不等式sinθ＜θ＜tanθの証明は三角形と扇形の面積の大小比較によって導かれるが、この証明は循環論法に陥っていると言える。本稿では既習事項を活用して、より完全さをめざしその定着が図れるような別証を｢サイクロイド｣に見出したい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

[はじめに]11月11日付掲載の『解けるだけでよいのか～用具的理解と関係的理解の狭間で～』で，連続性，微分可能性についての生徒の理解度を考察したものを紹介した。その後，12月に実施された第４回考査(２学期期末考査)では問題Eを出題してみたが，これはよくできていた。その一方で次の問題は思ったほどの正解率ではなかった。そこで，今回はそれについて考察してみたい。

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

連続性，微分可能性やはさみうちの原理などは極限に関わる基本的かつ重要な数学的概念や原理である。微分に関わる性質や公式を覚え，それを機械的に処理することはできてもいざ関数f(x)がx＝aで連続であること，微分可能であることを問うとその定義さえ正確に述べることができなかったり，与えられた関数の具体的な値での連続性や微分可能性について答えられなかったりすることがある。　定期考査で上記に関する問題を出題したところ想定外に正答率が悪かった。もう一度基本事項の確認をさせる必要があると思い，特にサイン(sine)に関する極限の指導法について考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，く表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅲの微分法で関数の増減をもとにしてそのグラフをかくことを扱う。その中で漸近線を求めることがある。分数関数の場合は，分母＝０を解くことでy 軸に平行な漸近線x＝a が求められる。また，単にその方程式を求めるだけでなく，右側極限と左側極限を求めておく必要がある。つまり，x→ a + 0 のとき極限が∞であるのか－∞であるのか，同様にx→ a－0 のとき極限が∞であるのか－∞であるのかを調べておく必要がある。本稿では，f1(x)=1/(x2－a), f2(x)=x/(x2－a), f3(x)=x2/(x2－a), f4(x)=x3/(x2－a)の各々について，x→1+0，x→1－0，x→－1+0，x→－1－0が，∞であるのか－∞であるのかについて，生徒にとってわかりやすい説明を考察した。　※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

解答編には｢和積公式｣を使った解答がしてあって，わからないと質問に来た生徒がいた。訊けば｢和積公式｣を知らないという。教科書(数学Ⅱ)には載っていたが授業では扱わなかったという。｢和積公式｣は加法定理の応用であるから必要に応じて作れないことはない。しかしそれを意識させる場面がなければ生徒はこのようなことに考えが及ばない。当然のことである。｢和積公式｣はその応用場面として，三角関数の導関数を定義通りに求めるときがある。しかし，それを使わなくては絶対にできないわけでもない。確かに有効な公式であるが，絶対に使わなければ求められないわけではない。では，どのような｢別解｣があるのか，考察してみることにした。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

特に数学に限ったことではないが，何かの概念を規定するために｢定義｣をする。数学では，日常的な経験に必ずしも立脚していない点に独特のわかりにくさを感じる生徒は少なくない。ましてやその定義が否定を伴うものであればなおさらである。　本稿では，ガウス記号[　]を中心にして，否定で定義されている数学的概念について，そのわかりにくさ，その回避法について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

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数列の極限，関数の極限で｢はさみうちの原理｣を扱う。本質的には同じ問題であるが，その証明方針は若干違う。その微妙な違いの中に躓く生徒がいる。もうワンクッションあればよいと感じる所があるのでその辺りを中心に考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

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三角関数絡みの極限値を求める問題で，公式を使い懸命に計算している生徒を見て，ふと彼らは「どんなグラフでx→0としているのか」を考えたことがあるだろうかと思った。本稿では，教科書の問題レベルの関数のグラフを，limθ→0sinθ/θ＝1を使って極限を求める問題のサポート役として活用してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

前回、サイクロイドの媒介変数表示をする際の図を利用し、sinθ＜θ＜tanθであることを証明した。とは言え、多分に視覚的考察であり、数学的に厳密な証明とは言い難い。そこで本稿では、循環論法に陥らず図も使わず、漸化式で定義された数列を使うことで証明してみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

[はじめに]　数学を教える教師は、数学を｢わかる｣ように教えるのか、｢できる｣(＝｢解ける｣)ように教えるのか、あるいは｢わかって、できる｣ように教えるのか、さらには｢わかって、できて、使える｣ように教えるのか、そのどれを目標にする、あるいはするべきなのだろうか？　また、数学を学ぶ生徒は数学を｢わかる｣だけ、｢できる｣だけ、または｢わかって、できる｣、さらには｢わかって、できて、使える｣のどれを目標にする、あるいはするべきなのだろうか？　もちろん、数学という教科の教育目標はそれだけではないが、これは教える側、学ぶ側両者にとって重要なことであろう。　生徒にとっては、評価の核になるテストの点数は一大関心事である。高得点を目指して各人各様の方法によって学習しているが、本当にその点数に見合った｢理解｣があるのか疑問になることがある。単に解法のポイントを暗記して、それに従った機械的な作業の結果ではないのか、そこには本当の｢理解｣に基づいた数学的思考の結果が表明されているのかと訝ってしまうことが多々あるからである

山口県立岩国高等学校　西元教善

複数の区間で異なる関数(いくつかの未定の定数を含む)として実数全体で定義されている関数ｆ(ｘ)が微分可能であるように，その未定の定数の値を定めさせる問題がある。問題解決の際に「微分可能であれば連続である」ことを使う場合があり，微分可能性ばかりに目を向けていると必要な条件を見落としてしまうこともある。 本稿では，α，β(α＜β)として，ｘ≦α,β≦ｘではそれぞれ１次ｐｘ＋ｑ,ｒｘ＋ｓ(ｐ,ｑ,ｒ,ｓは定数)で 定義され，α＜ｘ＜βでは２次関数ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ(ａ(ａ≠0),ｂ,ｃは定数)で定義された関数がすべての実数において微分可能になる条件を求めると同時に，そこにはどのような関係が潜んでいるかについて考察した。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ある関数をともに同じ値に収束する関数で挟み，はさみうちの原理でその関数も同じ値に収束することという考え方は，生徒にとってなかなか馴染めないものである。本稿では，数列{2nsin(1/2n)}の極限値について考察し，生徒の理解支援としたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

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