数学Ⅱの方程式の｢剰余の定理｣では，整式Ｐ(ｘ)を，２つの１次式ｘ－α，ｘ－β(α≠β)で割ったときの余りをそれぞれａ, ｂとするとき，その２つの１次式の積(ｘ－α)(ｘ－β)で割ったときの余りを求める問題を扱います。１次式の積は２次式で，それで割ったときの余りは１次以下の整式であることから，それをｃｘ＋ｄとおき，また商をＱ(x)とおくと，Ｐ(ｘ)= (ｘ－α)(ｘ－β)Ｑ(ｘ)+ｃｘ＋ｄと表せます。また，剰余の定理によりＰ(α)＝ａ,Ｐ(β)＝ｂであることから，ｃ,ｄについての連立方程式ｃα＋ｄ＝ａ,ｃβ+ｄ＝ｂを得て，これをｃ,ｄについて解くことで余りが求められます。　教科書の例題ではこのようなことが扱われているので，整式Ｐ(ｘ)をｘ－α,(ｘ－β)2(α≠β)で割ったときの余りがそれぞれａ,ｂｘ＋ｃであるとき，Ｐ(ｘ)を(ｘ－α)(ｘ－β)2で割った余りを求めるときにも，余りが２次以下の整式になることからｐｘ2＋ｑｘ＋ｒとおいて求めようとするのは極めて当然の流れですが，それではｐ,ｑ, ｒの値は定まりません。本稿では，一般に整式Ｐ(ｘ)をｘ－α,(ｘ－β)n(α≠β,ｎは自然数)で割ったときの余りが与えられているとき，Ｐ(ｘ)を(ｘ－α)(ｘ－β)nで割ったときの余りを求めることを生徒にわかりやすく指導することを考察しました。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学IIで因数定理を学習すると3次多項式を有理数の範囲で因数分解することができるようになり, 3次方程式の有理数解を求めることができるようになります. 3次方程式の解の公式が, どれくらい複雑な式であるかを話してあげ, 次元が上がると難易度が変化することを知り, 奥深い数学に触れる機会にしたいと思っています.

近畿大学附属高等学校・中学校　林敦洋

数学Ⅰではたすき掛けによる２次式の因数分解を扱い，数学Ⅱでは因数定理と組立除法による３次式の因数分解を扱う。中学校での２次式の因数分解は２次の係数が１であるモニックの因数分解で，これは足して１次の係数，掛けて定数項になる２数を見つけることでできる。モニックではない２次式の因数分解の場合はたすき掛けや２次方程式の解を用いて因数分解する。数学が苦手な生徒の中には，中学校では２次式(モニック)を「足して１次の係数，かけて定数項になる２数を見つける」ことで因数分解し，高校では数学Ⅰでモニック以外の２次式は「たすき掛け」で因数分解することがようやくできるようになったかと思えば，因数定理から因数を見つけるという方法になり，戸惑うことがある。いつまでも同様な方法では限度があり，それを打破する画期的な方法を理解して使えるようにならなければならないが，そこに至れない生徒もいる。そこで，これまでの方法を踏襲する方法を補助的に扱わせてみればどうであろうかという思いが湧いてきて考察を行い，「たすき掛け」ならぬ「三角掛け」という３次式(モニック)を因数分解する方法を考案したので紹介したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

３次式の因数分解は，３次式の因数分解の公式が使える場合にはそれを使い，一般には因数定理で１次の因数を見つけ，それで３次式を割って(組立除法を使えば簡単にできる)残りの２次の因数を求め，さらに整数の範囲で因数分解できるときはそれを因数分解してそれらの積の形で求めるというものである。２次式の因数分解は整数の範囲で因数分解できるものであれば「たすき掛けの方法」で因数分解するが，３次式の因数分解の場合もこれに似た方法で，つまりたすき掛けの拡張で因数分解できないだろうか。本稿では，たすき掛けの拡張で３次式の因数分解を考察したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

数学Ⅱで「剰余の定理」を扱う。その応用として，ある整式 P（x）を異なる２つの１次式 x－α，x－βで割ったときの余りが与えられているとき，２次式（x－α）（x－β）で割ったときの余りを求める問題がある。しかし，そこで得られた余りについてその意味を考えさせることはなく，求められたらそれでよいということであるが，一体どのような意味を持つのかについて考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

高次式として数学IIで３次式（a±ｂ)3=a3±３a2b＋３aｂ2±b3と，（a±b)(a2∓ab＋ｂ2)＝a3±ｂ3が中心の指導で良いのだろうか。そこに、二項定理が突然現れる、現在の指導要領の順番には違和感を感じている。もっと生徒の目線に立った指導をすることで、最近の生徒の計算力の無さを伸ばし、式の計算の面白さを感じてもらえるのではないか、逆に言えば教科書の取り上げ方のワンパターンなのに原因が有るのではないかとの疑問からいくつかの問題点を取り上げた。

埼玉県豊岡高等学校　五十嵐英男

「よくわかる！　小・中・高　算数・数学のつながり」（2013年10月発行）より。教科書から抜粋した紙面を通して「どの学年で」「どんな内容を」「どのように学んでいるか」が概観できるようになっております。学習内容のつながりや扱いなどの概要の説明，学習段階・学習内容の一覧，学習内容に関する教科書紙面，学習内容に関する留意点（児童，生徒の実態，取り扱い上の配慮）などで構成。

東京書籍（株）　算数・数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。(1)報われなかったアーベル，(2)，(3)ガロアは天才か狂人か，(4)動乱の中でコーシーは，(5)いじけたタルタニア，(6)やくざな生活，4次方程式のフェルラリ。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。必要な部分を利用していただければと思います。

稲永善数

「高等学校数学実践事例集」より。(1) 剰余の定理，因数定理，(2) 因数定理から因数分解，(3) 解の公式，(4) 倍数と約数，(6)最大公約数，最小公倍数。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

稲永善数

「高等学校数学実践事例集」より。 因数分解の方法 ・因数分解のその他の方法。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

稲永善数

「高等学校数学実践事例集」より。(1) 導入・定義，(2) 解の公式，(3) 3 次方程式の解の公式，(4) 判別式，(5)，(6) 解と係数の関係，(7) 2 次方程式と因数分解，(8) 百年前の解の公式，(9) 記号は誰がいつ頃から。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。必要な部分を利用していただければと思います。

稲永善数

「高等学校数学実践事例集」より。(1) 多項式の既約性，(2) 共通因数の見つけ方，(3) 互除法から判別式，(4) 判別式。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

稲永善数