数学Ⅲで扱う｢中間値の定理｣や｢平均値の定理｣という, いわゆる｢存在定理」は生徒にとっては悩ましいものである。というのは，ある条件のもとである条件を満たすものが(少なくとも１つは)存在するという定理の解釈とその適用をいかにするかということがわかりづらいからである。「平均値の定理」とはこういう条件を満たせばこのようなことが言えるという定理の一種であるが，その前提条件へのこだわりは希薄であり，深入りをしないでこのような数学的事実がありますといった紹介程度という印象が払拭できない。結局，この程度では十分に使いこなせなかったり，あるいは定理の前提条件の意味を理解できなかったりして，未消化の題材に堕してしまう危険性があるように思う。　そこで，老婆心ながら生徒に教えておきたいことを考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

相加・相乗平均の関係は，数学Ⅱの｢式と証明｣で扱う。２乗すると０以上であるという実数の性質を利用するものであり，２つの文字についての平方完成という式変形がその証明に必要とされる。これは相加・相乗平均の関係といっても２数の場合である。３数の場合，さらには一般にｎ数の場合の相加・相乗平均の関係もあるが，これらについては発展的な扱いとなっている。ｎ数の場合には相乗平均はｎ数の積のｎ乗根であるから，1/n乗という分数指数(有理数の指数)が出てくる。これを微分法で処理するには数学Ⅲの微分の知識が必要になるが，分数指数の導関数の活用として，ｎ数の場合の相加・相乗平均の関係の証明を扱ってみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

「凸」とは岩波国語辞典第七版によれば「両端が低く，中が出っ張っている」あるいは「張り出た形である」という説明がされていて，後者には「下方に凸な曲線」という用例が載せてあります。このような形であると図示されればそのようなものかと納得できますが，特に数学の場合は定式化された説明が欲しいものです。 しかし，教科書には式による凸の定義はありません。２次関数y=ax² のグラフにおいてa＞0 のときは「下に凸」，a＜0 のときは「上に凸」という説明があるだけです。もちろん２次関数以外でもその一部分が「下に凸」「上に凸」になるものもあり，２次関数のグラフつまり放物線に固有の形状ではありません。 このグラフのような状態を凸というように，数学的に定式化されていないものを扱うのは問題がないわけではありません。高校生にとっては，このような説明でよいというスタンスなのでしょうが，進んだ生徒にとって納得できるような説明を試み，同時に第２次導関数との関係を考察しました。 ※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ある問題が，ある単元の問題として提示されるとそれに拘った解法になりがちである。ヒントになることもあればそれが足枷になることもある。入試問題に「これはどこの単元の問題である」などとは書いてないので自分の土俵に持ち込んで解く方が返って解きやすいこともある。そのような問題を考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

一般に，関数y=f(ｘ)のグラフを描くときには，f(ｘ)の増減(＋凹凸)表を作成する。しかし，そのときに導関数y=f'(ｘ)のグラフや第２次導関数y=f”(ｘ)のグラフを同一平面に描くことはない。しかし，これらを同一平面に描くことによって視覚的に理解されるのではないだろうか。式の上での理解だけでなくそれぞれのグラフ的な意味を伴って理解されればより深い理解が得られるように思う。本稿では，２次関数，３次関数について，そのグラフと導関数や第２次導関数のグラフを同一平面に描くことで関数の増減や凹凸について視覚的に理解させる指導の一例とする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ｂにおいて，数列｛ａn｝の初項から第n項までの和Ｓnについて学ぶ。数列｛ａn｝が等差数列，等比数列の場合から始め，累乗，等差数列と等比数列の積，部分分数の差に分けて「中抜け」を利用して求められる場合などを扱う。　三角関数に関わる数列の和も扱うが，これは等比数列の和に帰着される。また，和cosθ＋cos2θ＋cos3θ＋…cosnθあるいは和sinθ＋sin2θ＋sin3θ＋…＋sinnθにおいてはθが特別な値のときの和は扱うことはあっても一般の角θに対する場合を扱うことはない。本稿では，これらの和について考察してみたいと思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

高等学校の数学Ⅲでは，関数の増減を調べ，増減表を作ってグラフを描いたり，さらに，グラフの凹凸，変曲点を調べてより精密にグラフを描いている。関数のグラフを描くことになれると，関数に何らかの条件があって，増減表を作らなくても簡単に最大値，最小値が簡単に求められないかと思ったことが本稿を掘り起こす動機となっている。何度でも微分可能な凸関数について考察を進めたところ，｢微分可能な凸関数の最小値定理｣が成り立つのではないかと思い，証明を行った。さらに，例による検証も行った。

新潟県立新津南高等学校　本望英明

本稿では，自然対数log ｎ，log (n＋１）（ｎは自然数）に関わる不等式について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅰの最後の内容は，球の体積，表面積である。生徒は，円錐，角錐の体積までは中学校で学習しているし，その求め方も生徒に違和感はないだろう｡ただ，錐の体積に出てくる定数１/３については，厳密には定積分による｡球の体積にしても，回転体の体積として定積分で処理すれば実にあっけなく求められる｡　数学Ⅰでは，極限の考えは使えないので，教科書ではそれを極力避ける記述をしているが，球の表面積の説明には極限をとることで許される近似や無限を匂わせる「……」が含まれている｡これよりも生徒にとって分かりやすい説明はないか？…という思いで考察してみた｡※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

東京書籍『数学Ⅲ Advanced』p.184例題1（関数の最大値と最小値を求める問題）について、本稿ではあえて導関数を用いない解法手順（決してエレガントとは言えないが）をご紹介したい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

関数f(x)の第１次導関数f´(x)は関数ｙ＝f(x)のグラフを考えるとき、そのグラフ上の点における接線の傾きを表す。f´(x)＞0 である区間I では接線の傾きが正で、接線が右上がりであることから関数は増加し、f´(x)＜0である区間I では接線の傾きが負で、接線が右下がりであることから関数は減少するというわけである。ラフな説明だが生徒には受け入れやすいものである。それに対してf´´(x)＞0である区間I では、接線の傾きが増加し、そこから関数y＝f(x)のグラフは下に凸という状態になるのだが、それがわかりにくく、その理由を何回も聞きに来る生徒がいた。f´(a)を傾きとする接線は１点(a, f(a) )におけるものであることに対して、下に凸ということは１点におけるものではなく、x＝aの属するf´´(x)＞0ある区間Iでのことである。そこを明確にし、関数ｙ＝f(x)のグラフ、第１次導関数ｙ＝f´(x)のグラフおよび第２次導関数ｙ＝f´´(x)のグラフの関係から生徒にとってわかりやすい説明を試みた。この説明で生徒はもやもや感が解消されて理解できたようであった。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

三角関数で表された関数の最大値・最小値を求める問題について，どのような解き方をするかその方向性が明確でないために解けない生徒がいる。パターン化して分類しておけば難なく解けるようになるので，指導にも役立てるよう考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善