４０人の生徒のいるクラスで数学と英語のテストを実施して，６０点以上であれば合格とするとき，数学のテストに合格した生徒が２５人，英語のテストに合格した生徒が３０人であれば，両方のテストに合格した生徒は最大何人であり，最小何人であるかという「共通部分の個数の最大・最小」を問う問題がある。本稿では，全体集合Uの２つの部分集合A，Bについて，n(A)，n(B)が与えられたとき，ｎ(A∩B)のとり得る値の範囲について，生徒にわかりやすい説明を試みるものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

場合の数の問題の中に，碁盤の目のようにきちんと区画整備された街の南西のある地点Ａから北東のある地点Ｂへ行く最短経路の数を問うものがある。最短経路という条件を取り下げて，ＡからＢへ行く経路を考えるとき，東西南北の４方向に進むことを認めれば，同じ経路を何回も通ることもあってその数は限りない。そこで，①南に進むことだけは禁じ，東･西･北の３方向(→,←,↑)に進むことは認める，②西に進むことだけは禁じ，東･南･北の３方向(→，↓,↑)に進むことは認めるというようにした場合，それぞれ何通りあるかという問題が考えられる。　本稿では，東西に進むことを認める，あるいは南北に進むことを認める（ただし，同時にそれらを認めることはしない）とき，つまり逆行することを認めた経路の数について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

ニューサポート高校「数学」vol．36（2021年秋号）より。新型コロナ禍が始まって2度目の大学入試である。今年もボクが解いた問題の中から印象に残ったものを紹介しようと思う。

開成中学・高等学校教諭　井手健宏

集合の論理学への応用（上）「定言的三段論法の分類」（1970年9月号）前原昭二著作集「数学セミナー」東京書籍2004年4月作成［本文より］この頃の〈数学教育〉では，いつでも〈集合と論理〉というように，論理と集合はひと組になって話題にのぼります。また，集合は数学にとって非常に便利な道具だというようなこともいわれます。ですから，１回ぐらい集合を用いて論理の問題を解いてみることも意味のないことではないと思いました。　ここでとり上げる〈三段論法の分類〉の問題は，論理学における古典的な問題です。解答は，本質的には，すでにアリストテレスが与えてしまっているらしいのですが，まあ〈集合〉という見地からそれを再びとり上げてみようと思っただけであります。

前原昭二

本稿では｢(重複を許さない)順列と(重複を許さない)組合せ｣の関係と，｢重複を許す順列(重複順列)と重複を許す組合せ(重複組合せ)｣の関係を対比させながら，重複順列と重複組合せについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校　西元教善

数学Ａで｢場合の数｣を扱うが，導入部分では樹形図による数え上げの例から｢和の法則｣，「積の法則」を意識させる。これらの法則は場合の数を考えるときや求めるときの基本となる。｢階乗｣は用意されたもの全部を一列に並べるという順列の特別な場合の総数であるが，これが場合の数を求めるときの基本的な根源要素となる。つまり，順列(一列，円，じゅず，重複)，組合せ(重複でない，重複)の総数はすべて階乗を使うことで表現できるのである。本稿では，「階乗が場合の数の根源である」という視点から場合の数を俯瞰してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

n本の直線があるとき，組合せの問題としてこの直線群からできる交点の個数や三角形の個数を求めさせるものや数学的帰納法の問題として平面がこの直線群で何個に分割されるかを証明させるものがある。その際に「どの２本の直線も平行でなく，また，どの３本の直線も１点で交わらない」という条件がついている。これがあると，求めやすく，証明しやすくなる。しかし，初見の生徒はこの条件に戸惑うことがある。本稿では，状態に応じて交点の個数や三角形の個数がどのように変化するかについて，具体例を通じて考察し，「どの２本の直線も平行でなく，また，どの３本の直線も１点で交わらない」という意味をしっかり理解させる指導の一例としたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

「場合の数」は、公式などを使った処理は数学Ａで初めて学習する。このような中、今一つ理解が深まりにくいと思われるのが、「グループ分け」の問題、つまり、名前のあるグループ分けと名前のないグループ分けである。その関連と解決のメカニズムについて、図を使って指導した例を紹介したい。※ワード文書をご利用される場合は，Tosho数式エディタが導入されている必要があります。「Tosho数式エディタ」無償ダウンロードはこちらから→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ａの「場合の数」で重複順列を扱うが，その応用として「空き部屋のない部屋分け」を考えさせる問題がある。たとえば，８人の生徒を空き部屋のないようにＡ，Ｂ，Ｃの３つの部屋に分ける方法の数を問うような問題である。空き部屋があってもよい分け方についても８３通りという間違いをする生徒が出てくる。すると空き部屋のない部屋分け問題は当然、正解には至らない。そこには，イメージの欠落がある。本稿では，それを補う説明，別解や一般化について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

円順列では，「固定」するという発想―それは「回転」によって，見かけは異なる順列のように見えても実は同じものを排除する方法―が生徒を悩ませる。これは平面上で考えればよいからまだ扱いやすいが，これが空間内となれば，いわば，「球順列」は生徒を混乱させる。代表的な問題は，「立方体の色塗り問題」である。本稿は，「立方体の色塗り問題」について，高校１年生にとってわかりやすい説明を試みるものである。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

球面をn等分する方法は１通りとは限らない。本稿では地球儀にたとえれば，①等間隔の経線で囲まれる合同な曲面で球面が分割される場合，あるいは②緯線と赤道で囲まれる単純な合同な曲面で球面が分割できるときはその場合を，また，③正多面体を薄いゴム膜のような材質で作って，それを均等に膨らませて球面を考えたときに，その境界線で分割される場合を，n＝８まで考察することにする。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

場合の数の問題として，10円，50円，100円，500円の硬貨を何枚か与え，それらを使って支払える金額が何通りあるかを問うものがある。積の法則を使う問題であり，それがうまく機能するような枚数設定がしてある。その設定を変えるとどうなるのか，さらには一般の場合ではどのような結果になるのかに興味をもったので，考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

取り出すr 個のすべてを○で表し，それを一列に並べ， n－１本の仕切り線｜で ｎ個のグループに分けることが，各グループが同じ物(それが重複して取り出すこと)，つまり異なるｎ 個の物から，重複を許して(認めて) ｒ個を取る(重複)組合せの数に一致するということがある。　この重複組合せは，教科書では発展，研究という扱いであり，今一つ定着は芳しくない。　そこで，この重複組合せについてのわかりやすい指導について考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校 教諭　西元教善

場合の数を求めるとき，考え方は一見よさそうに思えるのであるが，実際には重複や数え漏れが生じ，不正解になることがある。特に同じものを含む場合の順列は，無意識に区別をして実際の場合の数より多く数えてしまうことがある。　なぜ，このように考えてはダメなのか，重複しているのであればその例を，数え漏れがあればその例を挙げてその考え方の欠陥を指摘し，ではどう考えたらよいのかを考えさせるのがよいのではないかと思う。　本稿では，同じものを含む順列を題材にとって，生徒の陥りやすい間違いを考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

階乗ｎ！や組み合わせの数ｎＣｒは「場合の数と確率」で扱うが，これらは自然数であるから「整数の性質」でも扱うことができる。本稿では，ｎを０以上の整数とするとき，４！ｎ＋４Ｃｎ＋１は平方数になること，また３！ｎ＋３Ｃ３＋１！　ｎ＋１Ｃ１＋１は立方数になることを中心にして，階乗や組合せで表された自然数の性質を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

全体集合Uとその部分集合A，Bについて，n(U)，n(A)，n(B)の値が与えられており，n(A)>n(B)，n(A)+n(B)>n(U)のとき，n(A∩B)の最大値と最小値，およびそのときのU, A, Bの関係を問う問題があったとき，ベン図で視覚的に理解する方法と，n(　)の式から不等式として理解する方法がある。本稿では，これらの２つの理解手順について改めて考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

「ｎ個からｋ個取る組合せが何通りあるのかを求めるときはｋ！で割る」という作業は、生徒は良く覚えています。しかし「なぜそのようにするのか」をしっかり説明できる生徒は多くはなく、理由も考えず暗記している生徒が少なくないのは、その必然性を生徒自身が納得していないからだと考えます。組合せの計算においては、数の多い順列をまず考え、その後ｋ！で割るという手間をかけています。なぜそんな面倒な手続きをする必要があるのでしょうか。この作業の必然性を理解させることが大切です。そのため私は「重複度」という言葉を用い、組合せを教える前から、登場させ、その共通性を考えさせるように心がけています。

東京都渋谷教育学園渋谷高等学校　小嶋裕之

「（高校数学Ⅰ・A）課題学習指導実践記録集」東京書籍2013年7月より。友達との待ち合わせ。会議，大会の開催地。日常生活において集合場所を決めることがある。誰しもが似たような体験をもつ身近な場面である。交通の便や施設の位置の兼ね合いもあるが，Ａ，Ｂ，Ｃさんの歩く距離の合計が最小になるように集合場所（交差点）を決める。

日本大学東北高等学校講師　五十嵐淳

場合の数は、離散数学の中で一番大切だが、その最初に出てくる和の法則、積の法則がおろそかになっていないだろうか？これまでの授業で、場合の数の後半の応用問題になってから二つの場合の数を足すのか掛けるのか分からない生徒が多かったので図を取り入れて目に見える形にしてみた。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

数学Ａの｢場合の数｣の中で｢階乗｣を扱う。自明のことだが，10! は10以下のすべての素数 2,3,5,7の冪（べき）の積として表される。すると，一般に n! を素因数分解すると，ｎ以下のすべての素数の冪として表されるが，それぞれの指数はどのように表されるか，ひいては n! の素因数分解はどのように表されるかという問題が生起する。本稿では，場合の数と整数の性質のコラボとして，n! の素因数分解について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

部屋割り論法自体は非常にシンプルで直観的にも理解しやすいものだと考えるが，実際の問題で利用できるようになるには，多くの練習問題にあたる必要がある。教科書（数学A　p.79）による記述2．部屋割り論法を利用した問題3．学習指導案

長崎県立佐世保西高校　片山司朗

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部