で定義される数列｛aｎ｝は，│ｐ│＜１という条件で，特性方程式α=ｐα＋ｑの解に収束する。では，３項間の漸化式で定義される数列｛aｎ｝は，ｐ，ｑがどのような条件を満たせば収束して，どのような値に収束するのかに興味，関心を抱く生徒もいるだろう。本稿は，そのような生徒を対象にした指導のための考察である。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

２項間の漸化式 a1=a, aｎ＋１=ｐaｎ＋ｑ（ｐｑ≠０）で定義される数列｛aｎ｝は，0＜│ｐ│＜１という条件で，特性方程式α=ｐα＋ｑの解に収束する。では，３項間の漸化式で定義される数列｛aｎ｝は視覚的にどのように説明できるだろうか。本稿では，このことについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ｎを４以上の自然数とするとき，2ⁿ≧n²である。これは数学的帰納法の問題としてもよく扱われる。すると，nを４以上の自然数とするとき，n²／2ⁿ≦１である。ではΣk²／2kの値は のどのような式として表されるのか，それはｎ→∞ のとき収束するのか，収束するならばその値はいくらかということに興味・関心が持たれるであろう。そこで，このことについて考察することにした。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿「オイラーの定数とゼータ関数の関係についての一考察～進んだ生徒の興味・関心を起こさせる題材として～」（EネットH21.9.7掲載）で，オイラーの定数とゼータ関数について考察した。今回は，オイラーの定数を面積の和として，また線分の長さの和として，グラフから視覚的に捉えてみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

面積や体積を求めるとき，和の極限値として求める方法が「区分求積法」であるが，これが定積分と結びつくことで，ある種の数列の和の極限値が定積分で求められる。この数列の和の極限値は定積分でなければ絶対に求められないのか？という生徒からの質問があったので，これに答えるべく考察を行ってみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ニューサポート高校「数学」vol．24（2015年秋号）より。今回は，部分積分がくり返される場合についてと，無限級数の収束，発散について，それぞれ考察を深めてみました。また，前回（Part 5）に引き続いて，接線の方程式を陰関数にまで拡張して考えてみました。

九州数学シンクタンクグループ

数列の極限，関数の極限で｢はさみうちの原理｣を扱う。本質的には同じ問題であるが，その証明方針は若干違う。その微妙な違いの中に躓く生徒がいる。もうワンクッションあればよいと感じる所があるのでその辺りを中心に考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

「解法は１通りではない」－数学の別解づくりを考えよう－稲永善数―平成15年4月作成より。ギリシャのアルキメデス，インドのバスカラ，生涯 π に魅せられたドイツのルドルフ，やがて，ニュートンやライプニッツによって微積分学が発明され，飛躍的に数学が発達する。この微積分学を用いた無限級数の和として π を表したのは，グレゴリー，飛躍的に円周率を求めたのは，シャープ などが代表格である。

稲永善数

ニューサポート高校「数学」vol．31（2019年春号）より。紙を半分に折る作業を繰り返すことにより， 近似的に紙をn等分することができます。このことを数学的に考察したところ，多くの分野にわたるよい教材であることがわかりました。 ⑴漸化式（数B）および数列の極限（数Ⅲ） ⑵2 進法（数A） ⑶合成関数（数Ⅲ） ⑷鳩ノ巣原理（数A）。そこで，学校設定科目「SS 基幹探究」にて実践することにより，数学の理論・原理への興味の向上と，考える力の育成を目指しました。

富山県立富山中部高等学校教諭　笹島浩平

数学Ⅲで無限級数を扱う。形式的に無限数列の和を考えるのであるが，まず，これに生徒の感じるギャップがある。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

本稿では、漸化式（隣接2項間の漸化式、隣接3項間の漸化式）で定められる数列の一般項の極限を、特性方程式及びそれらの平面的解釈・空間的解釈と関連させ、生徒の「極限」理解を深化させる説明を試みたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

ニューサポート高校数学 2003年5月発行「大学入試トピックス」より。2003年度国公立大学前期入学試験の２次試験が終わりました。予備校などのホームページで気になる大学の入試問題をチェックしてみましたが，おおむね予想しうる範囲内の出題で，オーソドックスな問題が多いという印象でした。オーソドックスといっても易しい問題というわけではなく，受験会場では難しく感じられたのではないでしょうか。印象に残った問題の中から，解答を見ると易しそうですが，試験会場では難しく感じたのではないかと思われる証明問題を２つ紹介します。

開成高等学校教諭　井手健宏

ニューサポート高校「数学」vol．22（2014年秋号）より。数列の漸化式というと，ついつい解くことばかりを考えてしまうが，解けない（あるいは，解かないで処理する方がベターな）漸化式の問題も多い。その代表格は，数列の極限の問題である。

開成中学校・高等学校教諭　井手健宏