数学Ⅰの｢図形と計量｣では，三角比を用いて三角形の性質を考察する。そこで有効に働く定理としては，正弦定理や余弦定理がある。また，数学Ａの｢図形の性質｣でも三角形の性質を古典幾何学的に考察する。さらには，数学Ｂの｢ベクトル｣でも図形への応用として三角形の性質を考察する。それぞれの分野の有効な道具を使って三角形の性質を多角的に考察するわけである。　本稿では，三角形の外心を基点とし，三角形の頂点を終点とする３つのベクトルを考え，三角形のある性質について考察する。その性質とは，『３辺の長さの間にある関係があれば，三角形の外心と頂点を通る直線が別の頂点の角の二等分線と垂直になる。』というものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

正三角形の３辺のうちどの２辺も平行ではない。正四角形つまり正方形では２組の平行な辺がある。正五角形の５辺のうちどの２辺も平行ではない。正六角形では３組の平行な辺がある。これは図を描いてみればわかる。すると，一般に『ｎが３以上の奇数のとき，正ｎ角形のｎ辺のうちどの２辺も平行ではない。ｎが４以上の偶数のとき，n/２組の平行な辺がある。』といえるのではないかという推定ができる。では，それはどうしてか？と問われると即座には返答しづらい。　本稿では，このことについて考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ベクトル方程式の表す点の存在範囲を説明し，図示することを苦手とする生徒は少なくない。　本稿は，ベクトル方程式の表す点の存在範囲について，詳しくかつわかりやすいまとめとすることを狙いとした。

山口県立高森高等学校　西元教善

△OABが与えられたとき、sとtがある条件を満たすベクトル方程式について、点Pの存在範囲を答え図示する問題を苦手とする生徒は多いようである。そこで本稿では、点Pの存在範囲を公式としてまとめ、sとtの条件を図示しながら、生徒の理解力及び問題解決力向上をめざしたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

ベクトル方程式→OP=s→OA+t→OBを満たす点Pの存在範囲はsとtの満たす条件によって決まるが、本稿では、s2+t2=1を満たすときの点Pの存在範囲について考察してみたい。

山口県立徳山高等学校　西元教善

本稿では，分点の位置ベクトルの公式の図的な意味に拘って，単に公式の暗記とその機械的な適用に留まらない指導について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

ベクトルは数学Ｂで習う分野であり，重要な概念である。しかし，ベクトルの本質を知る生徒は多くはない。その中でも，分点におけるベクトル表示を丸暗記など，本当の意味を知っている人は多くはない。故に，今回，ベクトルの本質から入り，分点におけるベクトル表示について考察してみたいと思う。

大阪府東洋学園高等専修学校教諭　松岡世伍

拙稿『問題作りの背景～内心を選択させるマーク式問題～』では内心をマークさせる問題作成の舞台裏を紹介した。今回はベクトルの問題作成の舞台裏を紹介したい。今回取り上げた問題は2018年度センター試験数学ⅡBの第４問ベクトルの問題である。それは三角形の２辺のそれぞれの内分点とその辺の向かいの頂点を通る直線の交点を基点とする頂点の位置ベクトルに関する問題である。基点が動くということが新規であったので，このような設定に対処できる力をつける問題を作ってみようと思った。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

ベクトルの計算の題材として，正六角形がよく使われる。向かい合う辺が平行であったり，隣り合う辺のなす角が120°であったりという性質が，高校生にとって手頃であるからであろう。さて，正六角形 A1A2A3A4A5A6において，その外接円の中心をO,また→A1A2＝→a, →A1A6＝→b,として，→A1Oを →a, →bで表す問題がある。この場合，即座に →A1O＝ →a＋ →bであることがわかるが，別の正多角形の場合には，どのように表されるのであろうか。本稿では，n=5,8のときを中心にして考察したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

三角形の五心は三角形にとって重要な点であるが，それらの間にはどのような位置関係があるのかについては数学Ａでは触れられていない。羅列的に扱うのではなくそれらの間にある関係を見ることでこれらの点の意味も再認識される。本稿では，外心，重心，垂心の位置関係について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

数学Ａの「図形の性質」で，三角形の頂点の内角の二等分線と対辺の交点は対辺を残り２つの辺の比に内分するという「三角形の内角の二等分線と比の定理」を扱う。教科書では，補助線をうまく引くことで見事に証明できることを実感させるような証明方法が紹介されている。この証明にはいろいろある。たとえば，三角形の頂点の内角の二等分線で分けられる２つの三角形について，三角比(正弦)を使ってそれぞれの面積を求めておき，三角形の面積の比は高さが等しいときには底辺の長さの比に等しいことを利用するという証明がある。これには補助線は不要である。また，ベクトルを使って証明することもできる。本稿では，内角の二等分線と比の定理をベクトルで証明し，それを利用して角の二等分線の長さを求めたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

同じ方程式であっても，x,yで表した方程の表す図形と，ベクトル方程式の表す図形では，生徒にとってのわかりやすさは大きく異なる。x,yが現れるとxy平面のイメージはわくが，方向ベクトルはイメージがわきにくいようだ。私は，こうした生徒でも理解できる説明はないかと考え，「図形は点の集合であること」を使って説明すればどうかと思い至った。本稿では，その考察を行ってみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

整数問題の題材はさまざまな分野に存在している。本稿では、n(k2+kl+l2)(nは平方数でない自然数、k、lは自然数)が平方数になる場合について、ベクトルの内積に関連した整数問題について考察してみる。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

ベクトルの応用として，座標の代わりにベクトルの終点で点の位置を表す「位置ベクトル」という考え方があります。これに関しては，まず，「分点の位置ベクトル」を扱い，その後「図形のベクトル方程式」を扱います。ただ，残念なことにそれらの関連が明確ではないように感じられます。折角であるから，これらを相補的に活用すれば，理解が一層深まるのではないかと思います。というのも，２点を通る直線のベクトル方程式は，あるいはと表されますが，これは線分のベクトル方程式が，あるいはと表されることにつながり，さらにはの周および内部とか，線分を隣り合う２辺とする平行四辺形の周および内部とかにつながるからです。この括弧書きの意味がわかりづらい生徒は決して少なくないようです。なぜ，ならば直線を表し，ならが線分になるのかがしっくりこないのです。具体的ないくつかを図示すれば視覚的にわかるのに，それをしないままで理解しようとしてわからないということが多いのです。そこで，分点の位置ベクトルを相補的に扱えば，直線や線分のベクトル方程式の意味が生徒にとってわかりやすいのではないかと思い，指導の一助として考察してみました。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

中点，重心については，その結果が単純であり，しかも一種の美しさがある。つまり，線分の中点はど真ん中で，線分を１：１に内分する。三角形の重心は，平面上の三角形であろうが，空間内の三角形であろうが，３頂点の各座標の平均がその座標となるし，位置ベクトルであれば３頂点の位置ベクトルの平均が重心の位置ベクトルになる。また，三角形の重心は，各辺の中点と残りの頂点を結んだ中線を頂点の方から２：１に内分する点であり，四面体の重心は，各面の重心と残りの頂点を結んだ線分を頂点の方から３：１に内分する点である。このような数値に興味・関心を持つ生徒もいるだろう。そこで，そういった生徒の指導に役立つ考察を行ってみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ベクトル方程式で図形を表すとき，ベクトルの性質から，その方程式を一見してその描く図形が即座にイメージできる場合とそうでない場合がある。ベクトルの強みは｢平行｣と｢垂直｣を表現するのに適していることである。特に後者については，そうであると思う。しかし，内積の値が０以外であると直ぐには｢垂直｣とは結びつきにくい。このような場合，どのように解釈すれば適切なイメージが持てるかについて考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

直線の方程式で，ベクトル方程式は による方程式に比べてわかりにくい，馴染みにくいという印象を生徒はもっているようである。そこで，その考え方，表記法を徹底的に比較して，その溝を埋めようと思い，本稿を考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

直線の方程式･･･といってもその表現方法は２つある。x，yの方程式で表される直線と，ベクトル方程式で表される直線である｡生徒は，前者については中学校から親しみ，直線に関する数学的シェマが形成されているが，そこに後者が数学Ｂのベクトル分野で出現して，既有のシェマへの同化・調整が迫られる｡直線の，x，yによる方程式はわかっていながらもベクトルによる方程式になるとわからない，わかりづらい生徒は決して少なくはない。本稿は，なぜそうなのか，また，それらをうまく橋渡しする指導はないかと思い，考察したものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ベクトルを点の位置を表すものとして活用する位置ベクトルでは，一直線上にあることの証明やどのような点になっているか(何対何の内分点とか外分点)を扱う。題材が三角形の場合には，裏技として数学Ａで学習するチェバの定理やメネラウスの定理が使われることもある。そこで，それを逆手にとってチェバの定理やメネラウスの定理から位置ベクトルの問題を作って，指導に役立ててみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ａで三角形の五心である重心，外心，垂心，内心，傍心（ただし，傍心は参考扱いなので割愛する）を扱う。それぞれ３本の中線，(３辺の)垂直二等分線，(各頂点から対辺(またはその延長)に下ろした)垂線，(３つの内角の)二等分線が１点で交わることを定理として，その証明を扱うものである。それぞれ工夫した証明であり，興味を引かれる生徒もいるが，その証明に混乱する生徒も少なくない。数学Ⅱでは，解析幾何的に，数学Ｂではベクトル的に再度，垂心を扱っている。　数学Ａでは数学Ａとしての視点で，数学Ⅱ，Ｂでもそれぞれの視点で考察してあり，垂心についての定着がある。せっかくであるから，数学Ｂとしての視点で，ベクトルのよさを味わわせる指導ができればと思い，考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿『三角形の五心と位置ベクトル(2)』では，外心の位置ベクトルについて考察しましたので，本稿では，内心の位置ベクトルについて考察しました。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿『直線の方程式の指導について～x,yによる方程式とベクトル方程式～』では，x,yによる直線の方程式と直線のベクトル方程式の表現のギャップを埋める指導を考察しました。授業では，前回指導したことを確認しながら，次の内容に進むという形をとっていますが，その際に板書したことが生徒の理解の整理に役立ったと思われる，そのような事例を紹介します。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

基点Oと２点A(a→),B(b→)が与えられたとき，ベクトル方程式p→=sa→+tb→を満たす点P(p→)の描く図形は，a→，b→のスカラー倍である実数s,tの関係によって変化する。その関係というのは１次方程式と１次不等式であるが，これが２次方程式や２次不等式であったらどうなるのか，また絶対値が使われていたらどうなるのか，そんなことを考える生徒もいるだろう。そのような生徒のための指導の一助になれば幸いである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

２定点Ａ，Ｂからの距離の比が一定である点の軌跡をアポロニウスの円という。筆者は，このアポロニウスの円のベクトル方程式について考察する中で，非常に興味深い結果を得ることができた。本稿で詳しくご報告したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

先日，私が副担任をしているクラス(２年)の女子生徒が他のクラスの女子生徒を連れだって職員室にやって来た。このクラスでは数学Ⅱ(といっても既に数学Ⅲに入っているが)を教えている。数学Ⅲについての質問かと思いきや，数学 の教科書の例題について質問があるという。どうもベクトル方程式が，それもそれが表す図形というのが今一つ理解できないという。

山口県立岩国高等学校　西元教善

三角形の五心と言えば、平面図形領域の内容であり、唯一重心だけが、ベクトル領域でとりあげられているのが一般的であろう。しかし、重心以外の四心もベクトルで表示する授業ができないか、考察してみた。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

拙稿『三角形の五心と位置ベクトル⑴』では，数学Ａで三角形の五心のうちの重心，外心，垂心，内心について，数学Ａで扱うように，まず３本の中線，辺の垂直二等分線，頂点から対辺(その延長)への垂線，内角の二等分線が１点で交わることをベクトルで考察した。　重心Ｇの位置ベクトル は，三角形の３頂点Ａ,Ｂ,Ｃの位置ベクトル を使って，簡単できれいな形に表される。では，他の外心などはどう表されるのだろうかということに興味を持ったので考察を行ってみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

定期考査が近づくと、生徒は教科書傍用問題集の問題を解くことに躍起になる。しかし、切羽詰まった生徒は問題をノートに解くのではなく、即座に解答編を読むという行為に及ぶ。私たちの学生時代には解答編など配布されなかった。それはさておき、そんな中、ある女子生徒が解答編を片手に「なぜ＝１となるのか」と質問に来た。今回は、その質問をめぐって考えたことを述べたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

三角形という基本的な図形は，算数・数学の格好の思考対象である。それぞれ３つある頂点，辺，角(内角)について,発達段階に応じてさまざまな考察を行い，有益な結果が得られている。面積に限定すれば，基本的には小学校の算数で学習する「底辺×高さ÷２」というのがベースである。高校では，これをどのように発展・進化させているであろうか。三角形の面積という視点から，高校数学を考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

タイトルを見て，何だこれは？と思った諸氏も多いであろう。瓶(ビン)…ガラス製で中が見える，缶(カン)…ブリキ製で中が見えないということである。つまり，括弧で括り置き換えをしないで中が見える状態のままで計算するのが瓶詰法であり，括弧で括った部分を別文字に置き換えをして中が見えない状態にして計算するのが缶詰法である。このような方法は教科書の至る所に出現している。本稿では，瓶詰法と缶詰法という視点から高校数学を俯瞰し，特にベクトル方程式の指導に焦点を当ててみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

センター試験数学過去問題集。2009年度追試験（数学ⅡＢ) 第4問この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　TEN管理課