「解法は１通りではない」－数学の別解づくりを考えよう－稲永善数―平成15年4月作成より。教科書ではおなじみの問題である。ギリシャ時代は定規とコンパスを用いた，いわゆる「幾何学」の手法で，この関係を導いている。デカルトの登場で，座標を導入，「解析幾何学」の手法で，代数的に計算をすることにより示せるようになった。数学はつまずくと，偉大な数学者が現われ道具を発明，それを機縁にして爆発的に数学が発達する。高等学校で学ぶ「ベクトル」や「複素数」も偉大な道具の 1 つだ。そして人類はまた，その道具を「一般化，拡張」する。複素数を拡張した四元数，さらに八元数，クリフォード数へと拡張さる。実数の関数論は，複素関数論へ，四元数やクリフォードの関数論も創られている。

稲永善数

最近の本校で使われている教科書では、直線ax＋by＋c=０と点（x1，y1)の距離を求める公式は具体的な例から求めることで証明を省いている。本稿は、2012年６月の「点と直線の距離の公式の導き方」の改訂版である。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

定期考査が近づくと、生徒は教科書傍用問題集の問題を解くことに躍起になる。しかし、切羽詰まった生徒は問題をノートに解くのではなく、即座に解答編を読むという行為に及ぶ。私たちの学生時代には解答編など配布されなかった。それはさておき、そんな中、ある女子生徒が解答編を片手に「なぜ＝１となるのか」と質問に来た。今回は、その質問をめぐって考えたことを述べたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

数学Ｂの｢ベクトル｣で，直線のベクトル方程式を扱うが，数学Ⅱでの直線の方程式，つまり座標平面でのｘ，ｙを使った方程式に比べ，それは生徒にとってはわかりにくい代物のようである。数学Ⅱでの ｢点と直線｣ についての展開を見ると，直線の方程式の直前に座標平面上の ｢分点｣ の座標を扱っているが，これは｢直線の方程式｣とうまく連結されていない。そこには分点という視座から直線を考えるというスタンスは見受けられない。しかし，｢線分の分点と端点の集合が直線になる｣，｢直線は線分の分点と端点から構成されている｣ことが理解できていれば，即座に理解できる。そこで，そのようなわかり方ができる準備を数学Ⅱの｢点と直線｣で行う指導について考えたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

三角形の内接円の「半径」は中心から各辺との距離であるから，その大きさは「点と直線の距離」であり，三角形の内接円の半径は，その面積と辺の和から求めることができるので，これを利用すれば点と「直線の距離の公式」が導けることになる。　本稿では，三角形の内接円の半径をその面積と３辺の長さから求めることを利用して，点と直線の距離の公式を導く。

山口県立高森高等学校　西元教善

拙稿 『２直線のなす角の二等分線の方程式について⑴ ～正接の加法定理・２倍角の公式を用いて～ 』では，原点を通り傾きが０以上の異なる２直線のなす角の二等分線の方程式について考察した。角の二等分線ということで２倍角の公式を利用したわけであるが，なす角の二等分線上の任意の点は２直線から等距離にあるので「点と直線の距離の公式」を用いても求められる。　本稿ではこの公式を用いて，一般的な２直線のなす角の二等分線の方程式を求めてみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

2010年本サイトで、｢座標｣を用いてメネラウスの定理を、｢ベクトル｣を用いてチェバ･メネラウスの定理をそれぞれ証明するという内容の投稿を行ったことがある。これらに引き続き、本稿では｢座標｣を用いてチェバの定理を証明してみたい。

山口県立徳山高等学校　西元教善

公式の証明後は，専ら，その公式を正しく覚えて使えることや問題での適切な使用が主眼になるが，できれば公式そのものについても，別証を考察する機会があればよいと思う。本稿は、「点と直線の距離」の公式についての考察である。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数直線上の分点の座標の公式は，数直線上の2点間の距離の比を（内項の積）＝（外項の積）に直してできる1次方程式を解くことで求めてある。これに先立ち，この公式を求める前に，ある線分を指定した比に内分，外分する点を図示させる問題があるが，これとの関係には整合性はあるのであろうか。本稿では，分点の図示のときの発想に基づいて，分点の公式を生徒にとってわかりやすい展開を考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

中線定理は、数学Ⅱでは，「図形と方程式」の「点と直線」で，数学Ｂでは「ベクトルの応用」で扱う。それぞれ，座標軸の適切な設定と点の座標の適切な設定，始点の適切な設定をすれば，その証明が易しくなる。そういう狙いのある学習場面である。しかし，もっと素朴な視点もある。本来の学習目的とは違うが，図形的な視点で，面積として捉えるという視点である。今回，授業で，生徒の理解を支える説明のつもりで，補足的に言ったことが，生徒の理解にブレを生じさせたのかもしれないという思いと，いや返って興味を抱かせたのではないかという思いが交錯した中で，本稿を書いてみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅱの｢点と直線｣で『中線定理』を扱うが，中線定理をその後使うということはあまり意識されていないようであり，あくまでも座標を使って図形(三角形)の性質を調べることに主眼が置かれている。しかし，折角｢定理｣として学習させるのであれば，それをその後有効に活用する場面がある程度あってもよいのではないだろうか。本稿は，そのような思いで，この中線定理を題材にした問題を考察したものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿『中線定理を題材にした問題⑴～折角学習させるのであれば活用させよう～』では，定理の活用よりは定理の証明に重点が置かれている｢中線定理｣を題材にした問題を紹介した。他にも｢中線定理｣のよさが感じられる問題はないだろうかと考えてみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

xy平面で，点(x，y)と直線ax＋by＋c＝0との距離 d が数式（「点と直線の距離の公式」）で与えられることは，数学Ⅱの「図形と方程式」で扱います。比例式を扱ったあとでは，これを使った証明が一般的になっているようですが，証明方法はいろいろあります。　これを使えばあっさりと解決する問題にもかかわらず，この公式を覚えていなかったり，うろ覚えであったりで解けない生徒は少なくありません。何か面倒な公式のように思えるらしく，しっかり記憶し，必要に応じて正確に使えるという定着度が今一つです。そこで，点と直線の距離の意味とその導き方について，再度，ベクトルという別視点から考えなおす機会があってもよいのではないかと思い，考察してみました。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

円の接線の方程式について教科書で公式として扱ってあるのは、原点を中心とする円上の点におけるものである。一般の場合、円における接線の方程式はそれを平行移動することで求められる。本稿では、点と直線の距離の公式を、「円の接線の方程式」や「法線ベクトル」を利用して求める方法について考察する。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

３点を通る放物線の方程式や、３点を通る円の方程式を求める際、教科書では３元連立方程式で解決している。むしろ、これらの問題を３元連立方程式の活用の場との位置付けも見られるが、数学には様々な解法があるべきではないかと考察した。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

点Ｐ（ｘ1，ｙ２）と直線ｌ：ax＋by＋c＝０の距離，つまり点Ｐから直線ｌに下した垂線の長さdを求める公式 d＝｜ax１＋by１＋c｜/√a2＋b2 には様々な証明がある。 本稿では，⑴ と直線ｌ：ax＋by＋c＝０の距離 の距離 は，中心が Pで Lが接線である円の半径に等しいこと，⑵中心が Pで半径がの円とlが異なる２点A, Bで交わるとき，△PABの面積S＝１/２AB・dであることのそれぞれからｄ＝｜ax＋by＋c＝｜/√a2＋b2ax＋by＋c＝を導き，公式の別証とする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校　西元教善

ニューサポート高校「数学」vol．28（2017年秋号）より。数学Ⅱの授業で，点と直線の距離の公式を学習します。教科書に書いてある証明を説明するのですが，生徒たちの反応はかんばしくなく，「どうせ，公式を暗記して使うことができればよいのでしょう？」とでも言いたそうな目をしています。でも，単なる暗記ではなく，証明まで理解してから使ってほしいですね。今回は，点と直線の距離の公式の証明の改良案を考えてみましょう。

開成高等学校教諭　木部陽一

受験指導が長くなると，別解だけでなく問題に潜んでいる数学的な背景，すなわち問題の本質が何であるのか気になります。さらに，問題（教材）を追究していくと，最終的な拠り所は教科書であることを強く感じています。しかし､教科書を読んでいると別な視点での素朴な新たな問い（問題）が生まれてくることが時々あります。そこで今回は，その一部分を紹介し，その問題を探究していきたいと思います。

福島県立橘高等学校教諭　名嶋 明宏

教科書の「点と直線の距離公式」の導出方法は，技巧的すぎて何をしたいのかが生徒には分かりづらいと感じる。高校１・２年生にはちょっと難しいけれども，かと言って公式として使用する手前，証明を載せざろう得ないというジレンマがよーく伺える。かつて「数学Ⅲ」に掲載されていて今は見かけなくなった「ロルの定理」のようにいずれ消えゆく運命なのではと思ってしまう。そこで，何通りかの方法を考えてみた。高校１・２年生程度で理解できる方法を３つ（方法１，方法２，方法３），理系の受験生のレベルでスッキリ理解できる方法を2つ（方法４，方法５）提示する。

岩手県盛岡中央高等学校　鎌田凪平

最近の本校で使われている教科書では、直線ax＋by＋c=０と点（x1，y1)の距離を求める公式は具体的な例から求めることで証明を省いている。確かに現場で生徒の様子を見る限り、証明を期待している様子はないので、教科書通り具体例で距離を求めてから公式を紹介し、さらに、特別な場合として原点と直線の距離をとりあげても落胆する様子はない。しかし、本当にこれでよいのだろうか、どんな生徒にも、この公式発見の素晴らしさをもっと体験させたいと思い再検討をすることとした。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

三角形という基本的な図形は，算数・数学の格好の思考対象である。それぞれ３つある頂点，辺，角(内角)について,発達段階に応じてさまざまな考察を行い，有益な結果が得られている。面積に限定すれば，基本的には小学校の算数で学習する「底辺×高さ÷２」というのがベースである。高校では，これをどのように発展・進化させているであろうか。三角形の面積という視点から，高校数学を考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

定理の証明を理解させるのは難しいことである。ここでは，４つの定理についてそれを理解させるための工夫の一案を紹介している。

開成高等学校　木部陽一

ニューサポート高校「数学」vol．20（2014年春号）より。　「先輩，ここどげん教えると？」の第3 弾です。今回は，数学Ⅱを扱ってみました。教科書の中で「一般に…と知られている」という言葉でまとめられているものについては，教える側としても，その根拠を押さえておきたいものです。

九州数学シンクタンクグループ

以前，『教員研修を兼ねた大学入試問題研究⑴～東大の問題を中心にして～』を本サイトで紹介した。本校では進路指導部の管轄のもとで，各教科(国･地歴･数･理･英)の教員が自己研修を兼ねて夏季休業中に研究する。これは平成17年度から始まり，東大，京大，センター試験，本校の生徒の進学希望の多い広島大あるいは山口大の問題中心に指導のための研修を行うものである。ここでは，筆者の担当した2011年度のセンター試験と広島大学の問題(各１問)について，紹介する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

センター試験数学過去問題集。2015年度本試験(数学II)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2010年度追試験（数学Ⅱ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局