立体の切り口に円に外接する等脚台形が現れる場合のその体積について、脚の長さが一定のとき、切り口の面積が一定のときについてそれぞれ考察する。等脚台形は｢相加・相乗平均の不等式｣が目に見える特性がある上、将来数学Ⅲ｢定積分の応用｣に活用できるというメリットもあり、是非扱いたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

ニューサポート高校「数学」vol．38（2022年秋号）（特集：新課程における統計の扱いについて／大学入試と思考のプロセス）より。幼少の頃、私はよく下の写真のような円形のプラスチック製の歯車で中に数か所穴が空いておりその穴にボールペンを入れて、それを大きさの異なる何個かの歯車をくりぬいた大きな定規に歯をかませながらその歯車を廻して模様を描いてよく遊んでいたものだった。しばらく姿を消していたが最近は 100 円ショップでも購入でき数学的にもデザイン的にも興味ある教具なので是非試していただきたい。

世田谷学園中学校・高等学校　大石隆

東京書籍のＩＣＴ教材を活用した授業の実践事例集を小冊子とＤＶＤで作成しました。当ページは、冊子の内容を基に制作されています。東京書籍では、AR(Augmented Reality・拡張現実)」により紙面とCG・アニメーション・動画などが連動する無料アプリ「教科書AR」を教科書に導入している。これによりiPadやiPhone、Android端末などを教科書紙面にかざすことで、関数のグラフや書写の筆運びなどのアニメーションを見たり操作したりすることができるようにした。山梨県立甲府西高等学校(小川巌校長)では数学でこのARコンテンツを活用している。3年理系クラス「数学Ⅲ」の授業を取材した。授業者は諏訪めぐみ教諭。取材・編集協力教育家庭新聞、教育新聞社※平成21～25年度の取材に基づくものです。※勤務校、役職、担当学年等は、取材時のまま掲載しております。

東京書籍　ＩＣＴ事業本部

数学Ⅲで無理関数の定積分を扱うが，これを使えば円の面積が求められる。一般的な扇形の面積も０＜a＜ｂのとき、定積分∫ba√a2＋ｂ2－x2　ｄｘは原点を中心とし、半径が√a2＋ｂ2の円と考えることで無理関数の定積分で求められる。本稿では，(０＜a＜ｂのとき、定積分∫ba√a2＋ｂ2－x2　ｄｘの値を逆正接tan－１で表し，そこから逆正接についての性質を導くことにする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

半径が等しく高さが十分ある２つの円柱が直交しているときの共通部分の体積を求める場合，その共通部分を切ってできる図形は正方形になるので，一辺の長さが求められれば，その断面積が求められる。では，円柱ではなく楕円柱であったらどうなるか。さらには一方の楕円柱だけを，底面に垂直で互いに平行な平面で切ったときの共通部分の体積はどうなるのかということについて考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/detail/40776/

山口県立光高等学校　西元教善

平行である2直線の一方を制限し，線分として他方の直線のまわりに回転させてできる回転体は中学校で扱う。では，ねじれの位置にある2直線の一方を制限し，線分として他方の直線のまわりに回転させてできる回転体についてはどうなのかという疑問をもち続けている生徒もいるかもしれない。本稿では，ねじれの位置にある直線を題材に，回転体の体積と軸を含む平面での切断面に現れる曲線について考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

時代は3Dであるが，空間における立体のイメージをつかむのが苦手な生徒が多い。空間図形の問題ではとかく｢図をかいて全体のイメージをもて｣と言われるが，それができないから困るのだ。全体イメージが描けるに越したことはないが，それができなくても，｢断面｣が描けるようになれば対処できる。本稿では，ある生徒から受けた質問をもとに，x,y,zの(連立)不等式で表された立体の断面積の求め方について考察したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

空間図形の体積は，その切断面の面積を求めそれを定積分することで求められるが，どのような平面で切断するのがよいのであろうか。本稿では，x≧0，x2＋y2≦1，0≦z≦y2という連立不等式が定める空間図形について，さまざまな平面で切断した場合を比較し，断面積及び定積分の値の求めやすさについて考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

本稿では，点(p,q)を頂点とする下に凸の放物線C:y＝a(x－p)2＋q(a＞0)と直線ｌ:y＝xで囲まれる図形Flがあるとき，Flをｌのまわりに回転してできる回転体の体積Vlを考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

東京書籍『数学ⅢAdvanced』の「積分とその応用」で、円柱をその底面の直径を含む平面で切り取った立体の体積が扱われている。これを、直径以外の弦を含む２平面で切り取ったときの立体の体積に変えるとどうなるであろうか。また、円柱の高さを直径に等しくしたときと、半径に等しくしたときを考えるとどのような変化があるであろうか。本稿ではこの点について考察してみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

数か月前になるが，この東書Eネットで，非回転体の求積問題に関して，発泡スチロールを切断した直角２等辺三角形を積み重ねる形での実モデルを作成するというレポートを出させていただいた。その問題の周辺を考えていたが，同じく東書Eネットで山口県立岩国高等学校の西元先生の，「対称性のある関数の定積分の値について」というレポートを読むと，私のイメージしていたものと似たものがあったため，このような原稿を作成するに至った。円柱の斜め切断を行い，その体積と断面の描く曲線と側面積とが，三角関数で面白く表現できるということをまとめたつもりである。

鹿児島県鹿児島中央高等学校　堂薗幸夫

拙稿『放物線とｘ軸で囲まれる部分を題材にした一考察⑴～長さと面積について～』では，２次関数Y＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝のグラフ，つまり放物線がｘ軸と異なる２点A，Bで交わるとき，そこにさまざまな図形的，計量的な考察ができるということで，ｘ軸が放物線によって切り取られる線分の長さ，ｘ軸と放物線によって囲まれる部分の面積やそれに内接，外接する正三角形，正方形や円の面積について，a, b,cでどのように表されるか，特にaとD(＝b2-4ac）でどのように表されるかを考察した。本稿では，体積について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

平成２３年度の東京工大入試問題に，正方形Ｄをそれと共有点をもち，Ｄの辺とは平行ではない直線を軸として回転させたときの回転体の体積に関する問題が出されていた。ある入試問題詳解集では｢難問｣という扱いであった。　そこで，正方形でなくて正三角形ではどうなのか，辺に平行であるとすると難問ではなく東京工大受験生レベルでない生徒にも使えるのであろうか…というような思いがあり，表題のような問題を考えてみた。　結果的には，標準的な問題となったので多くの生徒にも考えて欲しいと思ったので，本稿で紹介したいと思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

球と直円柱において，球の直径と直円柱の軸が一致しているときその共通部分の立体は，直円柱の部分Ｐと底面が円で他は球面の一部である部分Ｑ(２つ)に分けられる。Ｑは底面の円板に平行に切るとその切り口は円板になる。　一方，球の半径が直円柱の底面の半径の２倍のとき，球の中心を通る平面に対して直円柱の底面が平行かつその側面が球の中心を通るようにして，直円柱の側面でその球を切り取るとき，その切り取った立体の切り口は中心と半径の異なる２つの円板の共通部分である。　では，切り口が円板あるいは中心と半径の異なる２つの円板の共通部分である立体の体積がどのようになるかについて考察してみることにする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ニューサポート高校「数学」vol．25（2016年春号）より。本シリーズ第7回です。今回は数学Ⅲにおける導関数についてと，上底面と下底面が平行でない角柱の体積について，それぞれの考察を深めます。

九州数学シンクタンクグループ

立体の体積は，切り口の面積がわかれば定積分で求めることができる。本稿では，正方形を底辺とし，辺の長さがすべて等しい正四角錐を，底面の正方形の対角線の交点を中心とし，直径が正方形の１辺の長さに等しい円を底面とする直円柱でくり抜いてできる残りの立体の体積を定積分で求めてみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

定積分の２つの問題を紹介している。２番目の問題は，その解法を読者に委ねている。プリント用のＰＤＦデータつき。

千葉県立千葉高等学校　榎本博人

体積を求める積分や，空間ベクトルの問題に出くわすと，私の頭の中に浮かんでいるイメージをどのように生徒に伝えるか難しく感じることがある。更に，それが動いているような変化を伴うイメージだとかなり厳しく感じる。私はコンピュータを利用した“腑に落ちる”授業の展開というテーマを持ち続けている。実験的に1997年ごろから，インターネットのWebサイトを利用して，動的イメージを公開し，授業の中でも利用している。本稿は、その紹介である。

鹿児島県立鹿児島中央高等学校　堂薗幸夫

拙稿「オイラーの定数を視覚的に捉える～面積の和として，線分の長さの和として～」では，オイラーの定数γの定義式に修正を加えて，曲線ｙ＝１／ｘと直線ｘ＝ｎ＋１，ｙ＝１／ｎで囲まれる図形の面積の無限和として考察できるようにした。そこで，γを「取り尽くし法」で計算すればどのようなことがわかるかについて考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

サイクロイドは数学Ⅲで，媒介変数で表示される関数の一つとして扱われる。サイクロイド (cycloid) は日本語では擺線(はいせん)と訳されていて，擺には振子の意味がある。また，サイクロイド (cycloid) はcycle + oidでlike a circleの意味を持つ。-oidは…のようなものという接尾辞である。Circleには「円」「周期」「循環」などの意味がある。さて，サイクロイドは媒介変数のままで曲線の方程式が表示され，媒介変数を介した微分や積分を行わせる格好の題材である。その媒介変数表示は x＝a(t-sint),y＝a(1-cost)(a>0)であるが，これをx＝at-sint,y＝a-cost(a>0) としたら，グラフはどのようになるのか，サイクロイドのように のときにそれと 軸で囲まれた図形の面積はどのようになるのかを中心にして考察してみたい。 ※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

一通り数学Ⅲまで履修が終わると受験問題の演習の時間となる。すべての授業が演習となると、生徒も大変なので，息抜きに少し数学の話をする。また，せっかく微積を学習したのだから，地球が太陽の周りを回っていることぐらいの確認をしてもよいし，このために，高校数学を勉強したといってもよいと思う。微分方程式を解かないといけないが，そう難しいものでもない。本稿では授業で生徒に配布したプリントに加筆したものである。

近畿大学附属高等学校　井上明

数学ⅡやⅢの積分の例題としてよく見られる「軸が直交している，同じ大きさの２つの円柱の共通部分の体積を求めと」という問題や，３つの円の共通部分の体積の問題について考察する。

慶應義塾高校教諭　新井田和人

教材研究を進めていると，生徒にいかに分かりやすく伝えるか，または，いかに印象に残すことができるか，更には，素材の理解をどれだけ深められるか，という教材のツボとも言うべきポイントによく出会う。しかし，実際の準備の時間不足やその時の仕事の過多を言い訳に，その理想を実現できないことが多い。今年度は，あまり過剰な準備をせずに，授業の中にスムーズに実験的な要素を取り込みたいと当初から考えており，自分の理想的な展開ができた教材をいくつか得ることができたので，写真や実際のプリントなどを提示しながら報告したい。

鹿児島県立鹿児島中央高等学校　堂薗幸夫

ニューサポート高校数学Vol.４（2005年9月）より。文系の積分から体積が消えて久しい。そのため，積分で体積を求める問題は理系に限られ，入試の中でも，問題数で見ればそれほどは多くはない。さらに，その問題の多くは回転体に関するもので，非回転体の体積の問題はかなり少ない。しかし，それはあくまでも出題しづらいせいであって，重要性が低いわけではないと考える。

開成高等学校教諭　井出健宏

ニューサポート高校「数学」vol.20　特集：集中連載　先輩，ここどげん教えると？Part 2（2013年秋号）より。座標空間の問題は，使える道具が少ないこともあり，定型のものを除くと難しいものが多い。

開成中学校・高等学校教諭　井手健宏

2012年1月に実施された北海道高等学校数学コンテストの第５問。

北数教高校部会代数解析研究会

2011年1月に実施された北海道高等学校数学コンテストの第４問。

北数教高校部会代数解析研究会