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教科書単元リンク集・高等学校

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702 数学Ⅲ Standard3節 面積・体積・長さ

指導資料

  • 切り口が円に外接する等脚台形である立体の体積 ~球を平面で切ったときの円に対して~
    2022年08月05日
    • 数学
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    切り口が円に外接する等脚台形である立体の体積 ~球を平面で切ったときの円に対して~

    立体の切り口に円に外接する等脚台形が現れる場合のその体積について、脚の長さが一定のとき、切り口の面積が一定のときについてそれぞれ考察する。等脚台形は「相加・相乗平均の不等式」が目に見える特性がある上、将来数学Ⅲ「定積分の応用」に活用できるというメリットもあり、是非扱いたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立徳山高等学校 西元教善

  • (大学入試トピックス)美しいグラフ、面白いグラフ
    2022年09月01日
    • 数学
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    (大学入試トピックス)美しいグラフ、面白いグラフ

    ニューサポート高校「数学」vol.38(2022年秋号)(特集:新課程における統計の扱いについて/大学入試と思考のプロセス)より。幼少の頃、私はよく下の写真のような円形のプラスチック製の歯車で中に数か所穴が空いておりその穴にボールペンを入れて、それを大きさの異なる何個かの歯車をくりぬいた大きな定規に歯をかませながらその歯車を廻して模様を描いてよく遊んでいたものだった。しばらく姿を消していたが最近は 100 円ショップでも購入でき数学的にもデザイン的にも興味ある教具なので是非試していただきたい。

    世田谷学園中学校・高等学校 大石隆

  • 直交する2つの楕円柱の共通部分~断面積・定積分~
    2021年02月05日
    • 数学
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    直交する2つの楕円柱の共通部分~断面積・定積分~

    半径が等しく高さが十分ある2つの円柱が直交しているときの共通部分の体積を求める場合,その共通部分を切ってできる図形は正方形になるので,一辺の長さが求められれば,その断面積が求められる。では,円柱ではなく楕円柱であったらどうなるか。さらには一方の楕円柱だけを,底面に垂直で互いに平行な平面で切ったときの共通部分の体積はどうなるのかということについて考察してみたい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/detail/40776/

    山口県立光高等学校 西元教善

  • 回転体の体積と軸を含む平面での切断面に現れる曲線 ~ 軸とねじれの位置にある直線を題材にして~
    2021年02月19日
    • 数学
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    回転体の体積と軸を含む平面での切断面に現れる曲線 ~ 軸とねじれの位置にある直線を題材にして~

    平行である2直線の一方を制限し,線分として他方の直線のまわりに回転させてできる回転体は中学校で扱う。では,ねじれの位置にある2直線の一方を制限し,線分として他方の直線のまわりに回転させてできる回転体についてはどうなのかという疑問をもち続けている生徒もいるかもしれない。本稿では,ねじれの位置にある直線を題材に,回転体の体積と軸を含む平面での切断面に現れる曲線について考察してみたい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立光高等学校 西元教善

  • x,y,zの不等式で表された立体の断面積について ~平面z=tによる切断面は何を表すか~
    2021年03月12日
    • 数学
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    x,y,zの不等式で表された立体の断面積について ~平面z=tによる切断面は何を表すか~

    時代は3Dであるが,空間における立体のイメージをつかむのが苦手な生徒が多い。空間図形の問題ではとかく「図をかいて全体のイメージをもて」と言われるが,それができないから困るのだ。全体イメージが描けるに越したことはないが,それができなくても,「断面」が描けるようになれば対処できる。本稿では,ある生徒から受けた質問をもとに,x,y,zの(連立)不等式で表された立体の断面積の求め方について考察したい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立光高等学校 西元教善

  • 空間図形の切断面 ~どのように切断するのが求めやすいか~
    2021年03月19日
    • 数学
    • 指導資料
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    空間図形の切断面 ~どのように切断するのが求めやすいか~

    空間図形の体積は,その切断面の面積を求めそれを定積分することで求められるが,どのような平面で切断するのがよいのであろうか。本稿では,x≧0,x2+y2≦1,0≦z≦y2という連立不等式が定める空間図形について,さまざまな平面で切断した場合を比較し,断面積及び定積分の値の求めやすさについて考察してみる。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立光高等学校 西元教善

  • 放物線と直線 y=xで囲まれる図形を直線 y=xのまわりに回転させてできる立体の体積
    2021年03月26日
    • 数学
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    放物線と直線 y=xで囲まれる図形を直線 y=xのまわりに回転させてできる立体の体積

    本稿では,点(p,q)を頂点とする下に凸の放物線C:y=a(x-p)2+q(a>0)と直線l:y=xで囲まれる図形Flがあるとき,Flをlのまわりに回転してできる回転体の体積Vlを考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立光高等学校 西元教善

  • 円柱の底面の弦を通る2平面で切り取られる立体の体積
    2022年06月10日
    • 数学
    • 指導資料
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    円柱の底面の弦を通る2平面で切り取られる立体の体積

    東京書籍『数学ⅢAdvanced』の「積分とその応用」で、円柱をその底面の直径を含む平面で切り取った立体の体積が扱われている。これを、直径以外の弦を含む2平面で切り取ったときの立体の体積に変えるとどうなるであろうか。また、円柱の高さを直径に等しくしたときと、半径に等しくしたときを考えるとどのような変化があるであろうか。本稿ではこの点について考察してみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立徳山高等学校 西元教善

  • 円柱の斜め切断で分かること~体積,断面の描く曲線,側面積について~
    2015年05月08日
    • 数学
    • 実践事例
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    円柱の斜め切断で分かること~体積,断面の描く曲線,側面積について~

    数か月前になるが,この東書Eネットで,非回転体の求積問題に関して,発泡スチロールを切断した直角2等辺三角形を積み重ねる形での実モデルを作成するというレポートを出させていただいた。その問題の周辺を考えていたが,同じく東書Eネットで山口県立岩国高等学校の西元先生の,「対称性のある関数の定積分の値について」というレポートを読むと,私のイメージしていたものと似たものがあったため,このような原稿を作成するに至った。円柱の斜め切断を行い,その体積と断面の描く曲線と側面積とが,三角関数で面白く表現できるということをまとめたつもりである。

    鹿児島県鹿児島中央高等学校 堂薗幸夫

  • 放物線とx軸で囲まれる部分を題材にした一考察⑵~体積について~
    2014年12月05日
    • 数学
    • 実践事例
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    放物線とx軸で囲まれる部分を題材にした一考察⑵~体積について~

    拙稿『放物線とx軸で囲まれる部分を題材にした一考察⑴~長さと面積について~』では,2次関数Y=ax2+bx+c=のグラフ,つまり放物線がx軸と異なる2点A,Bで交わるとき,そこにさまざまな図形的,計量的な考察ができるということで,x軸が放物線によって切り取られる線分の長さ,x軸と放物線によって囲まれる部分の面積やそれに内接,外接する正三角形,正方形や円の面積について,a, b,cでどのように表されるか,特にaとD(=b2-4ac)でどのように表されるかを考察した。本稿では,体積について考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 正三角形を回転させる~回転軸が辺に平行な場合の最小体積~
    2015年01月23日
    • 数学
    • 実践事例
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    正三角形を回転させる~回転軸が辺に平行な場合の最小体積~

    平成23年度の東京工大入試問題に,正方形Dをそれと共有点をもち,Dの辺とは平行ではない直線を軸として回転させたときの回転体の体積に関する問題が出されていた。ある入試問題詳解集では「難問」という扱いであった。 そこで,正方形でなくて正三角形ではどうなのか,辺に平行であるとすると難問ではなく東京工大受験生レベルでない生徒にも使えるのであろうか…というような思いがあり,表題のような問題を考えてみた。 結果的には,標準的な問題となったので多くの生徒にも考えて欲しいと思ったので,本稿で紹介したいと思う。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 切り口が2円の共通部分である立体の体積~球と直円柱の共通部分の体積~
    2015年05月22日
    • 数学
    • 実践事例
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    切り口が2円の共通部分である立体の体積~球と直円柱の共通部分の体積~

    球と直円柱において,球の直径と直円柱の軸が一致しているときその共通部分の立体は,直円柱の部分Pと底面が円で他は球面の一部である部分Q(2つ)に分けられる。Qは底面の円板に平行に切るとその切り口は円板になる。 一方,球の半径が直円柱の底面の半径の2倍のとき,球の中心を通る平面に対して直円柱の底面が平行かつその側面が球の中心を通るようにして,直円柱の側面でその球を切り取るとき,その切り取った立体の切り口は中心と半径の異なる2つの円板の共通部分である。 では,切り口が円板あるいは中心と半径の異なる2つの円板の共通部分である立体の体積がどのようになるかについて考察してみることにする。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • ICT活用での動的イメージの表現~Grapes3Dを利用して3Dモデル作成~
    2012年11月08日
    • 数学
    • 実践事例
    • ICT活用
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    ICT活用での動的イメージの表現~Grapes3Dを利用して3Dモデル作成~

    体積を求める積分や,空間ベクトルの問題に出くわすと,私の頭の中に浮かんでいるイメージをどのように生徒に伝えるか難しく感じることがある。更に,それが動いているような変化を伴うイメージだとかなり厳しく感じる。私はコンピュータを利用した“腑に落ちる”授業の展開というテーマを持ち続けている。実験的に1997年ごろから,インターネットのWebサイトを利用して,動的イメージを公開し,授業の中でも利用している。本稿は、その紹介である。

    鹿児島県立鹿児島中央高等学校 堂薗幸夫

  • 正四角錐に円筒形の穴をあけた立体の体積~発想の仕方と計算の技法~
    2016年08月19日
    • 数学
    • 指導資料
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    正四角錐に円筒形の穴をあけた立体の体積~発想の仕方と計算の技法~

    立体の体積は,切り口の面積がわかれば定積分で求めることができる。本稿では,正方形を底辺とし,辺の長さがすべて等しい正四角錐を,底面の正方形の対角線の交点を中心とし,直径が正方形の1辺の長さに等しい円を底面とする直円柱でくり抜いてできる残りの立体の体積を定積分で求めてみる。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • オイラーの定数γを「撮り尽くし法」で考察する
    2010年03月25日
    • 数学
    • 実践事例
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    オイラーの定数γを「撮り尽くし法」で考察する

    拙稿「オイラーの定数を視覚的に捉える~面積の和として,線分の長さの和として~」では,オイラーの定数γの定義式に修正を加えて,曲線y=1/xと直線x=n+1,y=1/nで囲まれる図形の面積の無限和として考察できるようにした。そこで,γを「取り尽くし法」で計算すればどのようなことがわかるかについて考察してみた。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 定積分2つの問題
    2004年03月16日
    • 数学
    • 指導資料
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    定積分2つの問題

    定積分の2つの問題を紹介している。2番目の問題は,その解法を読者に委ねている。プリント用のPDFデータつき。

    千葉県立千葉高等学校 榎本博人

  • 直交する円柱の共通部分の表面
    2012年12月06日
    • 数学
    • 指導資料
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    直交する円柱の共通部分の表面

    数学ⅡやⅢの積分の例題としてよく見られる「軸が直交している,同じ大きさの2つの円柱の共通部分の体積を求めと」という問題や,3つの円の共通部分の体積の問題について考察する。

    慶應義塾高校教諭 新井田和人

  • 放物線とx軸で囲まれる部分を題材にした一考察(1)~長さと面積について~
    2014年11月14日
    • 数学
    • 実践事例
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    放物線とx軸で囲まれる部分を題材にした一考察(1)~長さと面積について~

    2次関数Y=ax2+bx+cのグラフ,つまり放物線がx軸と異なる2点A,Bで交わるとき,そこにさまざまな図形的,計量的な考察ができる。たとえば,x軸が放物線によって切り取られる線分の長さ,x軸と放物線によって囲まれる部分の面積やそれに内接,外接(内接,外接の意味については本文で説明)する正三角形,正方形や円の面積である。 本稿では,これらの基本図形の長さや面積が,a, b, cでどのように表されるか、特に とaとD(=b2-4ac)でどのように表されるかを考察した。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • サイクロイドもどきに学ぶ~曲線x=at-sint,y=a-cost(0<a<1,0≦t≦2π)について~
    2018年02月23日
    • 数学
    • 指導資料
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    サイクロイドもどきに学ぶ~曲線x=at-sint,y=a-cost(0<a<1,0≦t≦2π)について~

    サイクロイドは数学Ⅲで,媒介変数で表示される関数の一つとして扱われる。サイクロイド (cycloid) は日本語では擺線(はいせん)と訳されていて,擺には振子の意味がある。また,サイクロイド (cycloid) はcycle + oidでlike a circleの意味を持つ。-oidは…のようなものという接尾辞である。Circleには「円」「周期」「循環」などの意味がある。さて,サイクロイドは媒介変数のままで曲線の方程式が表示され,媒介変数を介した微分や積分を行わせる格好の題材である。その媒介変数表示は x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a>0)であるが,これをx=at-sint,y=a-cost(a>0) としたら,グラフはどのようになるのか,サイクロイドのように のときにそれと 軸で囲まれた図形の面積はどのようになるのかを中心にして考察してみたい。 ※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立高森高等学校教諭 西元教善

  • (集中連載)先輩,ここどげん教えると?-私ならこう教える-
    2016年04月01日
    • 数学
    • 実践事例
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    (集中連載)先輩,ここどげん教えると?-私ならこう教える-

    ニューサポート高校「数学」vol.25(2016年春号)より。本シリーズ第7回です。今回は数学Ⅲにおける導関数についてと,上底面と下底面が平行でない角柱の体積について,それぞれの考察を深めます。

    九州数学シンクタンクグループ

  • “動点”をイメージする力 教科書ARがサポート【高校数学・教科書AR】
    2016年07月21日
    • 数学
    • 実践事例
    • ICT活用
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    “動点”をイメージする力 教科書ARがサポート【高校数学・教科書AR】

    東京書籍のICT教材を活用した授業の実践事例集を小冊子とDVDで作成しました。当ページは、冊子の内容を基に制作されています。東京書籍では、AR(Augmented Reality・拡張現実)」により紙面とCG・アニメーション・動画などが連動する無料アプリ「教科書AR」を教科書に導入している。これによりiPadやiPhone、Android端末などを教科書紙面にかざすことで、関数のグラフや書写の筆運びなどのアニメーションを見たり操作したりすることができるようにした。山梨県立甲府西高等学校(小川巌校長)では数学でこのARコンテンツを活用している。3年理系クラス「数学Ⅲ」の授業を取材した。授業者は諏訪めぐみ教諭。取材・編集協力教育家庭新聞、教育新聞社※平成21~25年度の取材に基づくものです。※勤務校、役職、担当学年等は、取材時のまま掲載しております。

    東京書籍 ICT事業本部

  • 高校数学におけるいくつかの定理の証明(2)
    2004年10月12日
    • 数学
    • 指導資料
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    高校数学におけるいくつかの定理の証明(2)

    授業で扱う定理の証明についての考察として,√2が無理数であることと,極座標による面積公式の2つを紹介している。

    開成高等学校 木部陽一

  • (小中高関連)[図形]空間図形とその計量
    2013年11月18日
    • 算数
    • 数学
    • 指導資料
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    (小中高関連)[図形]空間図形とその計量

    「よくわかる! 小・中・高 算数・数学のつながり」(2013年10月発行)より。教科書から抜粋した紙面を通して「どの学年で」「どんな内容を」「どのように学んでいるか」が概観できるようになっております。学習内容のつながりや扱いなどの概要の説明,学習段階・学習内容の一覧,学習内容に関する教科書紙面,学習内容に関する留意点(児童,生徒の実態,取り扱い上の配慮)などで構成。

    東京書籍(株) 算数・数学編集部

問題・テスト資料

  • 非回転体の体積(大学入試トピックス)
    2005年09月03日
    • 数学
    • 入試問題
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    非回転体の体積(大学入試トピックス)

    ニューサポート高校数学Vol.4(2005年9月)より。文系の積分から体積が消えて久しい。そのため,積分で体積を求める問題は理系に限られ,入試の中でも,問題数で見ればそれほどは多くはない。さらに,その問題の多くは回転体に関するもので,非回転体の体積の問題はかなり少ない。しかし,それはあくまでも出題しづらいせいであって,重要性が低いわけではないと考える。

    開成高等学校教諭 井出健宏

  • 2012年北海道高等学校数学コンテスト第5問
    2012年04月11日
    • 数学
    • 評価問題
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    2012年北海道高等学校数学コンテスト第5問

    2012年1月に実施された北海道高等学校数学コンテストの第5問。

    北数教高校部会代数解析研究会

  • 2011年北海道高等学校数学コンテスト第4問
    2011年02月02日
    • 数学
    • 評価問題
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    2011年北海道高等学校数学コンテスト第4問

    2011年1月に実施された北海道高等学校数学コンテストの第4問。

    北数教高校部会代数解析研究会

  • [大学入試トピックス]座標空間と2次曲線
    2013年09月01日
    • 数学
    • 入試問題
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    [大学入試トピックス]座標空間と2次曲線

    ニューサポート高校「数学」vol.20 特集:集中連載 先輩,ここどげん教えると?Part 2(2013年秋号)より。座標空間の問題は,使える道具が少ないこともあり,定型のものを除くと難しいものが多い。

    開成中学校・高等学校教諭 井手健宏

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