数学Ⅱの方程式の｢剰余の定理｣では，整式Ｐ(ｘ)を，２つの１次式ｘ－α，ｘ－β(α≠β)で割ったときの余りをそれぞれａ, ｂとするとき，その２つの１次式の積(ｘ－α)(ｘ－β)で割ったときの余りを求める問題を扱います。１次式の積は２次式で，それで割ったときの余りは１次以下の整式であることから，それをｃｘ＋ｄとおき，また商をＱ(x)とおくと，Ｐ(ｘ)= (ｘ－α)(ｘ－β)Ｑ(ｘ)+ｃｘ＋ｄと表せます。また，剰余の定理によりＰ(α)＝ａ,Ｐ(β)＝ｂであることから，ｃ,ｄについての連立方程式ｃα＋ｄ＝ａ,ｃβ+ｄ＝ｂを得て，これをｃ,ｄについて解くことで余りが求められます。　教科書の例題ではこのようなことが扱われているので，整式Ｐ(ｘ)をｘ－α,(ｘ－β)2(α≠β)で割ったときの余りがそれぞれａ,ｂｘ＋ｃであるとき，Ｐ(ｘ)を(ｘ－α)(ｘ－β)2で割った余りを求めるときにも，余りが２次以下の整式になることからｐｘ2＋ｑｘ＋ｒとおいて求めようとするのは極めて当然の流れですが，それではｐ,ｑ, ｒの値は定まりません。本稿では，一般に整式Ｐ(ｘ)をｘ－α,(ｘ－β)n(α≠β,ｎは自然数)で割ったときの余りが与えられているとき，Ｐ(ｘ)を(ｘ－α)(ｘ－β)nで割ったときの余りを求めることを生徒にわかりやすく指導することを考察しました。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学IIで因数定理を学習すると3次多項式を有理数の範囲で因数分解することができるようになり, 3次方程式の有理数解を求めることができるようになります. 3次方程式の解の公式が, どれくらい複雑な式であるかを話してあげ, 次元が上がると難易度が変化することを知り, 奥深い数学に触れる機会にしたいと思っています.

近畿大学附属高等学校・中学校　林敦洋

数学Ⅰではたすき掛けによる２次式の因数分解を扱い，数学Ⅱでは因数定理と組立除法による３次式の因数分解を扱う。中学校での２次式の因数分解は２次の係数が１であるモニックの因数分解で，これは足して１次の係数，掛けて定数項になる２数を見つけることでできる。モニックではない２次式の因数分解の場合はたすき掛けや２次方程式の解を用いて因数分解する。数学が苦手な生徒の中には，中学校では２次式(モニック)を「足して１次の係数，かけて定数項になる２数を見つける」ことで因数分解し，高校では数学Ⅰでモニック以外の２次式は「たすき掛け」で因数分解することがようやくできるようになったかと思えば，因数定理から因数を見つけるという方法になり，戸惑うことがある。いつまでも同様な方法では限度があり，それを打破する画期的な方法を理解して使えるようにならなければならないが，そこに至れない生徒もいる。そこで，これまでの方法を踏襲する方法を補助的に扱わせてみればどうであろうかという思いが湧いてきて考察を行い，「たすき掛け」ならぬ「三角掛け」という３次式(モニック)を因数分解する方法を考案したので紹介したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

３次式の因数分解は，３次式の因数分解の公式が使える場合にはそれを使い，一般には因数定理で１次の因数を見つけ，それで３次式を割って(組立除法を使えば簡単にできる)残りの２次の因数を求め，さらに整数の範囲で因数分解できるときはそれを因数分解してそれらの積の形で求めるというものである。２次式の因数分解は整数の範囲で因数分解できるものであれば「たすき掛けの方法」で因数分解するが，３次式の因数分解の場合もこれに似た方法で，つまりたすき掛けの拡張で因数分解できないだろうか。本稿では，たすき掛けの拡張で３次式の因数分解を考察したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

数学Ⅱで「剰余の定理」を扱う。その応用として，ある整式 P（x）を異なる２つの１次式 x－α，x－βで割ったときの余りが与えられているとき，２次式（x－α）（x－β）で割ったときの余りを求める問題がある。しかし，そこで得られた余りについてその意味を考えさせることはなく，求められたらそれでよいということであるが，一体どのような意味を持つのかについて考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

数学Ⅱで「高次方程式」を扱い，その中で係数(実数) のいくつかが未定である３次方程式において、１つの虚数解がわかっているとき，未定である係数と他の２解を求めさせる問題がある。東京書籍「数学Ⅱ」p.43の「例題６」などがそうである。それは，x＝１＋i が３次方程式x3＋ax＋ｂ＝０ の解であるとき，実数a,bの値と他の２解を求めさせる問題である。これには教科書で提示されている解法以外にもいろいろな解法が考えられる。本稿では，どのような方針でどのような数学的アイテムを使って解く方法があるかについて考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

不定方程式 1/x＋1/y＋1/z=1(1≦x＜y＜z)の自然数解は，(x,y,z)=(2,3,6)である。与えられた不定方程式の分母を払うと，xy＋yz＋zx=xyzであるから，この不定方程式の自然数解も (x,y,z)=(2,3,6)となる。本稿では，副題に掲げた不定方程式 x+y+z+xy+yz+zx+1=xyz(1≦x＜y＜z)の自然数解を「手際よく」求める方法について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

x3－2x2－2x＋1＝0，x3－4x2＋4x－1＝0，x3＋x2＋x＋1＝0，x3－x2＋x－1＝0 という４つの３次方程式は，整数係数の３次方程式 x3+ax2＋bx±1＝0が有理数解として，１または－1をもつ例で、他の２つの解は無理数か虚数である。本稿では，整数係数の３次方程式 x3＋ax2＋bx±1＝0が有理数解をもつとき，整数 a，bにはどのような関係があるのか，またそのときの解は１か－1になるのかという点について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

３次方程式を解くには，因数定理と組立除法を用いて解くのが簡便である。２次方程式の場合には，基本的には解の公式で解けばよいが，因数分解が簡単にできるのならば２つの１次式の積にして，１次方程式を解く方が早い。３次方程式には２次方程式同様に解の公式があるが，因数定理で１次式と２次式の積に因数分解し，さらにその２次式がたすき掛けなどで簡単に因数分解されるのであれば，結局３つの１次式の積に表し，３つの１次方程式を解く方が早いし，またそうでない場合では，１つの１次方程式と１つの２次方程式を解の公式で解く方が早い。しかし，せっかく１の(虚数の)３乗根ωを学習させるのであるから，その活用例として３次方程式の解の公式を扱うのもよいのではないかと思い，本稿を書いた次第である。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

因数定理を使って因数分解し，高次方程式を解くといっても，実際の所，３次方程式が中心である。因数定理で１次式の因数を見つけても，それで割算して商を求めなければならない。組立除法という便利なツールがあるが，いっそのこと３次式のたすき掛けで因数分解してしまえば，その方が早いのではないかと思う。そこで，本稿では｢３次式のたすき掛けによる因数分解｣について因数定理とともに考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅰの因数分解ではさまざまな公式を扱うが，その中には題目に掲げた等式は入っていない。教科書では章末問題等でこの等式が成り立つことの証明問題として，問題集では，この等式を使って因数分解させる適用問題はあってもこれをそれ以上に積極的に活用するものではない。しかし，これは有用な公式である。本稿ではこの等式と３次方程式の解との関わりについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

以前，『x3＋y3＋z3－3xyz＝(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx)の活用について～３次方程式の解に関連して～』という原稿を東書Ｅネットにアップして頂いた。それはこの等式についての活用として,３次方程式の解に関連させるため，あえてx，y，zで表した。本稿では通常どおりa，b，cで表し, a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)の証明については，どのようなものが考えられるか，また，生徒にとってわかりやすいものはどのようなものかを考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ニューサポート高校「数学」vol．20（2014年春号）より。　「先輩，ここどげん教えると？」の第3 弾です。今回は，数学Ⅱを扱ってみました。教科書の中で「一般に…と知られている」という言葉でまとめられているものについては，教える側としても，その根拠を押さえておきたいものです。

九州数学シンクタンクグループ

現教育課程では，数学Ａで「整数の性質」が扱われる。これまで，教科書においては整数に関する内容が十分でなかったにもかかわらず，大学入試では整数問題が出題されていた。したがって，整数問題が出題される可能性がある大学を受験する場合にはそれ相応の対策 ― 整数の性質についての知識とそれをどのように使って問題を解いていくか ― をとっておかなければならなかった。　本稿では，過去に出題された問題を題材に，整数の性質を見据えて整数問題を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

高次式として数学IIで３次式（a±ｂ)3=a3±３a2b＋３aｂ2±b3と，（a±b)(a2∓ab＋ｂ2)＝a3±ｂ3が中心の指導で良いのだろうか。そこに、二項定理が突然現れる、現在の指導要領の順番には違和感を感じている。もっと生徒の目線に立った指導をすることで、最近の生徒の計算力の無さを伸ばし、式の計算の面白さを感じてもらえるのではないか、逆に言えば教科書の取り上げ方のワンパターンなのに原因が有るのではないかとの疑問からいくつかの問題点を取り上げた。

埼玉県豊岡高等学校　五十嵐英男

ニューサポート高校数学 2003年5月発行「大学入試トピックス」より。2003年度国公立大学前期入学試験の２次試験が終わりました。予備校などのホームページで気になる大学の入試問題をチェックしてみましたが，おおむね予想しうる範囲内の出題で，オーソドックスな問題が多いという印象でした。オーソドックスといっても易しい問題というわけではなく，受験会場では難しく感じられたのではないでしょうか。印象に残った問題の中から，解答を見ると易しそうですが，試験会場では難しく感じたのではないかと思われる証明問題を２つ紹介します。

開成高等学校教諭　井手健宏

「よくわかる！　小・中・高　算数・数学のつながり」（2013年10月発行）より。教科書から抜粋した紙面を通して「どの学年で」「どんな内容を」「どのように学んでいるか」が概観できるようになっております。学習内容のつながりや扱いなどの概要の説明，学習段階・学習内容の一覧，学習内容に関する教科書紙面，学習内容に関する留意点（児童，生徒の実態，取り扱い上の配慮）などで構成。

東京書籍（株）　算数・数学編集部

３時間半の中で１題40点の設問を合計5題解く(200点満点)という形式になっている北海道高等学校数学コンテストの問題の中の１つ。問題のキーワード：［3次方程式，オイラー， 3乗根］

北海道算数数学教育会高校部会代数解析研究会

センター試験数学過去問題集。2013年度追試験(数学Ⅱ)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

センター試験数学過去問題集。2014年度本試験(数学Ⅱ)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

センター試験数学過去問題集。2014年度追試験(数学II)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2015年度本試験(数学II)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

「センター試験『高校数学』過去問題集（2007年6月作成）」より。2000年本試験（数学II・Ｂ）第４問ア～コ。この資料全体は，東京書籍「数学II」（2008－2013年度用）の教科書の目次に準拠して，2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は，そのなかの１小問です。データは問題と解答を記載。授業の後，まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2009年度追試験（数学Ⅱ) 第4問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2010年度本試験（数学Ⅱ) 第4問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2010年度追試験（数学Ⅱ) 第4問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2012年度本試験（数学Ⅱ) 第4問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2013年度本試験(数学Ⅱ)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2009年度本試験（数学Ⅱ) 第4問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2011年度本試験（数学Ⅱ) 第4問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2011年度追試験(数学Ⅱ)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2012年度追試験(数学Ⅱ)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。(1)報われなかったアーベル，(2)，(3)ガロアは天才か狂人か，(4)動乱の中でコーシーは，(5)いじけたタルタニア，(6)やくざな生活，4次方程式のフェルラリ。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。必要な部分を利用していただければと思います。

稲永善数

「高等学校数学実践事例集」より。(1) 剰余の定理，因数定理，(2) 因数定理から因数分解，(3) 解の公式，(4) 倍数と約数，(6)最大公約数，最小公倍数。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

稲永善数

「高等学校数学実践事例集」より。 因数分解の方法 ・因数分解のその他の方法。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

稲永善数

「高等学校数学実践事例集」より。(1) 導入・定義，(2) 解の公式，(3) 3 次方程式の解の公式，(4) 判別式，(5)，(6) 解と係数の関係，(7) 2 次方程式と因数分解，(8) 百年前の解の公式，(9) 記号は誰がいつ頃から。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。必要な部分を利用していただければと思います。

稲永善数

「高等学校数学実践事例集」より。(1) 多項式の既約性，(2) 共通因数の見つけ方，(3) 互除法から判別式，(4) 判別式。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

稲永善数