数学Ⅱ｢不等式の表す領域｣では、２つの変数x、yの不等式について「p⇒q」の証明、つまり命題「p⇒q」が真であることを平面上の領域図示で示すが、不等式の証明は必ずしも領域図示を行わなければならないわけではない。本稿では、領域を図示せず式変形のみで証明する方法について考察する。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

「線形計画法」の問題はax+by=kとおき、直線と領域Dが共有点をもつようなkの最大値、最小値とx、yの値を求めればよいが、生徒は本当に理解して解いているのだろうか。本稿では、線形計画法の表現を変えて（あるいは補足説明をして）、少しでも生徒にその真意がわかるようにしてみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

ニューサポート高校「数学」vol．32（2019年秋号）より。学IIIで，サイクロイドを教えるとき，円上の定点Pが描く軌跡で説明することは多くの先生が実践されていることかと思います。私も，実際に教室にある丸い時計を教卓の上で転がして見せたり，コンピュータでグラフ化したものを見せたりして説明します。しかし，図形が苦手な生徒の一部は，なかなか定点Pの軌跡を想像できなくて苦労しているようです。

札幌北陵高等学校教諭　吉田直哉

軌跡を求める問題は，与えられた条件を満たす点全体がどのような図形になるかを問う。また，与えられた条件を満たす点がP（Ｘ，Ｙ）と表されるときは、ＸとＹの方程式を求めさせ，それがどのような図形になるかを問う。与えられた条件を満たす点の集合と軌跡が一致しなければならない。生徒は何らかの結果が得られたとき，それに満足して吟味をすることを忘れがちである。また，それまでに，逆が明らかであるような問題ばかりしていると逆の確認やその意義を忘れがちである。なぜ逆を確認しなければならないかを理解させるためには「除外点」がある問題をしっかり考えさせればよいと思う。本稿では，除外点がある軌跡の問題を中心にして，軌跡と必要条件・十分条件の関わりをクローズアップする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校　西元教善

２定点Ａ，Ｂからの距離の比が一定である点の軌跡をアポロニウスの円という。筆者は，このアポロニウスの円のベクトル方程式について考察する中で，非常に興味深い結果を得ることができた。本稿で詳しくご報告したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

どの教科書(数学Ⅱ)でも｢軌跡と領域｣の最後に，線形計画法――連立１次不等式a１x＋b１y≦c１，a２x＋b２y≦c２，x≧0，y≧0の表す領域Ｄにおいて，点Ｐ(x，y)がこの領域を動くとき，xとyの１次式mx＋nyの最大値，最小値，およびそのときのx，yの値を求めさせるという問題――が扱われている。本稿では，すべてx＋y型に変形し，x＋y＝k，傾き－１，y切片kの直線として扱い，最大(最小)値は領域Ｄを通る直線のy切片そのものの最大(最小)値として扱うことを考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅱの「軌跡と領域」で扱う「領域と最大値・最小値」で生徒から次のような質問を受けた。「領域Ｄ内を点Ｐ(ｘ,ｙ)が動くときｘ＋ｙの最大値と最小値およびそのときのｘ,ｙの値を求めるとき，なぜ① ｘ＋ｙ＝ｋとしなければならないのか。なぜ②直線ｙ＝－ｘ＋ｋと領域Ｄが共有点をもつときを考えるのか。なぜ③一般にａｘ＋ｂｙの最大(小)値を求めるとき，直線ａｘ＋ｂｙ＝ｋと領域Ｄが共有点をもつとき，ｙ切片が最大(小)になる(グラフが最も上(下)にあるとき)点で最大(小)値をとるとしてはいけないのか。」 これらは素朴であるが，軽視したり看過したりしてはならない重要な疑問である。本稿では，このような素朴な質問を考察し，指導に役立てる考察をした。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅱの｢図形と方程式｣の｢軌跡と領域｣で，領域Ｄの点(x，ｙ)に対して，x，ｙの式の最大値・最小値を求めさせる問題を扱う。ｘ，ｙの式としては，定数項なしの１次式ax＋ｂｘやｘ，ｙの平方の和ｘ2＋ｙ2,あるいはx，ｙの積xｙなどがあるが，x，ｙの２次式Ax2＋Bxｙ＋Cｙ2＋Dｘ＋Eyとするとどうなるのか，生徒の手の届く形で提示できる問題はないかと思い，表題のような形の問題を考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

東書教育シリーズ中学校数学用「活動を取り入れた数学の授業」99年11月発行より。２つのコインを用意し,１つの コインを指で押さえ固定し,その周りをもう１つのコインで1まわりさせる｡このとき, コインは, 元の位置に戻るまでに何回転するだろうか考えてみよう｡10円玉でやったとき、2回転することに生徒は驚く。

山口大学教育学部附属光中学校　川野信一

数学Ⅰで｢論証｣を扱う。｢論証｣の中で命題の真偽を扱い，｢真｣の場合には｢証明｣をして真であると言い，｢偽｣の場合には｢反例｣を挙げて偽ということを学ばせる。命題 ｢ｐ⇒ｑ｣の反例とは｢仮定 ｐを満たすが結論 ｑ は満たさない｣という例のことである。反例は１つだけとは限らない。２つの変数の命題の真偽はｘｙ平面に仮定の真理集合Ｐと結論の真理集合Ｑを領域として図示し，視覚的な判断からＰ⊂Ｑが言えればこの命題は真であり，Ｐ⊄Ｑつまり ∈Ｐであるが ∉Ｑ である点があれば，これが反例となって，この命題は偽となる。しかし，このことについては数学Ⅰで命題の真偽を扱うときには扱っていない。数学Ⅱの図形と方程式の中の軌跡と領域の中で｢領域を利用した証明｣として扱ってある。しかも教科書の例題で扱ってあるのは真の場合だけである。偽の場合も扱い，仮定の真理集合の結論の真理集合からのはみ出し部分はすべて反例であることに言及するようになっていれば，数学Ⅰでの命題の真偽がよりわかりやすいものになるのではないかと思う。本稿では，２変数の命題でそれが偽になる場合について，数学Ⅱの図形と方程式の中の軌跡と領域の中で｢領域を利用した証明｣と連携して考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

本稿では，下位層の生徒を対象にした領域の初歩の指導について考察した。不等式を成り立たせる具体的な数値，それに対するグラフをいくつかかいてみせる。できればパソコンでアニメーション機能を使って，徐々に，刻々と領域を描き出す。軌跡を静的に捉えるのではなく，動的に捉えさせる。出来たものだけでなく，出来つつある過程を見ることで，視覚を支えにした理解を可能にする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

ニューサポート高校「数学」vol．22（2014年秋号）より。　「先輩，ここどげん教えると？」の第4 弾です。今回は主に，数学Ⅱの相加平均と相乗平均の関係を扱ってみました。数学の問題を解くうえで頻出する不等式ですが，一般化までは日頃考えません。生徒達に視覚的に捉えさせることを含め，一般化への証明を試みました。

九州数学シンクタンクグループ

九州数学シンクタンクグル－プでの「高校数学を横に切る！」の研究発表もいよいよ最終回を迎えることとなりました。各県の先生方が揃う機会は限られますが，集まったときには集中的に検討し，研究を深めています。今回の研究につきましても是非ご意見・ご感想をお聞かせください。

九州数学シンクタンクグループ

かつて旧課程の時代に、数学Ⅰの２次方程式の理論で「判別式」という用語が使えなかったため、苦慮された先生方も少なくないのではないだろうか。数学的概念を適切に表現する用語や記号が使えなくなると、かえってわかりにくさや使いづらさが増大するのが常である。本稿では、用語や記号の記載について、教科書内容に関する要望をいくつか申し上げさせて頂きたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

[本文より]いわゆる進路多様校において高校数学の内容をクラス全体に周知するのは楽ではありません。そんな中で，最近、電子黒板とＰＣを用いた授業の大切さを強く認識しています。

宮城県高等学校　T.S.

高等学校数学Ⅱ　図形と方程式　３節軌跡と領域高等学校数学Aでは，平面図形の章で線分の内分，外分について学習する。数直線上，座標平面上で実際に与えられた点に関して，数値的に計算することは数学Ⅱでの扱いとなる。

東京都立教池袋中学校高等学校　内田芳宏

新課程の学習指導要領では、「数学的活動を通して、数学における基本的な概念や原理・法則の体系的な理解を深め、事象を数学的に表現する能力を高め(以下略)」とあり、数学的活動が重視されていることがわかる。そこで、数学的活動は「コンピューターなどを積極的に活用することによって一層充実したものにすることができる」といわれるように、ICTの活用が一助になるような授業を提案したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

岡山県立備前緑陽高等学校　末廣聡

教材研究を進めていると，生徒にいかに分かりやすく伝えるか，または，いかに印象に残すことができるか，更には，素材の理解をどれだけ深められるか，という教材のツボとも言うべきポイントによく出会う。しかし，実際の準備の時間不足やその時の仕事の過多を言い訳に，その理想を実現できないことが多い。今年度は，あまり過剰な準備をせずに，授業の中にスムーズに実験的な要素を取り込みたいと当初から考えており，自分の理想的な展開ができた教材をいくつか得ることができたので，写真や実際のプリントなどを提示しながら報告したい。

鹿児島県立鹿児島中央高等学校　堂薗幸夫

センター試験数学過去問題集。2013年度追試験(数学Ⅱ)第1問[2]。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

2008東京大学（前期）文系　第３問について、問題・解答例・解説がついている。

熊本県立熊本高等学校　小坂和海

ニューサポート高校「数学」vol.20　特集：集中連載　先輩，ここどげん教えると？Part 2（2013年秋号）より。座標空間の問題は，使える道具が少ないこともあり，定型のものを除くと難しいものが多い。

開成中学校・高等学校教諭　井手健宏

センター試験数学過去問題集。2012年度本試験（数学Ⅱ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2012年度追試験(数学Ⅱ)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2009年度本試験（数学Ⅱ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局