「二項定理で高校数学を斬る」では，二項定理の有用性を通じて，高校数学を横断的に考察した。その中で，高校では扱わない合同式を持ちだして，二項定理の活用を支えた。本稿では，二項定理を活用しつつ，合同式を交えて，フェルマーの小定理を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

同じ内容であっても，その表現によって生徒には全く異質のものに見えることがある。また，あることの一般化にもそのようなことがある。表現が異なっているために，数学的には同一内容や素直な一般化，拡張であるにもかかわらず，数学教育的にみればそこに生徒の学習困難さを生じさせていることがある。わかっている人(教師やよくできる生徒)にはきわめて当然で，そこに何の支障もないが，そうでない生徒にとっては越え難い障壁があることがある。その障壁を取り除いてやるのが「わかってできる」ことを目指す数学教師の手腕の見せ所でもある。　本稿では，二項定理と多項定理，それに関する反復試行の定理について，関連性の見える表現の有効さについて，ある提言をしたいと思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Aで扱う「二項定理」は，学習後，さまざまな場面で登場する。「二項定理」が関わっている内容を，教科書別（つまり，数学Ⅰ，A，Ⅱ，B，Ⅲ，C）に列挙しながら，その活用のされ方を考察し，二項定理で高校数学を斬ってみようと思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

本稿では、1つの等式について「組立除法」「等比数列の和の公式」「総和記号∑の利用」など、さまざまな角度からその証明が可能であることを示したい。※文中の数式は、「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには、「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立徳山高等学校　西元教善

『パスカルの三角形』とは，整数を並べた三角形をいいます。これには，いろいろな性質があり，２，３紹介します。

東京都立戸山高等学校　赤荻進一

二項定理(a＋ｂ)n＝nC0an＋nC１an－１b＋nC2an－2b2＋……＋nCnnbn……（*）の１つの応用として (＊)においてa＝ｂ＝１とすることで，次の等式を得る。nC0＋nC1＋nC2＋……＋nCn＝２n(※)テストで「等式(※)を証明せよ。」という問題を出すと，不勉強な生徒は右辺の２nを導こうとする。　　　　　　　　　　　　では，(※)は必ず二項定理(＊)を使わなければ証明ができないのかといえばそうではない。単に，二項定理(＊)を使えば簡単に導けるというだけである。　本稿では，二項定理(＊)を使わないで等式(※)を導くことを考えてみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

本稿では，異なるn 個のものから r個を取り出す組合せの数nCr ,すなわち,二項係数nCr に関する等式について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

平方数の和の公式は，３次の乗法公式 の活用で求めることができる。では，それまでに学んでいる別の知識を活用して，平方数の和の公式を導けないであろうか。本稿では，組合せの数として，あるいは二項係数としての nCr の性質を利用して，平方数の和の公式を導くことを中心に考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

数学Ⅱで，二項定理を学ぶ直前にパスカルの三角形を学ぶ。その三角形の辺上には１が並び，数字の並びが左右対称であるとか，三角形の内部の数はその左上の数と右上の数の和に等しいとかの性質があることに言及することはあっても１段目の和，２段目の和，…… ，一般に 段目の和がいくらであるとか，左から１番目の和，２番目の和，……，一般に 番目の和がいくらであるとか， 段目までのすべての数の和がいくらであるというようなことには触れることはない。パスカルの三角形は，二項係数の和を含むさまざまな数列の和を考える場面としても貴重な題材である。本稿では，パスカルの三角形を題材にした問題を考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

高次式として数学IIで３次式（a±ｂ)3=a3±３a2b＋３aｂ2±b3と，（a±b)(a2∓ab＋ｂ2)＝a3±ｂ3が中心の指導で良いのだろうか。そこに、二項定理が突然現れる、現在の指導要領の順番には違和感を感じている。もっと生徒の目線に立った指導をすることで、最近の生徒の計算力の無さを伸ばし、式の計算の面白さを感じてもらえるのではないか、逆に言えば教科書の取り上げ方のワンパターンなのに原因が有るのではないかとの疑問からいくつかの問題点を取り上げた。

埼玉県豊岡高等学校　五十嵐英男

本稿では，平方数 ㎡より１大きい㎡＋１の正の平方根　√㎡＋１と平方数 ㎡の正の平方根√㎡ ＝ ｍの差 √㎡＋１－√㎡ のn乗である(√㎡＋１－√㎡)nは連続するある２つの自然数Nm,n, Nm,n,＋１のそれぞれの正の平方根の差√Nm,n,＋１－√Nm,nに等しくなるといえるのではないかということについて考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

平成の最後の年は31年で，西暦では2019年である。現在使われている「元号」の終わりの年が事前にわかっているということはこれまで類がなく，違和感と戸惑いを覚えてからしばらく経つ。本稿ではその惜別の意味も込めて「31」と「2019」について，特に 312019と201931 の下２桁の数を中心にして考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

数学Ⅱにおいて習う多項式（整式）の割り算には主に次に挙げる3つの方法がある。筆算法と係数のみを取り出した筆算法と暗算法である。また、因数定理を用いて因数分解をする計算にも主に3つの方法がある。筆算法と組立除法と暗算法である。今回は、既習の高校生や数学の得意な生徒に教えることがある、暗算法にのみ焦点を当てる。その中でも、生徒の計算スピードを上げるために、私がさらにこの2つの暗算法に違いをつけて教えている点とその理由について紹介する。

立教女学院中学校高等学校数学科教諭　小澤頌

「高校数学へのひろがり～中高連携を意識した指導のくふう～」(2013年10月作成)より。(a＋b)2 の条件を変えた式の展開について考察した。乗法公式を忘れても，面積図や体積図を利用すると，また導き出すことができる。さらに，展開式におけるそれぞれの係数の意味がわかる。高校でも，乗法公式を学ぶ。そのときにも，ただ公式を暗記し，練習を繰り返すのではなく，意味をじっくりと考えたい。

東京書籍（株）　数学編集部

自然数の和は，等差数列の和の公式から求められるが，平方数の和，立方数の和については，二項定理を通じて求められる。平方数の和を求めるときには，（生徒にとっては青天の霹靂のごとく，あるいは天下り式に）等式(k＋1)3－k3＝3k2＋3k＋1が出現する。立方数の和の場合にも，等式(k＋1)４－k４＝4k3＋6k2＋4 k＋1が出現し，同様の方法で求められる。生徒にとっては，この等式は何なのか？　どうしてこのような等式が成り立つのか，と同時になぜこのような等式を唐突に提示されて，累乗の和を求めるときにこれを使わなければならないかが疑問となる。生徒にとって，分かりやすい流れでこれを考察し，授業に役立てるような提示をしたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅱで整式の除法を扱う。いわゆる筆算で割り算することもあれば，組立除法で計算することもある。また，１次式で割ったときの余りでは剰余の定理を使うこともある。整式Ａを整式ＢＱ(≠０)で割ったときの商Ｑと余り の間にはＡ＝ＢＱ＋Ｒ，Ｒの次数＜Ｂの次数という関係があるが，これに積の導関数の公式を使うと余りＲが求めやすくなる。数学Ⅱの問題として出題されているときは御法度かもしれないが，数学Ⅲを学習した生徒には別解として提示すれば参考になる。本稿では，ｍ，ｎを自然数として,ｍ＞ｎのとき，Ｘｎ−１を（Ｘ−１）ｍ で割ったときの余りについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

パスカルの三角形を見て気づくことや数列の和との関連、三角形n倍角の公式との関連について触れ、この題材は数学の不思議さや面白さを楽しめ、発展して探究することができる題材であると述べている。

東京学芸大学附属高等学校教諭　大谷晋

因数分解の＋α、三角形の辺と書くの大小関係についての＋αについてをご紹介します。

東京都立稔ヶ丘高等学校　村形政信

数学Aで学習する二項係数、二項定理の応用として多項係数が出てくるが、その多項係数の一つとして、三項係数の問題例を紹介している。

埼玉県立岩槻北陵高等学校教諭　福住譲

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

「センター試験『高校数学』過去問題集（2007年6月作成）」より。2003年追試験（数学I・Ａ）第３問(1)(2)。この資料全体は，東京書籍「数学A」（2008－2013年度用）「数学B」（2008－2013年度用）の教科書の目次に準拠して，2000年から2007年までのセンター試験問題の小問を分類したものです。この問題は，そのなかの１小問です。データは問題と解答を記載。授業の後，まとめとしての演習問題などでご利用いただけます。

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。部分分数の計算・規約分数式の計算。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

稲永善数

「ニューサポート高校「数学」vol．33（2020年春号）特集：新教育課程に向けたポイント整理」より。作家井上ひさし氏の言葉に『難しいことを易しく，易しいことを深く，深いことを面白く』がある。私が，県教育委員会で仕事をしていたころ，新規採用教員の辞令交付式の挨拶でよく語った言葉である。学校現場で教科指導をする際，教員にとってごく当たり前の事でも，生徒にとっては難しく思えるものが多くある。教壇に立つ我々は常日頃から，難しい内容でも，易しく，深く，面白い授業を作ることを心掛けなければならない。

長崎大学教授　中川幸久