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数学Ⅱの方程式の｢剰余の定理｣では，整式Ｐ(ｘ)を，２つの１次式ｘ－α，ｘ－β(α≠β)で割ったときの余りをそれぞれａ, ｂとするとき，その２つの１次式の積(ｘ－α)(ｘ－β)で割ったときの余りを求める問題を扱います。１次式の積は２次式で，それで割ったときの余りは１次以下の整式であることから，それをｃｘ＋ｄとおき，また商をＱ(x)とおくと，Ｐ(ｘ)= (ｘ－α)(ｘ－β)Ｑ(ｘ)+ｃｘ＋ｄと表せます。また，剰余の定理によりＰ(α)＝ａ,Ｐ(β)＝ｂであることから，ｃ,ｄについての連立方程式ｃα＋ｄ＝ａ,ｃβ+ｄ＝ｂを得て，これをｃ,ｄについて解くことで余りが求められます。
教科書の例題ではこのようなことが扱われているので，整式Ｐ(ｘ)をｘ－α,(ｘ－β)2(α≠β)で割ったときの余りがそれぞれａ,ｂｘ＋ｃであるとき，Ｐ(ｘ)を(ｘ－α)(ｘ－β)2で割った余りを求めるときにも，余りが２次以下の整式になることからｐｘ2＋ｑｘ＋ｒとおいて求めようとするのは極めて当然の流れですが，それではｐ,ｑ, ｒの値は定まりません。
本稿では，一般に整式Ｐ(ｘ)をｘ－α,(ｘ－β)n(α≠β,ｎは自然数)で割ったときの余りが与えられているとき，Ｐ(ｘ)を(ｘ－α)(ｘ－β)nで割ったときの余りを求めることを生徒にわかりやすく指導することを考察しました。
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山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
A4判たて、4ページ
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