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701 数学Ⅱ Advanced3節 高次方程式

指導資料

  • 係数未定の3次方程式で1つの虚数解がわかっている問題について ~係数の決定と他の2解の求値~
    2020年03月27日
    • 数学
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    係数未定の3次方程式で1つの虚数解がわかっている問題について ~係数の決定と他の2解の求値~

    数学Ⅱで「高次方程式」を扱い,その中で係数(実数) のいくつかが未定である3次方程式において、1つの虚数解がわかっているとき,未定である係数と他の2解を求めさせる問題がある。東京書籍「数学Ⅱ」p.43の「例題6」などがそうである。それは,x=1+i が3次方程式x3+ax+b=0 の解であるとき,実数a,bの値と他の2解を求めさせる問題である。これには教科書で提示されている解法以外にもいろいろな解法が考えられる。本稿では,どのような方針でどのような数学的アイテムを使って解く方法があるかについて考察してみる。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

    山口県立高森高等学校 西元教善

  • 整数係数の3次方程式 x3+ax2+bx±1=0の有理数解について ~方程式と整数の性質~
    2020年11月13日
    • 数学
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    整数係数の3次方程式 x3+ax2+bx±1=0の有理数解について ~方程式と整数の性質~

    x3-2x2-2x+1=0,x3-4x2+4x-1=0,x3+x2+x+1=0,x3-x2+x-1=0 という4つの3次方程式は,整数係数の3次方程式 x3+ax2+bx±1=0が有理数解として,1または-1をもつ例で、他の2つの解は無理数か虚数である。本稿では,整数係数の3次方程式 x3+ax2+bx±1=0が有理数解をもつとき,整数 a,bにはどのような関係があるのか,またそのときの解は1か-1になるのかという点について考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

    山口県立光高等学校 西元教善

  • 3次方程式の解の公式とω~因数定理による解き方との比較~
    2010年12月03日
    • 数学
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    3次方程式の解の公式とω~因数定理による解き方との比較~

    3次方程式を解くには,因数定理と組立除法を用いて解くのが簡便である。2次方程式の場合には,基本的には解の公式で解けばよいが,因数分解が簡単にできるのならば2つの1次式の積にして,1次方程式を解く方が早い。3次方程式には2次方程式同様に解の公式があるが,因数定理で1次式と2次式の積に因数分解し,さらにその2次式がたすき掛けなどで簡単に因数分解されるのであれば,結局3つの1次式の積に表し,3つの1次方程式を解く方が早いし,またそうでない場合では,1つの1次方程式と1つの2次方程式を解の公式で解く方が早い。しかし,せっかく1の(虚数の)3乗根ωを学習させるのであるから,その活用例として3次方程式の解の公式を扱うのもよいのではないかと思い,本稿を書いた次第である。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • たすき掛けによる3次式の因数分解~たすき掛け=因数定理+組立除法~
    2010年11月26日
    • 数学
    • 実践事例
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    たすき掛けによる3次式の因数分解~たすき掛け=因数定理+組立除法~

    因数定理を使って因数分解し,高次方程式を解くといっても,実際の所,3次方程式が中心である。因数定理で1次式の因数を見つけても,それで割算して商を求めなければならない。組立除法という便利なツールがあるが,いっそのこと3次式のたすき掛けで因数分解してしまえば,その方が早いのではないかと思う。そこで,本稿では「3次式のたすき掛けによる因数分解」について因数定理とともに考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)の活用について~3次方程式の解に関連して~
    2011年01月01日
    • 数学
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    x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)の活用について~3次方程式の解に関連して~

    数学Ⅰの因数分解ではさまざまな公式を扱うが,その中には題目に掲げた等式は入っていない。教科書では章末問題等でこの等式が成り立つことの証明問題として,問題集では,この等式を使って因数分解させる適用問題はあってもこれをそれ以上に積極的に活用するものではない。しかし,これは有用な公式である。本稿ではこの等式と3次方程式の解との関わりについて考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)の証明について
    2011年02月04日
    • 数学
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    a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)の証明について

    以前,『x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)の活用について~3次方程式の解に関連して~』という原稿を東書Eネットにアップして頂いた。それはこの等式についての活用として,3次方程式の解に関連させるため,あえてx,y,zで表した。本稿では通常どおりa,b,cで表し, a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)の証明については,どのようなものが考えられるか,また,生徒にとってわかりやすいものはどのようなものかを考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 4次方程式に関連した整数問題~「整数の性質」を意識して~
    2013年09月20日
    • 数学
    • 実践事例
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    4次方程式に関連した整数問題~「整数の性質」を意識して~

    現教育課程では,数学Aで「整数の性質」が扱われる。これまで,教科書においては整数に関する内容が十分でなかったにもかかわらず,大学入試では整数問題が出題されていた。したがって,整数問題が出題される可能性がある大学を受験する場合にはそれ相応の対策 ― 整数の性質についての知識とそれをどのように使って問題を解いていくか ― をとっておかなければならなかった。 本稿では,過去に出題された問題を題材に,整数の性質を見据えて整数問題を考察する。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • (x-α)(x-β)nで割った余りの指導について
    2013年12月13日
    • 数学
    • 実践事例
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    (x-α)(x-β)nで割った余りの指導について

    数学Ⅱの方程式の「剰余の定理」では,整式P(x)を,2つの1次式x-α,x-β(α≠β)で割ったときの余りをそれぞれa, bとするとき,その2つの1次式の積(x-α)(x-β)で割ったときの余りを求める問題を扱います。1次式の積は2次式で,それで割ったときの余りは1次以下の整式であることから,それをcx+dとおき,また商をQ(x)とおくと,P(x)= (x-α)(x-β)Q(x)+cx+dと表せます。また,剰余の定理によりP(α)=a,P(β)=bであることから,c,dについての連立方程式cα+d=a,cβ+d=bを得て,これをc,dについて解くことで余りが求められます。 教科書の例題ではこのようなことが扱われているので,整式P(x)をx-α,(x-β)2(α≠β)で割ったときの余りがそれぞれa,bx+cであるとき,P(x)を(x-α)(x-β)2で割った余りを求めるときにも,余りが2次以下の整式になることからpx2+qx+rとおいて求めようとするのは極めて当然の流れですが,それではp,q, rの値は定まりません。本稿では,一般に整式P(x)をx-α,(x-β)n(α≠β,nは自然数)で割ったときの余りが与えられているとき,P(x)を(x-α)(x-β)nで割ったときの余りを求めることを生徒にわかりやすく指導することを考察しました。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

    山口県立岩国高等学校教諭 西元教善

  • 3次方程式の解の公式
    2019年06月18日
    • 数学
    • 指導資料
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    3次方程式の解の公式

    数学IIで因数定理を学習すると3次多項式を有理数の範囲で因数分解することができるようになり, 3次方程式の有理数解を求めることができるようになります. 3次方程式の解の公式が, どれくらい複雑な式であるかを話してあげ, 次元が上がると難易度が変化することを知り, 奥深い数学に触れる機会にしたいと思っています.

    近畿大学附属高等学校・中学校 林敦洋

  • 3次式(モニック)の因数分解 ~三角掛け~
    2019年10月04日
    • 数学
    • 指導資料
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    3次式(モニック)の因数分解 ~三角掛け~

    数学Ⅰではたすき掛けによる2次式の因数分解を扱い,数学Ⅱでは因数定理と組立除法による3次式の因数分解を扱う。中学校での2次式の因数分解は2次の係数が1であるモニックの因数分解で,これは足して1次の係数,掛けて定数項になる2数を見つけることでできる。モニックではない2次式の因数分解の場合はたすき掛けや2次方程式の解を用いて因数分解する。数学が苦手な生徒の中には,中学校では2次式(モニック)を「足して1次の係数,かけて定数項になる2数を見つける」ことで因数分解し,高校では数学Ⅰでモニック以外の2次式は「たすき掛け」で因数分解することがようやくできるようになったかと思えば,因数定理から因数を見つけるという方法になり,戸惑うことがある。いつまでも同様な方法では限度があり,それを打破する画期的な方法を理解して使えるようにならなければならないが,そこに至れない生徒もいる。そこで,これまでの方法を踏襲する方法を補助的に扱わせてみればどうであろうかという思いが湧いてきて考察を行い,「たすき掛け」ならぬ「三角掛け」という3次式(モニック)を因数分解する方法を考案したので紹介したい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

    山口県立高森高等学校 西元教善

  • 3次式の因数分解 ~ダブルたすき掛けの方法~
    2019年10月18日
    • 数学
    • 指導資料
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    3次式の因数分解 ~ダブルたすき掛けの方法~

    3次式の因数分解は,3次式の因数分解の公式が使える場合にはそれを使い,一般には因数定理で1次の因数を見つけ,それで3次式を割って(組立除法を使えば簡単にできる)残りの2次の因数を求め,さらに整数の範囲で因数分解できるときはそれを因数分解してそれらの積の形で求めるというものである。2次式の因数分解は整数の範囲で因数分解できるものであれば「たすき掛けの方法」で因数分解するが,3次式の因数分解の場合もこれに似た方法で,つまりたすき掛けの拡張で因数分解できないだろうか。本稿では,たすき掛けの拡張で3次式の因数分解を考察したい。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

    山口県立高森高等学校 西元教善

  • 整式の割算における余りの意味について~関数のグラフとして捉える~
    2020年03月20日
    • 数学
    • 指導資料
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    整式の割算における余りの意味について~関数のグラフとして捉える~

    数学Ⅱで「剰余の定理」を扱う。その応用として,ある整式 P(x)を異なる2つの1次式 x-α,x-βで割ったときの余りが与えられているとき,2次式(x-α)(x-β)で割ったときの余りを求める問題がある。しかし,そこで得られた余りについてその意味を考えさせることはなく,求められたらそれでよいということであるが,一体どのような意味を持つのかについて考察してみる。※文中の数式は,「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには,「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

    山口県立高森高等学校 西元教善

  • (小中高関連)[数と式]方程式
    2013年11月18日
    • 算数
    • 数学
    • 指導資料
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    (小中高関連)[数と式]方程式

    「よくわかる! 小・中・高 算数・数学のつながり」(2013年10月発行)より。教科書から抜粋した紙面を通して「どの学年で」「どんな内容を」「どのように学んでいるか」が概観できるようになっております。学習内容のつながりや扱いなどの概要の説明,学習段階・学習内容の一覧,学習内容に関する教科書紙面,学習内容に関する留意点(児童,生徒の実態,取り扱い上の配慮)などで構成。

    東京書籍(株) 算数・数学編集部

問題・テスト資料

プリント資料

  • (実践事例集)参考(1)~(5) 剰余の定理,因数定理 他
    2002年08月20日
    • 数学
    • 授業プリント・ワークシート
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    (実践事例集)参考(1)~(5) 剰余の定理,因数定理 他

    「高等学校数学実践事例集」より。(1) 剰余の定理,因数定理,(2) 因数定理から因数分解,(3) 解の公式,(4) 倍数と約数,(6)最大公約数,最小公倍数。この資料は,高校数学の教科書で取り扱う内容に関して,いろいろな角度から解説をしたものです。それらは,導入例や,参考になる先生方へのコメント,中学校の復習,発展的内容,教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は1ページにまとまっています。

    稲永善数

  • (実践事例集)因数分解(1)~(4)
    2002年08月20日
    • 数学
    • 授業プリント・ワークシート
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    (実践事例集)因数分解(1)~(4)

    「高等学校数学実践事例集」より。 因数分解の方法 ・因数分解のその他の方法。この資料は,高校数学の教科書で取り扱う内容に関して,いろいろな角度から解説をしたものです。それらは,導入例や,参考になる先生方へのコメント,中学校の復習,発展的内容,教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は1ページにまとまっています。

    稲永善数

  • (実践事例集)因数分解,教科書以外の方法(1)~(2)
    2002年08月20日
    • 数学
    • 授業プリント・ワークシート
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    (実践事例集)因数分解,教科書以外の方法(1)~(2)

    「高等学校数学実践事例集」より。(1) 展開の逆の操作として,(2) 解の公式を用いて,(3) 因数定理を用いて,(4) 恒等式を用いて。この資料は,高校数学の教科書で取り扱う内容に関して,いろいろな角度から解説をしたものです。それらは,導入例や,参考になる先生方へのコメント,中学校の復習,発展的内容,教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は1ページにまとまっています。

    稲永善数

  • (実践事例集)大学への橋渡し(1)~(4) 多項式の既約性 他
    2002年08月20日
    • 数学
    • 授業プリント・ワークシート
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    (実践事例集)大学への橋渡し(1)~(4) 多項式の既約性 他

    「高等学校数学実践事例集」より。(1) 多項式の既約性,(2) 共通因数の見つけ方,(3) 互除法から判別式,(4) 判別式。この資料は,高校数学の教科書で取り扱う内容に関して,いろいろな角度から解説をしたものです。それらは,導入例や,参考になる先生方へのコメント,中学校の復習,発展的内容,教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は1ページにまとまっています。

    稲永善数

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