本稿では、a2+b2+c2=ab+bc+ca⇔a=b=cといった数式を一般化した命題について、数学的帰納法でどのように証明できるか考察したい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

学習指導要領に従えば，数学Ｂで扱う｢漸化式｣は｢隣接２項間の漸化式｣までになるが，大学入試では｢隣接３項間の漸化式｣が当然のように出題されている。隣接２項間・３項間の漸化式は，特性方程式の解を利用して，一般項が求められる。このようなことを授業で説明すると，４項間の場合も特性方程式の解を利用して求められるのではないかという声が生徒から出てくる。本稿はその声に答えるべく，考察を試みたものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

漸化式の中には分数形のタイプがある。この一般項anを求めるには，特性方程式の解を利用するのが一般的であろうが，係数行列，つまり漸化式の右辺の定数を正方形状の位置のままに配置することで作られる行列の固有方程式の解を利用することも考えられる。特性方程式も固有方程式も教育課程外の内容ではあるが，実際，入試問題では暗黙の了解を得た内容のように思われる。その際には，誘導的なステップを設けることで，問題が生じないように配慮がしてある。本稿では，特性方程式と固有方程式が重解をもつ場合について，その一般項を求めてみたい。また，これらの関係についても言及したいと思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿『分数形の線化式についての一考察⑴～特性方程式，固有方程式，判別式を中心にして～』では，特性方程式と固有方程式が重解をもつ場合について，その一般項を求めた。ただし，それは特性方程式の重解αが主役であり，固有ベクトルには言及していない。そこで，本稿では固有値，固有ベクトルを中心にして展開してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

集合の要素や要素の個数について３つまでの集合を扱い，とくに後者においてはベン図的な説明が行われることが多い。確かに，離散的な要素からなる有限集合が３つまでであれば，ベン図でうまくいく。では，４つ以上になるとどうであろうか。本稿では，４つ以上の集合のベン図について，漸化式，数学的帰納法を絡めて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

２項間の漸化式 a1=a, aｎ＋１=ｐaｎ＋ｑ（ｐｑ≠０）で定義される数列｛aｎ｝は，│ｐ│＜１という条件で，特性方程式α=ｐα＋ｑの解に収束する。では，３項間の漸化式で定義される数列｛aｎ｝は，ｐ，ｑがどのような条件を満たせば収束して，どのような値に収束するのかに興味，関心を抱く生徒もいるだろう。本稿は，そのような生徒を対象にした指導のための考察である。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

２項間の漸化式 a1=a, aｎ＋１=ｐaｎ＋ｑ（ｐｑ≠０）で定義される数列｛aｎ｝は，0＜│ｐ│＜１という条件で，特性方程式α=ｐα＋ｑの解に収束する。では，３項間の漸化式で定義される数列｛aｎ｝は視覚的にどのように説明できるだろうか。本稿では，このことについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

この漸化式探究では，一見すると別物に見えるいろいろな漸化式をうまく変形して，既知の漸化式に帰着させて一般項を求められるようになることをねらいとする。「漸化式の基本パターン｣を8個に集約したので，それぞれのタイプについて説明し，その後個別探究問題と判別探究問題に取り組む。プレゼンテーション用のパワーポイントデータも掲載する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

生徒にとって，数列とりわけ漸化式はわかりにくい内容のようである。数学のわかり方には，問題を解く過程の中で後からわかる（パッとわかる，じわじわわかる）というわかり方もあるが，導入時にじっくり，しっかりとその本質を指導する必要がある。「ざっと定義を済ませ，後は問題を解きましょう。そうすればわかるようになりますから……」といった授業ではなく，具体例を挙げてその数学的概念を把握させ，その後に解き方を説明すべきである。何事も最初が肝心，授業は導入が肝心である。本稿では漸化式の導入について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

先日，生徒から次のような質問を受けた。「分数型の漸化式a1＝1, an+1＝(an－2)/(an＋4)……①の特性方程式はx＝(x－2)/(x＋4)つまりx2＋3x＋2=0であり，その解はx＝－２, －１です。解答例によると，この解のうちの1つだけを使って解いてあります。３項間の漸化式a1＝1,an+2＋3an+1＋2an……②の特性方程式は①のそれと同じですが，こちらはその解を２つとも使って解いています。どうして分数型の漸化式の方は特性方程式の解の１つだけで解いてよいのでしょうか。」　そこで，生徒に説明したことを中心にまとめてみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

自然数ｎの階乗n !はその記号!が示すようにびっくりするほど大きくなる。一般にn!≦ｎnである。両辺ともn個の正の数(文字)の積であるが，左辺のk番目≦右辺のk番目であるから当然と言えばそれまでである。では，左辺のk番目≦右辺のk番目とは限らないn個の正の数(文字)の積として，左辺のk番目＝2k－１　あるいは　2kの場合，これらのk＝１からｋ＝ｎまでの積とｎnの大小関係はどうであるのかについては生徒の興味・関心を引くのではなかろうか。　本稿ではこのことについて考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

教科書で扱われないパターンの 問題が出題される「漸化式と数学的帰 納法」の分野は，いきなり入試問題に取り組ませても， スムーズに解ける生徒はほとんどいません。そのため， 多くの先生方が，この分野を重点的に復習する必要性を 感じているようです。本稿では，弱点になりがちな「漸 化式と数学的帰納法」を得意分野にするための演習方法 について，ご提案いたします。

東京書籍（株）数学編集部

３項間の漸化式の一般項は，２次の正方行列を用いると，求めることができる。本稿では，２次の正方行列が異なる２つの固有値をもつとき，漸化式の一般項aｎをｋ１ｋ２で表すことを考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数列の問題の中に，隣接３項間の漸化式が与えられたとき，その一般項を求めるものがある。　では，項を実数から２次の正方行列に替えた漸化式A１＝A，A２＝B，Aｎ＋２＋PAｎ＋１＋QAｎ＝０のとき，Aｎはどのように表されるのであろうか。また， A，B，P，Qの成分を与えたときに，Aｎ の各成分はどのように表されるのであろうか。本稿では，扱いやすい設定の下でAｎ を求めてみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ｃで行列のｎ乗を扱う。そこでは行列のｎ乗を求めることが目的になっているが，行列のｎ乗を求めることによってどのような活用ができるかまでは言及していない。たとえば，係数行列として行列，特に逆行列などを利用することで簡潔な表現や計算ができて，２元連立１次方程式や１次変換を扱うときにそのよさが発揮される。また，隣接３項間の漸化式を係数行列で表してそのｎ乗を求め，それを利用すれば３項間の漸化式の一般項が求められる。この発想を生徒に教えてみることで行列のｎ乗を求めることの意義やその応用の一端をわからせることができるのではないかと思い，実践をしてみた。本稿は，その実践報告である。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

列や証明は生徒の苦手とする分野の一つである。しかも数学的帰納法を使う証明，それも不等式に関わるものやｎ＝ｋ，ｋ＋１の成立を仮定するものであればなおさらである。本稿ではｎ＝ｋ，ｋ＋１あるいはｎ＝ｋ，ｋ＋１，ｋ＋２の成立を仮定する数学的帰納法について，漸化式や２(あるいは３)数を解とする２(あるいは３)次方程式などから考察するものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数列のまとめとして，あるいは入試を見据えて｢研究｣とか｢発展｣といった形で節末，あるいは章末に書かれている内容は，模試や本番の大学入試で出題される可能性の高い内容である。そのような研究や発展の中に，「漸化式の利用」というのがある。教科書や教科書傍用問題集でも取り上げられることが少なくなった気配があるが，数列において重要であることは間違いない。本稿では，タイトルにもあるように，円板と球面のそれぞれをn本の直線で分割したときの部分の個数an，bn を漸化式として表し，その式をnで表すことを，生徒にもわかるようにして求めることを目的にする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

本来の証明とはそうではないが，高校数学での証明，いわゆる証明問題は，結果のわかっていることを論理・数学的に検証する作業ともいえる。nに関する命題Ｐに対して，(Ⅰ)n＝１のとき成立，(Ⅱ)n＝kのときＰが成立すると仮定すると, n＝k＋１のときにもＰが成立することを示すと，初項と隣接２項間の漸化式が与えられたとき，その数列が１つに決定されるのと同じく，すべての自然数nについて，命題Ｐが成立するわけである。数学的帰納法での証明は(Ⅱ)がポイントであるが，これになかなか対処できない生徒が少なくない。慣れればできるようになるというのも事実であるが，導入部分でできるだけ理解させ，見切り発車をしない授業に心掛けたい。そのための指導について考察したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

漸化式という考え方に馴染めない生徒にとっては，その一般項を求める方法はわかりづらいようである。教科書では，隣接３項間の漸化式は発展的な取扱いになってはいるが，問題集や参考書ではよく取り扱ってある。隣接３項間の漸化式をなぜ変形する必要があるのか，その意図がわかりづらいようである。な中には，まったくの予備知識をもたないまま，一般項を求めようとして｢わからない｣から質問に来る生徒もいる。式を変形する意図をわかりやすく，明確に指導する必要があると思い，考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿「因数分解と最大公約数・最小公倍数～xn＋xn-1＋・・・＋x＋１に関連して～」では，サブタイトルにもあるように，xn＋xn-1＋・・・＋x＋１に関連させて因数分解，最大公約数．最小公倍数を考察したが，Fn(x)＝xn＋x n-1＋・・・＋x＋１とおくとき，F2n+1(x)＝（xn＋１＋１）Fn(x)，F2n+1(x)＝（x＋１）Fn(x2)という結果を得ている。本稿では，このFn(x)＝xn＋x n-1＋・・・＋x＋１を考察した結果を紹介したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

東京大学前期（文理）第３問の確率の問題を授業で扱ったところ，数学同好会の一人の生徒がそれを一般化したものをメモにしてもってきたので，それを整理し、誘導設問を付した問題にして授業で取り上げました。メモを提出した生徒は漸化式を繰り返し代入する計算によっていましたが，特殊解による解法をどこかで教えようと思っていたところなので，ちょうどよい例となっていたこともありいい教材になったと思っています。また，一般化自体が問題の本質をよく見抜いているので是非紹介したいと思います。

奈良県東大寺学園高等学校　本庄隆

余弦の２倍角の公式 cos2α=2cos2α-1において， α=2n-1θ（n=1,2,3,…）とすると，cos2･2n-1θ=2cos22n-1θ-1 　つまり　cos2nθ=2cos22n-1θ-1です。ここで，ａn=cos2n-1θ とおくと，ａn+1=2ａn2-1という隣接２項間の漸化式を得ます。数列の極限で，たとえばａ1=3,ａn+1=1/2ａn+3(n=1,2,3,…) で定められる数列 {ａn} の極限値 limａn[n→∞]のグラフ上の意味として，xy平面上に２直線 y=1/2x+1,y=x をかき，点(ａ1,0)から始めて y=1/2x+1 上の点（ａ1,ａ2） →直線 y=x 上の点（ａ2,ａ2）→ y=1/2x+1 上の点（ａ2,ａ3）→ ……とジグザグに進み， ｎが大きくなるにつれて点（ａn,ａn）が２直線の交点(6,6)に近づいていくことから，数列 {ａn} の極限値が６であるという説明があります。余弦の２倍角の公式から作った漸化式ａ1=cosθ,ａn+1=2ａn2-1について，放物線y=2x2-1と直線y=xを使って，角θが２倍になるとき余弦の値はどのように変化するのかを考察しました。

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数列の問題について、生徒が自分で問題を作成し、１つの題材でいくつかの要素、特に漸化式と数列との基本がつながるような演習を考え実施した。その結果、漸化式は同じ数列で表し方の違いであり、楽に漸化式を作ることができるということを生徒は実感したようだと結んでいる。

東京女学館教諭　矢ヶ崎二郎

タイトルを見て，何だこれは？と思った諸氏も多いであろう。瓶(ビン)…ガラス製で中が見える，缶(カン)…ブリキ製で中が見えないということである。つまり，括弧で括り置き換えをしないで中が見える状態のままで計算するのが瓶詰法であり，括弧で括った部分を別文字に置き換えをして中が見えない状態にして計算するのが缶詰法である。このような方法は教科書の至る所に出現している。本稿では，瓶詰法と缶詰法という視点から高校数学を俯瞰し，特にベクトル方程式の指導に焦点を当ててみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

以前，『教員研修を兼ねた大学入試問題研究⑴～東大の問題を中心にして～』を本サイトで紹介した。本校では進路指導部の管轄のもとで，各教科(国･地歴･数･理･英)の教員が自己研修を兼ねて夏季休業中に研究する。これは平成17年度から始まり，東大，京大，センター試験，本校の生徒の進学希望の多い広島大あるいは山口大の問題中心に指導のための研修を行うものである。ここでは，筆者の担当した2011年度のセンター試験と広島大学の問題(各１問)について，紹介する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

本稿では，「理解を軸にして，興味・関心を惹く発見学習」の実践例を紹介している。生徒の数学理解観の調査やスーパーサイエンスハイスクールでの実践，中学3年生を対象とした出前授業での実践など，多様な実践例が生徒へのアンケート調査の結果やその考察とともに詳述されている。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

センター試験数学過去問題集。2012年度本試験（数学ⅡＢ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2010年度追試験（数学ⅡＢ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2011年度追試験(数学ⅡＢ)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2012年度追試験(数学ⅡＢ)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2013年度本試験(数学ⅡＢ)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2014年度本試験(数学ⅡＢ)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

センター試験数学過去問題集。2014年度追試験(数学II・B)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

センター試験数学過去問題集。2015年度本試験(数学II・B)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

H20 センター試験 教科書数学Ｂ・１章　数列　１節　数列　２　等差数列　６　和の記号Σ　2節　漸化式と数学的帰納法　１　漸化式。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2009年度本試験（数学ⅡＢ) 第3問この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　TEN管理課

センター試験数学過去問題集。2010年度本試験（数学ⅡＢ) 第3問この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　TEN管理課

センター試験数学過去問題集。2011年度本試験（数学ⅡＢ) 第3問この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　TEN管理課