「解法は１通りではない」－数学の別解づくりを考えよう－稲永善数―平成15年4月作成より。加法定理を示すのに教科書では，単位円上の点の座標からその関係を求めたり，面積が等しいことから示すことが多い。数学Ⅰでは「三角比」の章で余弦定理，数学Ⅱでは「三角関数」の章で加法定理を与えている。しかし，2 つの定理の関連については述べられていない。そこで，加法定理を正弦定理や余弦定理を用いて証明してみよう。

稲永善数

中学３年生が考えた三角比を用いた加法定理の証明で，教科書や問題集に出ていないものを紹介し，柔軟な頭がないとなかなか思いつかない証明だと結んでいる。

浦和明の星女子中学・高等学校教諭　清宮宏

本稿では、m＞n、-π＜x≦πのとき、三角方程式sinmx=sinnxとcosmx=cosnxについて、それぞれの解の和をグラフの対称性に着目して考察してみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

三角関数の加法定理の証明について以前は図形的な証明も行われていたようであるが，最近では見かけなくなった。単位円上の２点A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)をそれぞれ原点のまわりに－βだけ回転させた点C(cos(α－β)，sin(α－β))，D(１，０)に対して，２点間の距離の公式で求めたAB，CDが等しいことで証明する方法の良い点は，角が一般角であっても通用することである。その点，図形を使った証明ではあらゆる場合に通用するとは限らないことが欠点であるが，三角形の面積が等しいとか線分の長さが等しいとかという馴染みのある点が生徒にとっては納得しやすいのである。　本稿では，正弦の加法定理については三角形の面積，余弦の加法定理については線分の長さという観点からの考察でその証明を行ってみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

－1≦ｘ≦1，－1≦y≦1のとき －2≦ｘ＋y≦2　であることから，つまり２つの変数の和はそれぞれの最小値の和以上最大値の和以下であることと同様に考えて－1≦cosθ≦1，－1≦sinθ≦1より－2≦cosθ＋sinθ≦2であると結論付けて何も疑問を抱かない生徒がいる。そんなθは存在しない。あれば１2＋１2＝2となってcos2θ＋sin2θ＝１に反する。つまりcosθ＋sinθ＝2となることはないのである。本稿ではこのようなことを踏まえ，原点 と曲線ｘ＝cosαθ，Y＝sinαθ（0≦θ＜π/2, α＞0）上の点Pの距離OPのとり得る値の範囲について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

三角関数の加法定理は，下位層の生徒にとってその証明の理解が困難なことが多く，定理の定着もかんばしくない。下位層の生徒に対しては，暗記して使えるようになればそれで十分という教員もいるが，生徒にとって，理解の手がかりさえないものを丸暗記するのは大変である。本稿では，下位層の生徒が三角関数の加法定理の証明を少しでも理解し，そこで得られた断片的知識でもよいからそれらをもとに記憶し，使えるようになることを期待した指導を考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/detail/40776/

山口県立光高等学校　西元教善

三角関数の合成，つまり，２種類の三角関数sinθ，cosθの定数倍の和が１種類の三角関数sinθで表せるということ，すなわちasinθ＋bcosθをrsin(θ+α)の形に変形できるという公式であるが，この公式の証明を教科書通りに展開したところ，後からなぜをaをx座標に、bをy座標とするのか，逆ではいけないのかという質問を生徒から受けた。asinθ＋bcosθにおけるsinθ，cosθの各係数a，bをそれぞれx座標，y座標とする点を考えることばかりが強く印象に残り，その後の議論との関係がよく理解できていないと感じ，説明の方法に修正を加えた。そのようすを報告したいと思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

三角関数の加法定理の証明では、図形的な立場で証明するほうがよい場合があるので、図形を用いた正弦、余弦、正接の証明方法を紹介している。

東京都立駒場高等学校教諭　渡部毅

数学Ⅰの図形と計量で三角比を扱うが，その中に｢正弦定理｣がある。これを使えば，△ＡＢＣにおいて，∠Ａ＝Ａ，∠Ｂ＝Ｂ，∠Ｃ＝Ｃ，ＢＣ＝a,ＣＡ＝b，ＡＢ＝cとするときa:b:c＝sinA:sinB:sinCである。しかしa:b:c＝Ａ：Ｂ：Ｃ と思っている生徒も少なくない。a＜b＜c⇔sinA＜sinB＜sinC　⇔Ａ＜Ｂ＜Ｃであるがa/A，b/B, c/Cの大小関係はどうなのであろうか。このようなことを考察させてみると面白いのではないかと思い，考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

三角関数にはさまざまな性質があり，記憶しておかなければならない公式が目白押しであるが，数学Ⅱの三角関数では，数学Ⅰの三角比で扱った「三角比の相互関係」が「三角関数の相互関係」として再出するので相互関係の定着にとってよいことである。本稿は，「三角関数の加法定理」の有用性を認識させる機会の一つとして，それ以前に扱う「三角関数の性質」を再指導し，両方の定着をねらうものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

本稿では，鋭角α，βに対してcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβであること，α＞βである鋭角α，βに対してsin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβであることを正弦定理と余弦定理を用いて証明する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅰの図形と計量で三角比を扱う｡その中で，重要な定理として｢正弦定理｣と｢余弦定理｣があるが，生徒にはこの２つの定理はどのように映っているのであろうか。それぞれ適用する場面が決まっていて，補完しながら問題解決に利用するいわばそれぞれ独立した定理のように思っているのかもしれない。そこで，本稿では正弦定理a/sinA＝b/sinB＝c/sinC ＝２Ｒ（Ｒは△ＡＢＣの外接円の半径）におけるa/sinA＝b/sinB＝c/sinC ，つまり『＝２Ｒ（Ｒは△ＡＢＣの外接円の半径）』を除いた部分が余弦定理と同値であることを示してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

本稿では、円弧と円の面積を微分と積分を用いて証明してみたいと思う。

大阪府東洋学園高等専修学校教諭　松岡世伍

定理の証明を理解させるのは難しいことである。ここでは，４つの定理についてそれを理解させるための工夫の一案を紹介している。

開成高等学校　木部陽一

パスカルの三角形を見て気づくことや数列の和との関連、三角形n倍角の公式との関連について触れ、この題材は数学の不思議さや面白さを楽しめ、発展して探究することができる題材であると述べている。

東京学芸大学附属高等学校教諭　大谷晋

「高校数学ニューサポートVol.２　2004年秋発行」より。チェビシェフの多項式を背景とした問題例をいくつか紹介する。

開成高等学校教諭　井出健宏