座標平面上の指定された点を通り，２つの座標軸(x軸，y軸)に接する円の方程式や座標空間内の指定された点を通り，３つの座標平面(xy平面，yz平面，zx平面)に接する球の方程式を求めさせるという問題がある。そのとき，円の中心の候補は，第１象限の点から第４象限の点まで４個あり，また、球の中心候補は、xY平面の上方にある４点でそれぞれ２2 ＝４個　２3 ＝８個　あるが，指定された点が円周上にある，あるいは球面上にあることから１個に限定される。　本稿では，その１個に限定されること，その座標と円または球の方程式について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

図形と方程式で、円と直線を習い、接線の公式も出てくるのに、この単元は、今ひとつ盛り上がりに欠ける。後半、二つの円の関係が出てくるし、共通接線の本数まで教えるのに肝心の共通接線の方程式が教材として取り上げられないのが原因ではないだろうか？しかし、共通接線は難しい。私の以前にまとめた「円の接線を極める」で紹介したように、真正面から取り組むのは教科書からかなり外れているので得策でないと考える。そこで、比較的簡単に共通接線を取り上げた授業案を考案したので紹介したい。

埼玉県豊岡高等学校　五十嵐英男

円と直線の位置関係，つまり異なる２点で交わる，１点で接する，離れている(共有点がない)については，円の方程式に直線の方程式を代入して得られる２次方程式の判別式の符号で判定できるが，その方法以外にも円の中心から直線までの距離と半径の大小でも判定できる。本稿では，円と直線の位置関係(交わる，接する)と直線が円によって切り取られる線分の長さについて，判別式利用の場合と点と直線の距離利用の場合の比較を行う。この考察は生徒にどのような方法を採る方が得策であるか，つまり同じ結果を得るにも効率的な方法を身につけさせたいという思いから行ったものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校　西元教善

東京書籍『数学ⅡStandard』の2章｢図形と方程式｣で、｢2つの円の交点を通る円｣を参考として扱っているが、｢2つの円の交点を通る<ruby>すべて<rt>・・・</rt></ruby>の円｣の方程式は扱っていない。本稿ではこれを公式として使えるよう、一般的な形での証明と｢2つの円の交点を通るすべての円｣を表す方程式について考察する。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

本稿では、円の外部の点から円に引いた接線との接点の座標軸、その接点を通る直線の方程式についてさまざまな面から考察し、東京書籍『数学Ⅱ Advanced』との関連についても見てみたい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

同じ問題であっても、異なった分野の内容を使って解いたり証明したりできることがある。特に図形の場合は、数学A｢図形の性質｣と数学Ⅱ｢図形と式｣、つまり初等幾何あるいは解析幾何として解く(証明する)ことができる。例えば、問題の分野の出自を明かさず｢大小2つの円が交わっているとき、2つの円の共通接線の2つの接点をA、Bとする。このとき、2つの円の共通弦の延長線は線分を2等分することを証明せよ。｣という問題を生徒に与えたら、生徒はどのように取り組むであろうか。本稿で考察してみたい。

山口県立徳山高等学校　西元教善

数学Ⅱの図形と方程式の問題で、円上の点と定直線の点の距離の最大値と最小値を求める際、周知の図形の性質を使うものの混乱して行き詰まる生徒が少なくない。ここで問題となるのは、数学A｢図形の性質｣で学習した数学的事実をその証明を含め深く理解できているかどうかという点である。本稿では、筆者が実際に授業で取り扱った問題を引いて、本来どう指導すべきであったかを考察してみたい。

山口県立徳山高等学校　西元教善

高校入試問題の中には少し手を加えれば，高校の題材として十分使えるものがある。同じ問題であっても中学生には中学生の解き方が，高校生には高校生の解き方があるが，高校では中学校の場合をより一般化して考察することができることがある。本稿ではそのような題材を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅱの図形と方程式では，発展や参考になってはいるが，２つの円の交点を通る円または直線の方程式を扱う。それは，２円Ｃ１：x2＋y2＋lx＋my＋n＝0……①，Ｃ２：x2＋y2＋l′x＋m′y＋n＝0……②が交わるとき，その交点を通る円または直線の方程式は，kを定数として，x2＋y2＋lx＋my＋n＋k(x2＋y2＋l′x＋m′y＋n′)＝0……③と表されるというものである。２円Ｃ１,Ｃ２が交わるとき，l≠l′またはm≠m′であるから，k＝－１のときの③は，①－②として求められ，(l－l′) x＋(m－m′) y＋(n －n′)＝0……④となる。④は２円Ｃ１,Ｃ２が交わるときの交点を通る直線の方程式であるが，直線④そのものは円Ｃ１,Ｃ２が交わらなくても存在する。では，そのとき，直線④はどのような数学的な意味をもつ直線であるかについて本稿で考察したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

円の接線を求める問題で、間違いがちな解答例がどんな直線になるのかを生徒たちに考えさせ、本当に間違いであると気づかせるとともに、誤答の直線が円の接点と面白い関係にあったという例を紹介している。

芝浦工業大学高等学校教諭　柴田邦夫

円と放物線が接する条件について考えさせる大学入試問題は毎年ではないにせよ出題され続けていますが，市販の参考書・問題集は取り扱われていても1題程度でありそのことについての解説が述べられているに留まっています。ここで改めて整理することにしました。なお，本稿では中心が下に凸の放物線の軸上にある円がその放物線と原点または他の異なる2点で接するときについて考えることにします。

鳥取県米子東高等学校　米江慶典

私の接線の方程式を求める過程は、数値で行うので難しくないだろう。教科書では、円の中心を原点に置き、円の外側の点からの接線を求めているが、これはひとえに、接線の公式の有るが故である。それ自体が悪い訳ではないが、円の中心が原点に無い場合にはまったく触れられていないのは、不思議である。原点から円への接線を求めることができれば、それ以外の場合は、その応用として容易に理解できる。教科書の接線の取り上げ方に再考を求めたい。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

教科書には、２つの円の中心の距離と半径の関係を取り上げて、２点で交わる場合、１点で接する場合、共有点を持たない場合の３つに分類することが述べられている。しかし、この単元は、図形と方程式である。本来なら、共通接線を求めることで締めくくる方が、しっくりくると考える方も多いのではないだろうか。問題は、その難易度が高校の授業として妥当かどうかであり、考察をしてみた。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

教科書には、２つの円の中心の距離と半径の関係を取り上げて、２点で交わる場合、１点で接する場合、共有点を持たない場合の３つに分類することが述べられている。しかし、この単元は、図形と方程式である。本来なら、共通接線を求めることで締めくくる方が、しっくりくると考える方も多いのではないだろうか。問題は、その難易度が高校の授業として妥当かどうかであり、じっくりと考察してみた。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

円の方程式を求める問題は、（x－a）²＋（y－ｂ）²=ｒ²(標準形)とx²＋ｙ²＋ｌx＋ｍｙ＋ｎ=０(一般形)のどちらかで求めると、教科書では説明されているが、円の方程式を求めるには、半径と、中心の座標さえ分かれば良い訳だから、初めから式に頼らずもっと図形の性質を活用して解答する道を選択しても良いのではないか。特に、一般形の式は、果たして円の方程式を求めるのに適しているのか疑問があり考察した。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

円の接線の方程式について教科書で公式として扱ってあるのは、原点を中心とする円上の点におけるものである。一般の場合、円における接線の方程式はそれを平行移動することで求められる。本稿では、点と直線の距離の公式を、「円の接線の方程式」や「法線ベクトル」を利用して求める方法について考察する。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

３点を通る放物線の方程式や、３点を通る円の方程式を求める際、教科書では３元連立方程式で解決している。むしろ、これらの問題を３元連立方程式の活用の場との位置付けも見られるが、数学には様々な解法があるべきではないかと考察した。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

点Ｐ（ｘ1，ｙ２）と直線ｌ：ax＋by＋c＝０の距離，つまり点Ｐから直線ｌに下した垂線の長さdを求める公式 d＝｜ax１＋by１＋c｜/√a2＋b2 には様々な証明がある。 本稿では，⑴ と直線ｌ：ax＋by＋c＝０の距離 の距離 は，中心が Pで Lが接線である円の半径に等しいこと，⑵中心が Pで半径がの円とlが異なる２点A, Bで交わるとき，△PABの面積S＝１/２AB・dであることのそれぞれからｄ＝｜ax＋by＋c＝｜/√a2＋b2ax＋by＋c＝を導き，公式の別証とする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校　西元教善

問題を正攻法で解答すると煩雑になる場合でも，少しの工夫でその煩雑さを軽減することができることがある。いわゆる「要領のよい解法」よい響きでいえば「エレガントな解法」少し本筋から外れた印象でいえば「裏技的な解法」である。本稿では，指定された点を通る傾きｍの直線がある円に接するとき，傾きｍの値と接点の座標を求める問題についてより簡便な方法を求めて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

2 円が2 点で交わるとき，その2 円の方程式の引き算をすると交点を通る直線の方程式（根軸）が得られることはよく知られているが，2 円が共有点を持たないとき引き算で得られる直線がどんな意味を持つのかよく質問を受ける。そこで2 円が接する場合も含め引き算で得られる直線の意味について考えてみる。

岩手県盛岡中央高等学校　鎌田凪平

「解法は１通りではない」－数学の別解づくりを考えよう－稲永善数―平成15年4月作成より。ピタゴラス（三平方）の定理は，中学校で学ぶ最大の教材かもしれない。「中学校で何を勉強した？｝と聞かれたなら，多くの学生はこの「三平方の定理」と答えるだろう。それほど有名な定理である。このピタゴラスの定理の証明は必ずどこかの参考書には登場する。多くの数学を目指した先人達が競って証明を試みたものである。本質的には，視覚的に訴える「幾何的証明」，合同条件や相似条件などを用いた，「幾何学と代数学」が混じった証明あるいは，「解析幾何学的」に座標を入れて示したものもある。ピタゴラスの定理には人類の英知が凝縮されている。美しい定理の 1 つである。

稲永善数

センター試験数学過去問題集。2014年度追試験(数学II)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2014年度本試験(数学Ⅱ)第1問[1]。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

センター試験数学過去問題集。2010年度本試験（数学Ⅱ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2011年度本試験（数学Ⅱ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2011年度追試験(数学Ⅱ)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2013年度本試験(数学Ⅱ)第1問[1]。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部