本稿は，すべての自然数mに対して，1m＋2m＋3m＋・・・・・・＋nmがn（n＋１）を因数にもつということを，進んだ生徒への二項定理，数学的帰納法の確認問題として考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ニューサポート高校「数学」vol．32（2019年秋号）より。年度の入試問題を見ていて，ずいぶん難しくなったという印象をもった。いわゆる「ゆとり」の時代より前の入試問題はかなり難しかったが，その頃に匹敵するように感じた。ところで，今年度はやけに漸化式がらみの出題が目についた。そこで，漸化式が与えられていて一般項を求めることが主題になっている問題を集めてみることにした。なお，文字数の関係で問題文の一部を省略したり書き換えたりしたものがある。また，漸化式等がn=1,2,3,･･･で成り立つ場合，その注釈を省略している。

開成中学・高等学校教諭　井手健宏

等差・等比数列の漸化式を隣接2項間の漸化式として表すのは容易であるが、隣接3項間の漸化式にするとどうなるだろうか。隣接2項間の漸化式で表されているものをわざわざ隣接3項間の漸化式にする必要は本来ないのだが、これにより等差数列・等比数列について別の見方ができるのではないかと考え、本稿で考察してみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

ニューサポート高校数学（2002年５月発行）より。さまざまな面で日本のトップの大学として名前があげられる東大ですが，数学の入試問題においても，他大学への影響などにおいてトップクラスといってよいでしょう。そんな意味もあって，毎年もっとも興味をもってながめる入試問題は東大のものです。今年もさっそく問題を入手しました。それにしても，入試当日の深夜には予備校のホームページなどで問題が入手できるのですから，世の中便利になったものです。

開成高等学校教諭　井出健宏

周知の通り，三平方の定理は直角三角形の３辺の間にある関係を表している。その関係は，斜辺の平方は直角を挟む２辺のそれぞれの平方の和に等しいということであるが，これは斜辺を１辺とする正方形の面積は，直角を挟む２辺のそれぞれを１辺とする正方形の面積の和に等しいという図形的な意味もある。これを３項間の漸化式と結びつけて考察したい。本稿では，三平方の定理の図形的な意味を意識して，３項間の漸化式S1＝a12, S2＝a22,Sn＋2＝Sn＋1＋Ｓnを満たす数列一般項｛Sn｝を求めてみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿「三平方の定理と３項間の漸化式～フィボナッチ数列の視覚化～」でフィボナッチ数列を三平方の定理の図形的な意味と関連づけて考察した。本稿では，フィボナッチ数列について生徒にもわかるような分析を試みながら， {an}の一般項を求める。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

本稿では、漸化式（隣接2項間の漸化式、隣接3項間の漸化式）で定められる数列の一般項の極限を、特性方程式及びそれらの平面的解釈・空間的解釈と関連させ、生徒の「極限」理解を深化させる説明を試みたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

数学的帰納法による不等式の証明にあたっては「A＜BかつB＜C⇒A＜C」という不等式の性質(推移律)を使う。本稿では，これが視覚的にどのような意味をもっているのかがわかりやすくなるよう、グラフを使った考察（グラフ的解釈）を行ってみる。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

本稿では，⑴　数列｛ｎ！｝を漸化式で表すこと，⑵　ｍを自然数とするとき， Lim n→∞１/ｎｎ√｛(ｍ＋１)ｎ｝!/（ｍｎ）！を求めることを通じて，ｎ！を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

数学Ｂの「数列」では等差数列，等比数列，Σ公式などを基にして，より複雑な漸化式で定められる数列の一般項を求める。ただ，このようなタイプの漸化式にはなぜこのような―たとえば，逆数をとったり冪で割ったりという―変形をするのかその理由がよくわからないという生徒がいる。要は，これまでの一般項が求められた既知の形に持ち込むための変形であるが，これが多様すぎて混乱するようである。本稿では，等比数列の漸化式から導かれる様々な漸化式を中心にして考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校　西元教善

少し発展的な内容を扱う参考書や問題集では教科書にのっている以外の数学的帰納法が扱ってある。その方法に接したとき，少なからず戸惑うようである。習った数学的帰納法と全然違うという印象をもつからである。しかし，フィボナッチ数列のような３項間の漸化式を扱っていれば，なるほどと思うはずである。それは漸化式と数学的帰納法に｢同型｣構造を見出すからである。漸化式で数列が帰納的に定義されることと数学的帰納法で自然数についての命題がすべての自然数で成り立つことが証明できることは同じことであることを見抜けば相互の理解が深まるであろう。本稿では，３項間の漸化式とそれと同型である数学的帰納法についてその関連を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校　西元教善

数学的帰納法を用いて証明をさせる問題の中に，４2n－1＋３n＋1 がすべての自然数ｎに対して の倍数であることのように，２つの自然数 a, bを底とするそれぞれ自然数 nの１次式（pn＋ｑ，rn＋s）乗の和 aｐn＋q＋ｂrn＋sがｎ＝１のときの値ap＋q＋ｂｒ＋ｓの倍数であることを証明させる問題がある。つまり，an＝apn＋q＋ｂrn＋sとするとき，すべての自然数nに対してa1｜anであることを示すものである。N＝１のとき，an＝４2n-1＋３n＋1 に対してa1＝42・１-１＋３１＋１＝４＋９＝１３であるから，これを一般化して《an＝apn＋q＋ｂrn＋s（a，b，p，qは自然数，q，sは整数）がすべての自然数ｎに対してa1＝ap＋q＋ｂｒ＋ｓの倍数（すなわちa1｜an）である》ための条件を考えてみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

東京書籍「ニューアクションβ数学Ⅱ+B」(2012年発行)で，an＋1＝pan＋qbn，bn＋1＝qan＋pbn(p，qは0でない定数)という関係がある2つの数列｛an｝,{bn}の一般項の求め方が紹介されている。これは、和と差の数列{an＋bn}，{an－bn}が，それぞれ公比がp＋q，p－qである等比数列になることを利用して解くものである。係数がこのようにうまく設定されていればそのような解き方もできるが，一般に，an＋1＝ran＋sbn，bn＋1＝tan＋ubnの場合にはどうなるのであろうか。本稿では，等比数列への変形を軸として，連立漸化式の一般項について考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

不等式の証明には，“この方法で証明するのが一般的である”というような通念がある。「そうするのが当然」というような「思い込み」である。生徒が別のやり方で証明しようとすると「その証明はそのような方針ではなくこのようにするのだ。」とストップをかけ，生徒の成長の芽を摘んでしまってはいないだろうか。本稿では，不等式の証明がうまくできず質問に来た生徒と，数学的帰納法で証明した生徒の話をご紹介したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

本稿は，東京書籍『数学Ｂ Advanced』（令和５年度発行）で発展として扱ってある「３項間の漸化式」をさらに発展させた「４項間の漸化式」の一般項の求め方について，３次方程式の解と係数の関係を意識させ，等比数列に還元して求めるという求め方の基本を理解させる一考察である。

山口県立徳山高等学校　西元教善

学習指導要領に従えば，数学Ｂで扱う｢漸化式｣は｢隣接２項間の漸化式｣までになるが，大学入試では｢隣接３項間の漸化式｣が当然のように出題されている。隣接２項間・３項間の漸化式は，特性方程式の解を利用して，一般項が求められる。このようなことを授業で説明すると，４項間の場合も特性方程式の解を利用して求められるのではないかという声が生徒から出てくる。本稿はその声に答えるべく，考察を試みたものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

漸化式の中には分数形のタイプがある。この一般項anを求めるには，特性方程式の解を利用するのが一般的であろうが，係数行列，つまり漸化式の右辺の定数を正方形状の位置のままに配置することで作られる行列の固有方程式の解を利用することも考えられる。特性方程式も固有方程式も教育課程外の内容ではあるが，実際，入試問題では暗黙の了解を得た内容のように思われる。その際には，誘導的なステップを設けることで，問題が生じないように配慮がしてある。本稿では，特性方程式と固有方程式が重解をもつ場合について，その一般項を求めてみたい。また，これらの関係についても言及したいと思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿『分数形の線化式についての一考察⑴～特性方程式，固有方程式，判別式を中心にして～』では，特性方程式と固有方程式が重解をもつ場合について，その一般項を求めた。ただし，それは特性方程式の重解αが主役であり，固有ベクトルには言及していない。そこで，本稿では固有値，固有ベクトルを中心にして展開してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

A2＋an－1b＋an－2b2＋……＋abn－1＋bnを求める時どのようにするであろうか。もちろん、変形して等比数列の和の公式を使って構わないのであるが、この和について別の視点で，つまり，ある漸化式の一般項として和を求めることを考えてみたい。また，このことから等比数列の和について，公比をかけて差をとって１－(公比)で割るという方法以外の求め方を考えてみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

この漸化式探究では，一見すると別物に見えるいろいろな漸化式をうまく変形して，既知の漸化式に帰着させて一般項を求められるようになることをねらいとする。「漸化式の基本パターン｣を8個に集約したので，それぞれのタイプについて説明し，その後個別探究問題と判別探究問題に取り組む。プレゼンテーション用のパワーポイントデータも掲載する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

生徒にとって，数列とりわけ漸化式はわかりにくい内容のようである。数学のわかり方には，問題を解く過程の中で後からわかる（パッとわかる，じわじわわかる）というわかり方もあるが，導入時にじっくり，しっかりとその本質を指導する必要がある。「ざっと定義を済ませ，後は問題を解きましょう。そうすればわかるようになりますから……」といった授業ではなく，具体例を挙げてその数学的概念を把握させ，その後に解き方を説明すべきである。何事も最初が肝心，授業は導入が肝心である。本稿では漸化式の導入について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

先日，生徒から次のような質問を受けた。「分数型の漸化式a1＝1, an+1＝(an－2)/(an＋4)……①の特性方程式はx＝(x－2)/(x＋4)つまりx2＋3x＋2=0であり，その解はx＝－２, －１です。解答例によると，この解のうちの1つだけを使って解いてあります。３項間の漸化式a1＝1,an+2＋3an+1＋2an……②の特性方程式は①のそれと同じですが，こちらはその解を２つとも使って解いています。どうして分数型の漸化式の方は特性方程式の解の１つだけで解いてよいのでしょうか。」　そこで，生徒に説明したことを中心にまとめてみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

自然数ｎの階乗n !はその記号!が示すようにびっくりするほど大きくなる。一般にn!≦ｎnである。両辺ともn個の正の数(文字)の積であるが，左辺のk番目≦右辺のk番目であるから当然と言えばそれまでである。では，左辺のk番目≦右辺のk番目とは限らないn個の正の数(文字)の積として，左辺のk番目＝2k－１　あるいは　2kの場合，これらのk＝１からｋ＝ｎまでの積とｎnの大小関係はどうであるのかについては生徒の興味・関心を引くのではなかろうか。　本稿ではこのことについて考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

３項間の漸化式の一般項は，２次の正方行列を用いると，求めることができる。本稿では，２次の正方行列が異なる２つの固有値をもつとき，漸化式の一般項aｎをｋ１ｋ２で表すことを考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数列の問題の中に，隣接３項間の漸化式が与えられたとき，その一般項を求めるものがある。　では，項を実数から２次の正方行列に替えた漸化式A１＝A，A２＝B，Aｎ＋２＋PAｎ＋１＋QAｎ＝０のとき，Aｎはどのように表されるのであろうか。また， A，B，P，Qの成分を与えたときに，Aｎ の各成分はどのように表されるのであろうか。本稿では，扱いやすい設定の下でAｎ を求めてみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ニューアクションω数学Ⅱ＋Ｂには，分数型漸化式（例題２０９～２１１）と連立漸化式（例題２１５）が扱われている。本稿では，連立漸化式と分数型漸化式の一般項を係数から作られる行列（係数行列）の固有方程式の解を通じて，考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ｃで行列のｎ乗を扱う。そこでは行列のｎ乗を求めることが目的になっているが，行列のｎ乗を求めることによってどのような活用ができるかまでは言及していない。たとえば，係数行列として行列，特に逆行列などを利用することで簡潔な表現や計算ができて，２元連立１次方程式や１次変換を扱うときにそのよさが発揮される。また，隣接３項間の漸化式を係数行列で表してそのｎ乗を求め，それを利用すれば３項間の漸化式の一般項が求められる。この発想を生徒に教えてみることで行列のｎ乗を求めることの意義やその応用の一端をわからせることができるのではないかと思い，実践をしてみた。本稿は，その実践報告である。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

列や証明は生徒の苦手とする分野の一つである。しかも数学的帰納法を使う証明，それも不等式に関わるものやｎ＝ｋ，ｋ＋１の成立を仮定するものであればなおさらである。本稿ではｎ＝ｋ，ｋ＋１あるいはｎ＝ｋ，ｋ＋１，ｋ＋２の成立を仮定する数学的帰納法について，漸化式や２(あるいは３)数を解とする２(あるいは３)次方程式などから考察するものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数列のまとめとして，あるいは入試を見据えて｢研究｣とか｢発展｣といった形で節末，あるいは章末に書かれている内容は，模試や本番の大学入試で出題される可能性の高い内容である。そのような研究や発展の中に，「漸化式の利用」というのがある。教科書や教科書傍用問題集でも取り上げられることが少なくなった気配があるが，数列において重要であることは間違いない。本稿では，タイトルにもあるように，円板と球面のそれぞれをn本の直線で分割したときの部分の個数an，bn を漸化式として表し，その式をnで表すことを，生徒にもわかるようにして求めることを目的にする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

本来の証明とはそうではないが，高校数学での証明，いわゆる証明問題は，結果のわかっていることを論理・数学的に検証する作業ともいえる。nに関する命題Ｐに対して，(Ⅰ)n＝１のとき成立，(Ⅱ)n＝kのときＰが成立すると仮定すると, n＝k＋１のときにもＰが成立することを示すと，初項と隣接２項間の漸化式が与えられたとき，その数列が１つに決定されるのと同じく，すべての自然数nについて，命題Ｐが成立するわけである。数学的帰納法での証明は(Ⅱ)がポイントであるが，これになかなか対処できない生徒が少なくない。慣れればできるようになるというのも事実であるが，導入部分でできるだけ理解させ，見切り発車をしない授業に心掛けたい。そのための指導について考察したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

漸化式という考え方に馴染めない生徒にとっては，その一般項を求める方法はわかりづらいようである。教科書では，隣接３項間の漸化式は発展的な取扱いになってはいるが，問題集や参考書ではよく取り扱ってある。隣接３項間の漸化式をなぜ変形する必要があるのか，その意図がわかりづらいようである。な中には，まったくの予備知識をもたないまま，一般項を求めようとして｢わからない｣から質問に来る生徒もいる。式を変形する意図をわかりやすく，明確に指導する必要があると思い，考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

集合の要素や要素の個数について３つまでの集合を扱い，とくに後者においてはベン図的な説明が行われることが多い。確かに，離散的な要素からなる有限集合が３つまでであれば，ベン図でうまくいく。では，４つ以上になるとどうであろうか。本稿では，４つ以上の集合のベン図について，漸化式，数学的帰納法を絡めて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

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数列｛ａn｝の一般項ａnをある数で割ったときの余りを考えるとき，合同式やｐ進法を使って考えた方がわかりやすい場合がある。本稿では，そのような例について入試問題を題材にして考察する。「整数の性質」で，合同式やｐ進法を扱う機会があるので，それを数列と関連付けて考察するとどのような展開になるか，それを考察するものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

an+1＝pan/q＋ran2(Pqr≠０）の形の中で，正接の２倍角や３倍角の公式における分数式と同型のものを考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

教科書で扱われないパターンの 問題が出題される「漸化式と数学的帰 納法」の分野は，いきなり入試問題に取り組ませても， スムーズに解ける生徒はほとんどいません。そのため， 多くの先生方が，この分野を重点的に復習する必要性を 感じているようです。本稿では，弱点になりがちな「漸 化式と数学的帰納法」を得意分野にするための演習方法 について，ご提案いたします。

東京書籍（株）数学編集部

ａ１＝１，ａｎ＋１＝４an＋３で定義される数列｛an｝の一般項は，an＝２２ｎ-１-１これを３で割ったときの余りを考えると１余ることがわかる。しかし，一般項を求めなくても整数の性質から，求めることもできる。帰納的に定義された数列について，その一般項を求めないで，それを２以上のある自然数で割ったときの余りについて合同式を利用して求めてみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

本稿では，４数a,b,x,yについてのコーシー・シュワルツの不等式を用いて，６数a,b,c,x,y,zについてのコーシー・シュワルツの不等式を証明すること，さらにはその発想を数学的帰納法での n＝kから n＝k＋1を導く過程に使い，２以上のすべての自然数ｎに対して，２つの数列{ａn},{ｘn}それぞれの項の平方の和の積が，それぞれの数列の同じ番号の項の積の和の平方以上あることなどの証明について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら　https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/detail/40776

山口県立光高等学校　西元教善

数学Ａで扱う場合の数の「順列」･「組合せ」は，前者が順番まで拘るのに対して，後者はメンバーが何であるかが問題となる。本稿では，３文字 ａ,ｂ,ｃをｎ個並べるときの重複順列の個数ａnを数列の一般項とみなすとき，数列{ａn}の漸化式が，条件を変更することでどのように変化し，それに伴って一般項もどのように変わるかについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

高校数学ニューサポートVol.1(創刊号）2004年4月発行「特集：学力低下を考える」より。ここ数年来，いろいろなところで「学生の学力低下」，「学力の崩壊」，「数学力の低下」，「理数科離れ」という言葉をよく聞いたり，また紙面で目にしたりする。それを裏付けるような結果が，文科省より，平成16年１月23日に，全国の高校３年生10万人が行った学力テストの結果として，公表された。それによると，数学Ⅰ（と理科）においては，文科省が期待した正答率を大幅に下回ったという（正答率を上回ったのは，30問中１問のみであったという）。この結果については，様々な見方やご意見もあろうかと思うが，ただ，以前から心配されていた数学教育，もっと広くは，理数教育において，深刻な状況になっているのは間違いない。

東京都立青山高等学校教諭　飴田孝儀

二項定理(a＋ｂ)n＝nC0an＋nC１an－１b＋nC2an－2b2＋……＋nCnnbn……（*）の１つの応用として (＊)においてa＝ｂ＝１とすることで，次の等式を得る。nC0＋nC1＋nC2＋……＋nCn＝２n(※)テストで「等式(※)を証明せよ。」という問題を出すと，不勉強な生徒は右辺の２nを導こうとする。　　　　　　　　　　　　では，(※)は必ず二項定理(＊)を使わなければ証明ができないのかといえばそうではない。単に，二項定理(＊)を使えば簡単に導けるというだけである。　本稿では，二項定理(＊)を使わないで等式(※)を導くことを考えてみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

東京大学前期（文理）第３問の確率の問題を授業で扱ったところ，数学同好会の一人の生徒がそれを一般化したものをメモにしてもってきたので，それを整理し、誘導設問を付した問題にして授業で取り上げました。メモを提出した生徒は漸化式を繰り返し代入する計算によっていましたが，特殊解による解法をどこかで教えようと思っていたところなので，ちょうどよい例となっていたこともありいい教材になったと思っています。また，一般化自体が問題の本質をよく見抜いているので是非紹介したいと思います。

奈良県東大寺学園高等学校　本庄隆

生徒の数学力の向上をめざし，次期教育課程では，数学Ⅰ・Ａでは「課題学習」が導入されるが，限られた時間数の中で実践するのであるから効果的な題材を選定しなければならない。個人的に実践してみたいことの中に，１つの問題を多面的に考察する，つまり，複数の別解(別証)を考察させることがある。

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

余弦の２倍角の公式 cos2α=2cos2α-1において， α=2n-1θ（n=1,2,3,…）とすると，cos2･2n-1θ=2cos22n-1θ-1 　つまり　cos2nθ=2cos22n-1θ-1です。ここで，ａn=cos2n-1θ とおくと，ａn+1=2ａn2-1という隣接２項間の漸化式を得ます。数列の極限で，たとえばａ1=3,ａn+1=1/2ａn+3(n=1,2,3,…) で定められる数列 {ａn} の極限値 limａn[n→∞]のグラフ上の意味として，xy平面上に２直線 y=1/2x+1,y=x をかき，点(ａ1,0)から始めて y=1/2x+1 上の点（ａ1,ａ2） →直線 y=x 上の点（ａ2,ａ2）→ y=1/2x+1 上の点（ａ2,ａ3）→ ……とジグザグに進み， ｎが大きくなるにつれて点（ａn,ａn）が２直線の交点(6,6)に近づいていくことから，数列 {ａn} の極限値が６であるという説明があります。余弦の２倍角の公式から作った漸化式ａ1=cosθ,ａn+1=2ａn2-1について，放物線y=2x2-1と直線y=xを使って，角θが２倍になるとき余弦の値はどのように変化するのかを考察しました。

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

「解法は１通りではない」－数学の別解づくりを考えよう－稲永善数―平成15年4月作成より。黄金分割で有名な値について，代数的，解析的な方法で求めてみよう。

稲永善数

数列の問題について、生徒が自分で問題を作成し、１つの題材でいくつかの要素、特に漸化式と数列との基本がつながるような演習を考え実施した。その結果、漸化式は同じ数列で表し方の違いであり、楽に漸化式を作ることができるということを生徒は実感したようだと結んでいる。

東京女学館教諭　矢ヶ崎二郎

授業において、興味づけや思考の補助の一つとして、数学的な話題を紹介している。東京書籍の教科書には、「各章の初めに数学者の偉業の紹介」「章末コラム」として、写真や肖像画入りで紹介されているので、東京書籍の教科書使用の際は利用している。数学史を取り入れた授業を展開するのではなく、数学的雑談としてワンポイント的に行っているが、興味関心をもちインターネット等で自発的に調べてくる生徒もいる。よく御存じの先生方も多いと思うが、題材のいくつか紹介したい。

山口県立西京高等学校　池本政道

本稿では，「理解を軸にして，興味・関心を惹く発見学習」の実践例を紹介している。生徒の数学理解観の調査やスーパーサイエンスハイスクールでの実践，中学3年生を対象とした出前授業での実践など，多様な実践例が生徒へのアンケート調査の結果やその考察とともに詳述されている。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

ニューサポート高校数学Vol.6(2006年秋号）より。数学的帰納法は，ご存知の通り，任意の自然数に対して成り立つ命題を証明するときにたいへん有効な証明法であり，大学入試においても毎年いずれかの大学で出題されている。数学的帰納法を用いて証明する問題で，ここのところ少し気にしていたタイプのものを，今年度2つの大学で見かけた。

開成高等学校教諭　井出健宏

３時間半の中で１題40点の設問を合計5題解く(200点満点)という形式になっている北海道高等学校数学コンテストの問題の中の１つ。

北海道算数数学教育会高校部会代数解析研究会

2012年1月に実施された北海道高等学校数学コンテストの第４問。

北数教高校部会代数解析研究会