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318 数学Ⅰ Standard1節 式の計算

指導資料

  • a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)の証明について(2)
    2016年12月22日
    • 数学
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    a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)の証明について(2)

    拙稿「a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)の証明について」の中で,「生徒にとっては,これまで a±b,b±c,c±a,という因数が,共通因数としてくくりだされることには慣れているが,a+b+c は初見である。」ということがこの因数分解の理解にとって壁になっていることに言及した。つまり, を因数にもつ a,b,cの整式について,その展開式への慣れがないからこのような因数分解を難しく感じさせる一因があるというわけである。そこで,a3+b3+c3-3abcの因数分解に関係する a+b+c を因数にもつ a, b, cの整式である2つの整式 (a+b+c)(a2+b2+c2)と (a+b+c)(ab+bc+ca)について,それぞれを展開させ,展開式を眺めることでa3+b3+c3-3abcの因数分解が容易になる指導を考察してみた。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 階乗,組合せの数,平方数,立方数~ 4!n+4C4 + 1 は平方数,3!n+3C3 + 1!n+1C1 + 1 は立方数(nは0以上の整数)~
    2016年10月21日
    • 数学
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    階乗,組合せの数,平方数,立方数
    ~ 4!n+4C4 + 1 は平方数,3!n+3C3 + 1!n+1C1 + 1 は立方数(nは0以上の整数)~

    階乗n!や組み合わせの数nCrは「場合の数と確率」で扱うが,これらは自然数であるから「整数の性質」でも扱うことができる。本稿では,nを0以上の整数とするとき,4!n+4Cn+1は平方数になること,また3!n+3C3+1! n+1C1+1は立方数になることを中心にして,階乗や組合せで表された自然数の性質を考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 高校数学に潜む「たすきがけ」~因数分解だけでなくさまざまな場面に出現~
    2017年11月24日
    • 数学
    • 指導資料
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    高校数学に潜む「たすきがけ」~因数分解だけでなくさまざまな場面に出現~

    因数分解で「たすき掛け」による方法を扱う。2次の係数が1以外の2次式を1次式の積に因数分解するとき,かけて2次の係数,かけて定数項になるそれぞれ2つの数の2組の中で,たすき掛けしてかけた数の和が1次の係数になるもので因数分解ができるというものである。 このたすき掛けというクロス(英語では 「たすき掛け」 のことをcrossing multiplicationという)している数や文字で数学的なこと(計算,等式等)がうまく処理,あるいは表現できることがある。本稿では,高校数学のなかにある 「たすき掛け」 を探ってみることにする。タイトルで「潜む」としたのは通常は 「たすき掛け」 としては認知されていないことをそのように見ることができるといった意味合いからである。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立高森高等学校教諭 西元教善

  • 当り前であるが説明が必要な数学用語~数学初心者のために~
    2018年06月29日
    • 数学
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    当り前であるが説明が必要な数学用語~数学初心者のために~

    数学には日常会話ではあまり使われない言い方や用語があったり,日常会話で使われるが,その中で使う意味とは違う言い方や用語があったりする。 代表的なものとして「または」がある。日常会話で「AまたはB」というときは,通常AかBかのどちらか一方だけの意味に使うが,数学での「または」は「少なくとも一方」という意味であり,多ければ両方である「AかつB」の場合も含む。本稿では,数学を学んだ者は当たり前の用語として使っているが,初心者にとってはわかりにくい,あるいは誤解を招くことがあるような言い方や用語について考察してみたい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立高森高等学校教諭 西元教善

  • たすき掛けの方法再考~より使いやすい方法~
    2018年07月06日
    • 数学
    • 指導資料
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    たすき掛けの方法再考~より使いやすい方法~

    数学Ⅰの数と式で所謂「たすき掛けの方法」を扱う。acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)という因数分解の公式から、掛けてx2の係数になる2数a, cと掛けて定数項になる2数b, dがbd+ac=xの係数となればその(xの)2次式は(ax+b)(cx+d)と因数分解できる。理屈の上ではそのようになる。実際の問題ではそのような4数a, b, c, dを「たすき掛け」という方法で求める。従来のたすき掛けの方法を、生徒にとってより使い勝手がよいように改良することを試みてみた。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立高森高等学校教諭 西元教善

  • アメリカの「たすき掛け」
    2002年05月13日
    • 数学
    • 指導資料
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    アメリカの「たすき掛け」

    因数分解の手法に「たすき掛け」がある。「たすき」は日本のものだから,他の国では何とよんでいるのだろう。まず,中国の数学参考書を探してみると,そのものずばりの「十字相乗法」であり,ネット上の数学英和辞典で検索すると“cross multiply”であった。先日,教科書図書館で外国の教科書を閲覧していたら,イギリスの教科書は“cross multiply”を採用していたが,アメリカの教科書では原理は同じだが少し違う方法・名称を使っていることを発見した。

    東京都立一橋高等学校 杉浦忠雄

  • 因数分解
    2003年04月15日
    • 数学
    • 指導資料
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    因数分解

    「解法は1通りではない」-数学の別解づくりを考えよう-稲永善数―平成15年4月作成より。数学Ⅰでは,展開や因数分解が,高等学校の教材として真先に登場する。数学を展開する上では,計算力は最低限度の資格であるからだ。しかし,ここが最も教師としては泣き所,現場では「数と式」の章では,思わぬ時間を労することになる。かつて東京大学などを合格させる進学校の数学教師が「1/x − 1/x + 1 さえ出来ない生徒が,増えています」と愚痴をこぼしている。これは,地方の進学校だけの嘆きではない。全国的に学生の計算力が落ちたという1つの証と考えることができる。さて,ここでは,私達数学教師が授業を行う「因数分解」の別解を抜き出してみよう。本質的には,因数を求める問題であるので「恒等式」の係数を求める問題とみなすこともできる。しかし,どのような形の因数になるのかは,複雑な因数分解になるとわからない。教科書では,公式を用いたオーソドックな因数分解がその教材となっているが,他の方法を考えてみよう。

    稲永善数

  • 改良版 たすきがけによる因数分解~試行錯誤の回数の軽減~
    2015年10月09日
    • 数学
    • 実践事例
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    改良版 たすきがけによる因数分解~試行錯誤の回数の軽減~

    「たすきがけによる因数分解」は高校数学の第一関門であるといっても過言ではなかろう。解の公式のように,公式を正しく覚え,計算を正しく遂行すれば機械的に求められるのに対して,うまくいけば1回で済むこともあるが,一般に係数に正の数,負の数が混じったり,係数の絶対値が大きくなったりすると4つの数の組合せの数が多くなり,必然的に試行錯誤の回数が増し,因数分解がうまくできないことがある。ここを耐えて頑張るのが高校数学の第一歩であるという考えに同感できないわけではないが,これが高校数学嫌い,逃避への躓きの一歩になり兼ねないことを指導者は十分承知し,丁寧な指導をしておかなければならない。 決して安易に甘やかすというつもりはないが,従来のたすきがけの方法を少し改良して,試行錯誤の回数を減らすことができれば躓きも少なくなるのではないかという思いで考察してみた。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • たかが計算,されど計算
    2006年10月25日
    • 数学
    • 実践事例
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    たかが計算,されど計算

    最近高校に入学してくる生徒は,あまり図(形)をかくことをしない傾向がある。しかし,いろいろな問題を視覚化して捉えれば分かりやすい。生徒の反応が表われやすく,理解の後押しをすることのできる教材を模索している。ここでは,高校入学後学習する計算分野の視覚化が可能で,少しは興味がわくような教材を取り上げる。

    長野県立伊那北高等学校 橋爪正男

問題・テスト資料

プリント資料

  • (実践事例集)一休みひとやすみ―昔の入試問題
    2002年08月20日
    • 数学
    • 授業プリント・ワークシート
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    (実践事例集)一休みひとやすみ―昔の入試問題

    「高等学校数学実践事例集」より。昔の入試問題・乗法,除法・因数分解・分数式の計算。この資料は,高校数学の教科書で取り扱う内容に関して,いろいろな角度から解説をしたものです。それらは,導入例や,参考になる先生方へのコメント,中学校の復習,発展的内容,教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は1ページにまとまっています。

    東京書籍(株) 数学編集部

  • (実践事例集)中学校での多項式(1)~(4)
    2002年08月20日
    • 数学
    • 授業プリント・ワークシート
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    (実践事例集)中学校での多項式(1)~(4)

    「高等学校数学実践事例集」より。(1) 式の乗法・除法,(2) 展開する,(3) 展開の公式,(4) その他の公式。この資料は,高校数学の教科書で取り扱う内容に関して,いろいろな角度から解説をしたものです。それらは,導入例や,参考になる先生方へのコメント,中学校の復習,発展的内容,教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は1ページにまとまっています。

    東京書籍(株) 数学編集部

  • (実践事例集)多項式と多項式の乗法(1)~(3)
    2002年08月20日
    • 数学
    • 授業プリント・ワークシート
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    (実践事例集)多項式と多項式の乗法(1)~(3)

    「高等学校数学実践事例集」より。(1) 展開の意味,(2) 展開の公式,(3) 乗法。この資料は,高校数学の教科書で取り扱う内容に関して,いろいろな角度から解説をしたものです。それらは,導入例や,参考になる先生方へのコメント,中学校の復習,発展的内容,教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は1ページにまとまっています。

    東京書籍(株) 数学編集部

  • (実践事例集)「数と式」の意味するもの,整式に関する用語,降べきの順 他
    2002年08月20日
    • 数学
    • 授業プリント・ワークシート
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    (実践事例集)「数と式」の意味するもの,整式に関する用語,降べきの順 他

    「高等学校数学実践事例集」より。(1)数学の言葉,(2)地球の包帯,(3)整式に関する用語,(4)項べきの順。この資料は,高校数学の教科書で取り扱う内容に関して,いろいろな角度から解説をしたものです。それらは,導入例や,参考になる先生方へのコメント,中学校の復習,発展的内容,教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は1ページにまとまっています。

    東京書籍(株) 数学編集部

  • (実践事例集)算数(1)~(4) 小学校に現れる多項式 他
    2002年08月20日
    • 数学
    • 授業プリント・ワークシート
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    (実践事例集)算数(1)~(4) 小学校に現れる多項式 他

    「高等学校数学実践事例集」より。(1) 小学校に現れる多項式,(2) 小数の導入,(3) 整数,小数のしくみ,(4) 数。この資料は,高校数学の教科書で取り扱う内容に関して,いろいろな角度から解説をしたものです。それらは,導入例や,参考になる先生方へのコメント,中学校の復習,発展的内容,教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は1ページにまとまっています。

    東京書籍(株) 数学編集部

  • (実践事例集)数遊び(1)~(4)
    2002年08月20日
    • 数学
    • 授業プリント・ワークシート
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    (実践事例集)数遊び(1)~(4)

    「高等学校数学実践事例集」より。(1) 簡単に計算をする,(2) 計算によって平方根を求める開平,(3) 0.999…= 1は,正しいか,(4) 数字が文字に。この資料は,高校数学の教科書で取り扱う内容に関して,いろいろな角度から解説をしたものです。それらは,導入例や,参考になる先生方へのコメント,中学校の復習,発展的内容,教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は1ページにまとまっています。

    東京書籍(株) 数学編集部

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