正多面体は中学校で学習するが、数学Ａの正多面体でも、正十二面体と正二十面体の体積に関する記述は、問題集などでもほとんどない。折しも先日の大学入学共通テストの「数学Ⅱ・数学Ｂ」のベクトルの問題で、正五角形と正十二面体をテーマとした問題が出された。新学習指導要領下における探究活動の重要性を再認識させる出来事であった。本稿では、正十二面体、正二十面体の体積の求め方について解説したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

梅花中学校・高等学校　飛松聡

今年（2008年）に行われた東大前期理系の数学の入試問題の第３問について、高校生が理解し易く、しかも計算量の少ない解法例を提示している。

熊本県立高等学校教諭　小坂和海

点，辺，面の個数に関するオイラーの定理について数学Aの「場合の数」で扱った場合の授業展開例を提示している。

東京都立戸山高等学校　赤荻進一

ストローとモール(カラータイ)を使って、色々な多面体が簡単に作れます。材料のストローとモールは、安価で手に入ります。単純ですが頭を使う工作で、数学や化学の授業などに活用できます。その多面体の作り方を紹介します。

神奈川県 岩谷学園高等専修学校　多賀信行

数学Ａの｢図形の性質｣で正多面体を扱う。オイラーの多面体定理とともに扱うのであるが，内容的には１～２ページで，数学的事実の周知といった印象を受ける。正多面体は正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体の５種類ある(かつ，５種類しかない)が，正多面体の性質について深入りすることはない。図を描くことも含めた複雑さの程度から正四面体，正六面体，正八面体が生徒にとって扱い得る対象となるのではなかろうか。ここに挙げた３つの正多面体には興味深い関係 ― 正六面体の８つの頂点のうちの４点をうまく結べば正四面体ができ，残りの４点を結べば同じ大きさの正四面体ができて，それらの共通部分が正八面体になる ― がある。本稿では，この関係について生徒も立体的なイメージが描けるよう考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

（写真資料）撮影年月日：1999年5月、撮影者：川村康文［京都教育大学附属高校］、撮影場所：京都教育大学附属高校物理実験室。星形正20面体です。実は、これを「ふしぎの花びら」と命名した理由は、５本のつのを集めてすぼめると、つぼみのように閉じ、また、そのつぼみを押し開くと花のように咲き開くからです。

京都教育大学附属高等学校　川村康文

（写真資料）撮影年月日：1999年5月、撮影者：川村康文［京都教育大学附属高校］、撮影場所：京都教育大学附属高校物理実験室。星形正20面体の、５本のつのを集めてすぼめたもののうち、つぼみを対象の位置に作ったものです。プランクトンのような形とも思えますし、また、空飛ぶ宇宙船（あまり、疑似科学には走りたくはないですが）のような形にもイメージできます。

京都教育大学附属高等学校　川村康文

（写真資料）撮影年月日：1999年5月、撮影者：川村康文［京都教育大学附属高校］、撮影場所：京都教育大学附属高校物理実験室。星形正20面体の、５本のつのを集めてつぼみを作るにあたって、できるだけ多くのつぼみを作ったものです。写真「ふしぎの花びら（1）」、「ふしぎの花びら（2）」、「ふしぎの花びら（3）」とならべてみると、まるで、プランクトンが変態をしていくかのようなイメージを与えてくれます。想像のなかからも、科学に対して、何かの知恵を与えてくれそうな感覚や手応えを覚えます。

京都教育大学附属高等学校　川村康文

（写真資料）撮影年月日：1999年5月、撮影者：川村康文［京都教育大学附属高校］、撮影場所：京都教育大学附属高校物理実験室。ふしぎの花びらに、興味をもって頂けたでしょうか？いわゆる星形正20面体を作るための型紙です。透明なプラ板や、蛍光を発色する透明プラ板で作ると、とても楽しく、空間認知能力が高められます。

京都教育大学附属高等学校　川村康文

（写真資料）撮影年月日：1999年6月。撮影者：川村康文［京都教育大学附属高校］、撮影場所：京都教育大学附属高校物理実験室。大型のふしぎの花びらに、蛍光発色シートを張ったものです。ブラックライトをあててみると、ふしぎな美しさを味わって頂けます。

京都教育大学附属高等学校　川村康文

（写真資料）撮影年月日：1999年6月、撮影者：川村康文［京都教育大学附属高校］、撮影場所：京都教育大学附属高校物理実験室。蛍光発色シートを張った「ふしぎの花びら」の変態を、ブラックライト下で行ってみました。次々とふしぎな変態を行います。

京都教育大学附属高等学校　川村康文

「（高校数学Ⅰ・A）課題学習指導実践記録集（2014年度版）」東京書籍2014年8月より。今回は数学Ａ「図形の性質 空間図形」を学習したのちに，「正多面体の考察」をテーマに課題学習を設定した。（実施時期：１月下旬）

鳥取県立鳥取工業高等学校　竹内憲治

いろいろな多面体が，ストローとモールを使って，簡単に作れます。材料のストローとモールは，100円ショップ等で安く手に入ります。単純ですが頭を使う面白い工作で，数学や化学の授業，工作教室などに活用できます。ここでは，この多面体の作り方を紹介します。

神奈川県岩谷学園高等専修学校　多賀信行

展開図が正方形となる立体があることを知っていますか？　ちなみに正方形の４隅をくっつけて１つの角にしようとすると、ぺしゃんこになって立体になりません。隣り合う２辺の中点を使って折ってみると，見事に三角錐が出来るはずです。このように、３つの直角で、１つの角を作る四面体において、非常におもしろい性質が知られています。

大阪府立岸和田高等学校　近藤寛直

「よくわかる！　小・中・高　算数・数学のつながり」（2013年10月発行）より。教科書から抜粋した紙面を通して「どの学年で」「どんな内容を」「どのように学んでいるか」が概観できるようになっております。学習内容のつながりや扱いなどの概要の説明，学習段階・学習内容の一覧，学習内容に関する教科書紙面，学習内容に関する留意点（児童，生徒の実態，取り扱い上の配慮）などで構成。

東京書籍（株）　算数・数学編集部

今回から，数回にわたって空間図形を扱う。実は空間図形は1回だけの予定であったが，来年3月でこのシリーズも終了するという東書Ｅネットの方針のため，確率・方程式・不等式・領域などの頻出項目を新たに扱うのは中途半端になるので，空間図形を充実させて図形の章で終了することとした次第である。

東大寺学園中高等学校　本庄隆

今回のテーマは合同四面体と垂心四面体（直稜四面体）である。合同四面体とはすべての面が互いに合同な四面体のことであり，垂心四面体とは3組の対辺が互いに垂直な四面体である。垂心四面体には第5問にあるように，各頂点からその対面に下ろした垂線の足がその面の垂心となる性質があり，このことがその名前の由来となっている。

東大寺学園中高等学校　本庄隆

「センター試験『高校数学』過去問題集（2007年6月作成）」より。2006年本試験（数学I・Ａ）第３問アイオカキクケコ。この資料全体は，東京書籍「数学I」（2007－2012年度用）「数学A」（2008－2013年度用）の教科書の目次に準拠して，2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は，そのなかの１小問です。データは問題と解答を記載。授業の後，まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。

東京書籍（株）　数学編集部

2011年1月に実施された北海道高等学校数学コンテストの第５問。

北数教高校部会代数解析研究会

「高等学校数学実践事例集」より。立体図形を一定方向の平面で切ったとき，同じ面積をとるならば，それらは同じ体積をもつ。このアイデアは，中国で最初に考えられた。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。2 つの立体に於いて，「１つの平面に平行な平面による切り口の面積が常に等しいとき，2 つの立体の体積は等しい」。この性質を「カヴァリエリの原理」という。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。球の表面積 ・一般化は面白い・5 種類の正多面体・問題を解くだけの授業。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。(1) 指導の流れ(多角柱)，(2) 指導の流れ(斜角柱)，(3) 指導の流れ(錐体)，(4)指導の流れ(球の体積。表面積)。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。アルキメデス・・・墓石。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。必要な部分を利用していただければと思います。学史

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。相似な立体の体積比，相似な立体の表面積の比。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

東京書籍（株）　数学編集部

［内容］2005年の東京大学前期試験に，次のような問題が出題された。r を正の実数とする。xyz 空間においてx 2＋y 2≦r 2，y 2＋z 2≦r 2，z 2＋x 2≦r 2を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ。小・中で空間図形の内容が削除された関係で，生徒はなかなか空間感覚が身に付いていない。問題のイメージを実際につかむため，その展開図を作ってみた，静岡高校教諭　藤澤徳芳先生のプリントである。高校で解決する様々な問題を，このような模型を作って考察すると，生徒の理解が容易になる例が多々ある。先生方が日頃作られておられるこのようなプリントがあれば是非紹介していきたいので，編集部もしくは東書Ｅネット事務局までお送りください。net@tokyo-shoseki.co.jp

静岡県立静岡高等学校　藤澤徳芳