数学Ⅲ「平面上の曲線」の2次曲線で、楕円や双曲線の標準形x2/a2±y2/b2を扱うが、教科書では式の導出における説明が省略されていることが多い。このとき、先生方はどう指導されているだろうか。本稿では、その導出に補完説明を加えてみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

数学Ⅲ「平面上の曲線」で、楕円や双曲線の標準形の｢概形をかけ｣という問題を扱う。その際、定数a、bが具体的な数値で与えられたとき、それらの焦点の座標を求めることはできても、位置が正確にとれず適当に作図している生徒も少なくない。そこで本稿では、楕円と双曲線の焦点の図示の仕方について考察してみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

ニューサポート高校「数学」vol．23（2015年春号）より。今回は，2 次曲線の接線と多項式関数の接線について，2 つを関連させて考察を深めることにしました。どちらかと言えば，マニアックな研究となりましたが，広く読者のご意見を伺いたいところです。

九州数学シンクタンクグループ

２次曲線，つまりx，yの２次式が表す関数のグラフは，放物線・楕円・双曲線である。なお，円は楕円の特別な場合である。円はその単純さゆえに，他の２次曲線を扱うときのベースになり得る。つまり，円を使うことで，他の２次曲線が円に関するある条件を満たす点の軌跡として表現することができる。本稿では，楕円と双曲線が円を使った軌跡として表現できるということについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

楕円の標準形x2/a2＋y2/b2＝1(a＞b＞0)を求めるときには，｢２定点からの距離の和が一定である点の軌跡｣という定義に従い，2定点をF,F'とし,直線FF'をx軸，線分FF'の垂直二等分線をy軸にとり，cを正の定数としてF,F'の座標をそれぞれ(c,0),(－c,0)とする。生徒にとっては，方程式で陽に現れないcから始めることが奇異に思われるようである。このように，定義と定義から導かれた「標準形」と呼ばれる方程式には若干の距離感がある。本稿では，定義と方程式とグラフの三位一体化という視点から，「実感・実用」という点も意識し，｢楕円｣について考察したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

旧課程数学Ｃ,新課程数学Ⅲで２次曲線，つまり放物線，楕円，双曲線を扱う。標準形で見ると，楕円と双曲線は符号の違いだけであり，よく似ている。しかし，焦点の座標については，楕円の場合はa＞bのときx軸上にあり，a＜bのときy軸上にある。つまり，aとbの大小関係で焦点の位置が(x軸上，y軸上という意味で)変わるが，双曲線の場合は，aとbの大小には無関係に右辺＝１のときはx軸上にあり，右辺＝－１の場合はy軸上にある。似ているということは，違うのだが，似ているが故にその違いに混乱する生徒は少なくない。そこで，同一平面上で楕円と双曲線の焦点について整理できるような提示をして，混乱の解消を試みる指導を行ってみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ｃで２次曲線を扱う。それ以前では｢２次関数のグラフ｣＝｢放物線｣，｢(分母・子が１次式の)分数関数のグラフ｣＝｢双曲線｣というように｢関数が先にありき｣であったが，ここでは｢放物線｣＝｢定点からとその定点が上にない直線までの距離が等しい点の軌跡｣，｢双曲線｣＝｢異なる２定点からの距離の差が一定である点の軌跡｣という視点から再度それらを見直すことになる。それまでは，放物線といえば下に凸，上に凸，双曲線といえば直角双曲線(それも漸近線がｘ軸，ｙ軸に平行)であったが，そのような規定はなくなるし，｢焦点｣という点に着目するようになる。双曲線の場合生徒が納得できるように図示しているであろうか。サブタイトルにもあるように，｢２定点からの距離が一定である点の作図｣法を明確にしておく必要があると思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

放物線は２次関数で，円は図形と方程式で扱い，楕円，双曲線については２次曲線で扱う。２次関数のグラフとして放物線を扱うときには，先に｢関数ありき｣である。東書数学Ｃp.65では0<e<1のとき楕円，e=1のとき放物線，e>1のとき双曲線であることが知られているという扱いである。「……であることが知られている」というのは，高校数学のレベルを超えている，あるいは現時点では発展的であるといった意味合いで使われることが多いようである。しかし，この分類は十分手の届く範囲あると思う。この場合の「……であることが知られている」というのは，計算が少し面倒で，記述するスペースを割愛するといった意味合いであると思う。そこで，離心率から２次曲線が統一的に扱えるということを生徒にわからせるための考察を行ってみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

高校で扱う２次曲線は，xy 平面上で考える。そのため，焦点は平面上で考えるものという思い込みを生徒に与えてしまうが，２次曲線(円錐曲線)は，１点O で交わる２直線 l, m を空間で考えて，lを軸としてm を回転させてできる円錐面を，点O を通らない平面α で切ったときにその切り口としてできる曲線であるから，立体的に考える方が自然である。すると，２次曲線の焦点についても平面上だけで考えるよりは，立体的な意味を考えるのが自然といえる。そこで，本稿では２次曲線の焦点について，生徒にわかるように立体的に考察することにする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

放物線では焦点，準線は１つずつ，楕円と双曲線ではそれぞれ２つずつある｡生徒の中には，放物線には焦点１つ，準線１つ，楕円，双曲線には準線がなく，その代わりに焦点が２つあってバランスがとれているという誤解をしている者が多いのではなかろうか｡拙稿『離心率から見た２次曲線－ここまでは学ばせておきたい－』では，０＜ｅ＜１，ｅ＝１，ｅ＞１のときにそれぞれ楕円，放物線，双曲線になることをそれぞれの標準形を通じて考察し，また，拙稿『２次曲線の焦点について－円錐曲線としての立体的な考察－』では，円錐曲線として立体的に考察して，別視点から生徒の２次曲線理解を深化させることを試みた｡本稿では，それをコラボした考察をする｡※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

2次曲線には円を楕円の特別な場合と見れば，放物線，楕円，双曲線の３つがある。２次曲線の場合，式の上から見れば，標準形において楕円と双曲線は符号が違うだけで，放物線のｙ2=4px　とは大きく異なっているという印象を持っているという印象を持っている生徒は少なくない。そこで，せっかく「行列」で原点まわりの回転移動を扱っているので，放物線ｙ2=4px　を原点のまわりに回転させ，移動後の放物線の方程式にはx2やｘｙの項が出現することを確認させれば，放物線の方程式だけが他の２つとは大きく異なっているという印象を払拭できるのではないかと思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

双曲線は，放物線を２次関数のグラフと捉えるのならば，それは反比例のグラフ，あるいは分母が１次，分子は１次以下の分数関数のグラフといえるが，正確にはそれを原点まわりに回転したもの，さらには, x軸方向，y軸方向に平行移動したグラフも含むことになる。　また，放物線は定直線に接し，しかも l上にない定点Fを通る円の中心Pの軌跡として描け，楕円は異なる２定点F，F'間の距離よりも長い紐の両端をそれぞれF，F'に固定して，鉛筆の先端で紐をピンと張るようにしてぐるりと一周させることで描ける。この説明は，それぞれの定義を反映していて，その図形(曲線)がわかりやすくイメージできる。その点，双曲線については，どう説明すればわかりやすくイメージできるであろうか。それを考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

2次曲線の導入などで用いられる同心円のワークシートがある。このワークシートでは，それぞれの同心円の中心を2つの焦点として，それらからの距離の和（または差）が一定である点の軌跡として楕円（または双曲線）を描くことができる。また，同心円と平行線を組み合わせれば放物線を描くワークシートを作ることもできる。これらのワークシートを用いた作業を実際に行うなかで，2次曲線どうしのいくつかの関係に気づくことができる。その中から本稿では楕円と双曲線の関係について1つを紹介する。

学習院高等科教諭　髙城彰吾

放物線上の異なる２点での２本の接線について，放物線とで囲まれる図形の面積を求める問題は定積分の代表的な問題の一つである。そのとき，２接線の交点のｘ 座標で場合分けして定積分をするが，この交点に注目したとき，これはどのような軌跡になるのか気にかかる。　本稿では，放物線上の異なる２点における２接線の交点について，２接線のなす角が一定のときと放物線と２接線の囲む図形の面積が一定のときの軌跡を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ｘｙ平面上に単位円C : x2＋ｙ2＝１と２直線ｙ＝－１，ｙ＝ｋ（ｋ≧１）があり，直線ｙ＝ｋ（ｋ≧１）上に動点P(p,k)(p≧０)があるとする。このときPから単位円Cに接線ｌを引き，これら(単位円Ｃ，２直線ｙ＝－１，ｙ＝ｋ（ｋ≧１），接線ｌ)とｙ軸で囲まれる図形の面積Ｓｋの最小値を考えるとき，kの値の変化に伴って最小値をとるpの値はどう変わるか，つまり，kの値の変化に伴って，最小値をとる直線ｙ＝ｋ（ｋ≧１）上の点Pの位置はどのように変わるかについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

一通り数学Ⅲまで履修が終わると受験問題の演習の時間となる。すべての授業が演習となると、生徒も大変なので，息抜きに少し数学の話をする。また，せっかく微積を学習したのだから，地球が太陽の周りを回っていることぐらいの確認をしてもよいし，このために，高校数学を勉強したといってもよいと思う。微分方程式を解かないといけないが，そう難しいものでもない。本稿では授業で生徒に配布したプリントに加筆したものである。

近畿大学附属高等学校　井上明