「解法は１通りではない」－数学の別解づくりを考えよう－稲永善数―平成15年4月作成より。代数・幾何・解析的方法。方程式の実数解が存在するかどうかを見るには，グラフが x 軸と交わっているかどうかを確認すればよい。しかし，実際に解を求める場合は，グラフを読み取ること，グラフの正確さも要求される。もし，無理数が解になるようなものであれば，グラフを正確な値を読み取ることは難しい。実際に，解を求めることになると，2 次方程式や 3 次方程式など，解の公式が使えるものであれば，それを用いて求めることができる。これがいわゆる「代数的な手法」である。

稲永善数

ニュ－サポ－ト高校数学Vol．8(2007年秋号）より。表題は「はじめをたずねておわりにかえる」と読む。偶然に出会った言葉であるが，後に周濂渓の『太極図説』，更に『易経繋辞上伝』にもとがあることを知った。朱子の伝によれば「能よ くその始をたずねて生れし所ゆえん以を知るときは，則すなわち，その終に反って死する所以を知らん。」という意味であるそうである。ここでは，二次方程式の解の公式の歴史を振り返り，現行の学習指導要領によってわが国の義務教育から追放されてしまった弔いをしたい。

東京大学名誉教授　小松 彦三郎

２次不等式ほど、教員の生徒観と生徒の実像がずれている単元もないのではないか。この単元では、細心の注意が必要だと思う。もし、生徒全員にマスターさせることができたなら、様々な点で応用できるし、授業も円滑に進むはずだ。そんな思いから私の実践を報告したい。

埼玉県豊岡高等学校　五十嵐英男

定理の証明を理解させるのは難しいことである。ここでは，４つの定理についてそれを理解させるための工夫の一案を紹介している。

開成高等学校　木部陽一

一般的に定数 kの１次式を１次の係数にもつ２次方程式と定数kの１次式を定数項にもつｘの２次方程式 ｘ2＋（ak ＋ｂ）ｘ＋ｐ＝０とｘ2＋ｑｘ＋ｃｋ＋ｄ＝０（a, b,c, d, p, qは定数，ac≒０） が実数の共通解を１つだけもつとき，a, b,c, d, p, qの間にどのような関係があり，また，ｋの値と共通解はa, b,c, d, p, qでどのように表されるのであろうか。　本稿では，このことについて考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

以前，『２次不等式の解き方の指導についての一実践～出だしで戸惑っている生徒のために～』という原稿をＥネットにアップしていただいた。ただし,それは２次方程式の解の公式を高校で扱い，しかも判別式という言葉も使えないという旧課程での考察であった。「ゆとり教育」から「脱ゆとり教育」，理数教育の充実へというスローガンを掲げた新課程になり，教科書も刷新されたが，それに伴って，２次不等式についての記述内容が大きく変わったかといえば，そうではなかった。生徒や教員が教科書に要求することは，わかりやすい説明と答案の書き方の双方がきちんと記述されていることである。いわば（興味・関心が抱けて）「わかること」と「できること」が期待できる記述があるかということである。生徒へのサポートについて考察したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。『２次不等式の解き方の指導についての一実践 ～出だしで戸惑っている生徒のために～ 』会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

数学が苦手な生徒にとっては，当然であるが，方程式より不等式の方がわかりづらい。そのため，不等式の表す領域を図示する問題では，境界線が仮に描けたとしても，その上側なのか下側なのか，右側なのか左側なのか，内部なのか外部なのかがよくわからない。本稿では，不等式の表す領域の図示指導について，数学が極めて苦手な生徒目線での解説を試みたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

２次不等式は生徒にとって，混乱する内容らしい。２次方程式と同じ考え方で２次不等式を解いて｢ダメ出し｣されて，｢なぜ？｣と思ったり，教科書の解説でも，左辺の２次式を因数分解して求めたり，解の公式を使って求めたり，判別式から｢すべての実数｣とか｢解なし｣と答えたりしてあったりして，その判断基準が掴めず，解答の出だしから戸惑ったりしているようである。そこで，生徒にとってすっきりと感じられる解法の流れを考察して，実際に授業で実践してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。Tosho数式エディタ → 無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

｢絶対不等式｣の問題，あるいは，｢解の存在範囲｣を指定するときに，xの２次関数の中に含まれる別の変数m(a,k,p等)の値の範囲を求める問題では，判別式，軸の方程式，端点での関数値の正負が活用される。しかし，場合によっては，判別式が不要であったり，軸についての情報が不要であったりする場合もある。生徒にとっては，どうしてすべてではなくその一部を使っただけでよいのか，その判断に苦しむことがある。そこで，本稿ではそのあたりの理由に迫り，生徒の理解に役立つ説明を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

２次方程式 ax2＋ｂｘ＝０ (aは自然数，b, cは整数)の解は，判別式D＝b2－4ac≧０のとき実数解をもつ。特にDが平方数であれば有理数の解，平方数でなければ無理数の解となる。つまり係数(定数項を含む)から得られる０以上の整数 b2－4ac が平方数であれば有理数の解をもつわけである。因数分解により解くか，解の公式を使って解くか判断に悩む生徒もいるが，とりあえず解の公式を使えば解ける。本稿では，２次方程式の係数がすべて奇数であれば有理数解をもたないこと，それ以外では有理数解、無理数解の両方をもつことについて考察する。　※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

区間に含まれる整数の個数が指定されたときの区間の端点のとりうる値の範囲を求める問題を扱う前に必要なことをまとめてみた。問題集の解答には詳しい説明がない場合が多く，その理由を知りたい生徒も多いと思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

「xの不等式ax2＋bx＋c＞0を解け。」という問題を生徒にさせると，何割くらいの生徒ができるであろうか。以前「xの不等式ax＋b＞0を解け。」という問題をテストに出したことがあるが，予想通りというか「x＞－b/a」とだけ答えた生徒が少なくなかったが，仮に「xの１次不等式ax＋b＞0を解け。」としても大差はなかったであろう。問題なのは(ⅰ) a＞0，（ⅱ）a＝0，（ⅲ）a＜0という場合分けが意識されていない生徒が少なくないことである。もっと基本的な問題「xの方程式ax＋b＝0を解け。」でも「x＝－b/a」とだけ答えるであろう。高校数学の第一歩は「場合分け」ということを何度も言っているのであるが，残念な結果であった。本稿では，これを改善すべく，場合分けを意識させるマーク式問題として生徒に提示したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅰの２次方程式の中で，２次方程式が指定された条件を満たすような実数解をもつように，その２次方程式の係数・定数項に含まれている定数の値の範囲を求める問題を扱う。異なる２つの実数解をもつには，その２次方程式の判別式Ｄが正であればよいが，バリエーションが拡がってくるとその基準が明確に捉えられず混乱する生徒がいる。授業ではどうしているであろうか。こうすればできる的な効率的な展開だけに終わっていないだろうか。これがなければこんな具合になる場合もあるから適さなくなる。だからこれは必要であるといったことを実感させながら授業をしているだろうか。足場をもっと固めてくれる授業を要望している生徒は少なくないのではなかろうか。そんな思いを持って，本稿では２次方程式の実数解の存在範囲指定問題の指導 ～判別式や軸の要不要を疑問に思う生徒を対象にして～ について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

xの方程式 f（ｘ）＝k（kは定数）の実数解の個数については，曲線 ｙ＝f（ｘ）と直線ｙ＝ｋの共有点の個数を調べることで求められる。では方程式f（ｘ）＝ｆ（a）（ｘ≠a（定数））の実数解の個数はどのようになるであろうか。方程式 f（ｘ）＝ｆ（a）では ｘ＝aが実数解(の１つ)になるのは当然であるからx≠aで考える。そこで、x＜aの場合とx＞aの場合，つまり方程式f（ｘ）＝ｆ（a）（ｘ＜a（aは定数））の実数解の個数と方程式f（ｘ）＝ｆ（a）（ｘ＞a（aは定数））の実数解の個数について考察してみることにする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

２次方程式の共通解をαとおいて代入する練習問題で、生徒から出された「なぜ共通解をαとおかなければならないのか」というの疑問に対する指導を紹介し、分かりやすく伝える指導についての所感を述べている。

埼玉県立大宮高等学校教諭　斉藤俊晃

条件をきつくしておくと問題が解きやすくなることもあればその逆もある。たとえば，整数という条件をつけることで解きやすい問題において，条件を緩和して実数まで拡げたらどうなるであろうか。軸の方程式がx＝mである２次関数y＝ｆ(ｘ)において，２次不等式ｆ(ｘ)＜0の整数解の個数を指定したとき，mが整数のときにはmはいくつあるのか，次にmが整数であることを緩和して，実数まで拡げたとき，mの値の範囲はどのようになるのかという問題を通じて，条件を緩和することで問題がどのように変化するかについて考察したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

２次不等式 x2－４x＋３＜０の解は（x－１）（x－３）＜０より１＜x＜３であり，これを満たす整数ｘは ｘ＝１だけでその個数は１である。また，２次方程式x2－４x＋３＝０の解はｘ＝１，３であるから，放物線 x2－４x＋３が ｘ軸から切り取る線分の長さは３－１＝２である。ｐ，ｑを整数として，２次不等式 x2＋ｐｘ＋ｑ＜０…①，２次方程式x2＋ｐｘ＋ｑ＝０…②，放物線ｙ＝x2＋ｐｘ＋ｑ……③を考え，２次不等式①の解を満たす整数の個数をＮ，放物線③が ｘ軸と異なる２点で交わるとき，それが ｘ軸から切り取る線分の長さを Ｌとする。一般に，ＮとＬの間にはどのような関係があるのであろうか。　本稿では，このことについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

決まりきった解き方しかできないような問題もあれば，多様な解き方のできる問題もある。多様な解き方ができる問題の解法を生徒に提示するとき，泥臭い方法であるが生徒にはわかりやすい解法を提示するのか，それとも背伸びが少し必要であるがなるほどと思わせるうまい解法を提示するのか，悩ましいところであるが，いずれにしても生徒の学力や意欲，関心の程度やその多様性に配慮する必要があろう。本稿では，このようなことを意識して，１つの問題について多様な解法を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学の授業をしていて，「計算する」，「問題を読む」などに一生懸命で，何が大切か分からず伸び悩む生徒を見かけます。ここでは，数Ⅰの２次関数やその周辺で「問題の本質を考えること」と「計算」を切り離し，考えることに焦点を当てた指導事例を紹介します。

大分県立大分西高等学校　宮崎浩幸

「よくわかる！　小・中・高　算数・数学のつながり」（2013年10月発行）より。教科書から抜粋した紙面を通して「どの学年で」「どんな内容を」「どのように学んでいるか」が概観できるようになっております。学習内容のつながりや扱いなどの概要の説明，学習段階・学習内容の一覧，学習内容に関する教科書紙面，学習内容に関する留意点（児童，生徒の実態，取り扱い上の配慮）などで構成。

東京書籍（株）　算数・数学編集部

私は，多くの数学教員が考えるように，「生徒はどう考えるだろうか」ということを気にしています。その中で私がこだわっていることを二つ，ここで紹介します。

麻布高等学校　重田大輔

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

３時間半の中で１題40点の設問を合計5題解く(200点満点)という形式になっている北海道高等学校数学コンテストの問題の中の１つ。

北海道算数数学教育会高校部会代数解析研究会

センター試験数学過去問題集。2013年度追試験(数学Ⅰ)第1問[2]。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

センター試験数学過去問題集。2014年度本試験(数学Ⅰ)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

センター試験数学過去問題集。2014年度追試験(数学I)第1問[2]。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2015年度本試験(旧課程数学I)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2014年度追試験(数学I)第1問[1]。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2015年度本試験(数学I)第1問[1]。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2013年度追試験(数学Ⅰ)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

H20 センター試験 教科書数学Ⅰ・３章、2次関数　2節　2次関数のグラフと不等式　２　2次関数の関連問題。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験「高校数学」過去問題集。2009年追試験（数学I・Ａ）第1問[1]内容：この資料全体は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，2000年から2011年までのセンター試験問題を分類したものです。この資料は，そのなかの１問題です。データは問題と解答で構成されています。※コピーして，授業でご利用ください。

東京書籍株式会社　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2009年度追試験（数学Ⅰ) 第1問[1]この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2009年度追試験（数学Ⅰ) 第4問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2012年度本試験（数学Ⅰ) 第1問[2]この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2012年度追試験(数学Ⅰ)第1問[2]。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2012年度追試験(数学Ⅰ)第2問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2013年度本試験(数学Ⅰ)第2問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2009年度本試験（数学Ⅰ) 第1問[1]この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2012年度本試験（数学Ⅰ) 第4問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2013年度本試験(数学Ⅰ)第1問[2]。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2013年度本試験(数学Ⅰ)第4問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。代数的な解法，解析的な? 解法，解の分離など。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。必要な部分を利用していただければと思います。

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。アメリカのテキストから解説。(1) 2 次方程式，(2) 平方完成，(3) 解の公式，(4) 判別式，(5)，(6) 解と係数の関係，(7) 問題解決，(8) 2 次形式。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。必要な部分を利用していただければと思います。

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。(1) ピタゴラスの定理を応用した問題，(2) 自然落下に関する問題，(3) 相似形に関する問題，(4) 面積に関する問題

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。平成10 年中学校教科書について。(1) 2 次方程式の解き方，(2) 平方根による方法，(3) 解の公式，(4) 公式を用いた方法，(5) 因数分解のよる方法，(6) いろいろな2 次方程式，(7) 2 次方程式の応用，(8) 応用問題。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。必要な部分を利用していただければと思います。

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。明治38年の代数学教科書について。(1) 2 次方程式の定義，(2) 解法，(3) 平方完成による解法，(4) 虚数解，(5) 解の公式，(6) 因数分解の解法，(7) 2 次方程式の応用，(8) 2 次方程式もどき，(9) 無理方程式，(10)因数定理，(11) 高次方程式の解法，(12) 多元連立方程式，(13) 解の意味，(14) 解の判別，(15) 解と係数の関係，(16) 解から方程式をつくる，(17) 最大値・最小値。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。昭和初めの入学試験問題について。現在ではお目にかからないような2 次方程式の問題が数多く見受けられる・・・。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。(1) 導入・定義，(2) 解の公式，(3) 3 次方程式の解の公式，(4) 判別式，(5)，(6) 解と係数の関係，(7) 2 次方程式と因数分解，(8) 百年前の解の公式，(9) 記号は誰がいつ頃から。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。必要な部分を利用していただければと思います。

稲永善数

「高等学校数学実践事例集」より。(1) ヘロンの解法，(2) ディオファントスの解法，(3) アリアバータ，パスカルの解法，(4) アル・フワリズミの解法。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。必要な部分を利用していただければと思います。

東京書籍（株）　数学編集部