整数の性質の中に，自然数 ｎの階乗 ｎ！に含まれる素因数の個数を求める問題，さらにその延長としてｎ！を素因数分解する問題がある。本稿では，素数 ｐ(≦ｎ)に対して，ｐの冪(ｎ以下)で割ったときの商を考えることによって，ｎ！の素因数分解ができること，また，それによってどのような形で表されるかについて考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

Ｌ.Ｃ.Ｍ.やＧ.Ｃ.Ｍ.という数学的用語は，かつての中学生の常識であったが，今や中学校の教科書には，公約数，公倍数もなく，ましてや最大公約数，最小公倍数はない（ただ，発展的に扱ってある教科書はあるが）。そのため，整数についての知識が十分とはいえず，それを土台にして整式や分数式のことを教えるには多少骨が折れるが，これらに関して授業で展開したことを紹介したいと思う｡※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

正の整数，自然数は約数の個数で，単数，素数，合成数の3つに分類される。まずは数に対する関心を高めた上で，他の数学分野の学習意欲へとつなげていくことは大切だと考えられる。そこで本稿では，素数への関心を深め，更には多くの単元に応用できる話題を紹介し，授業でそれらを用いた取り組みが行われ学習者の理解が深まることを目標に展開させていきたい。

富山工業高等専門学校准教授　富永雅

数学Ａは，第１章が場合の数と確率，第２章が整数の性質という構成になっているが，整数の性質を題材にして確率の問題を生徒に考えさせることができる。本稿では，倍数判定法を題材にして確率の問題を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

｢整数｣は数学Ａの｢整数の性質｣で扱われるが，数学Ｂの｢数列｣でも整数の数列として扱うことができる。特に数列の場合には，個々の整数としてではなく無限集合，整数全体の集合Ｚの部分集合としての整数という捉え方ができる。整数の性質で｢素数｣,｢合成数｣を扱う。当然のことではあるが，(自然数の)奇数列では２以外の素数がすべて含まれ，(自然数の)偶数列では，素数は２だけでその他はすべて合成数であるという見方ができる。数列の和を活かして，数列の各項がすべて合成数であることが説明できる例はないだろうか。その一例に数列10001,100010001，100010001001，10001000100010001,……がある。どのような理由で各項がすべて合成数になるのかを考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

「ニューサポート高校「数学」vol．33（2020年春号）特集：新教育課程に向けたポイント整理」より。高校生の皆さんにとって，机上で学ぶ数学と社会生活とは，かけ離れたものに思えるかもしれない。大人の中には「社会に出たら学校数学なんか使わないよ」と主張する人もいるようで，そんな主張を聞かされたらせっかくのやる気も削がれてしまうかもしれないだろう。でも，そんなことはない。世界は数学に満ちているのだ。しかし，なかなか信じてくれない人もいるので，今日はその一部をご紹介したい。使う数学は「整数」（数学A）と「確率分布」（数学B）である。

有限会社プリパス覆面の貴講師　数理哲人

新教育課程になり数学Ａで「整数の性質」を扱うようになった。整数の基本は素数であるが，素数が無限にあるなどの素数そのもの基本性質についての考察はない。また，教科書の巻末にも素数表はない。あればその表を眺めることで素数の性質について洞察力を働かせる生徒もいると思う。たとえば自然数 ｎ以下の中に素数はどのように分布しているのかとか，２つ違いの素数の組とかなどに興味を持つ生徒が出て来るであろう。また，素数の出現の仕方について，つまり指定された個数の連続する自然数を任意に選ぶとその中に必ず素数はあるかということに思いを巡らせることもあるであろう。折角整数の性質を学ぶのであれば，素数について考察する機会があってよいのではないかと思う。本稿では，階乗を利用して，素数出現のランダムさ，つまり，任意の個数の連続する自然数の中には素数が全くないことがあることを考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

生徒が「１から９までの自然数を重複しないで３個取り出して並べて３桁の自然数をつくるとき，３の倍数はいくつできるか」という問題について質問に来た。紙面の都合上，問題集の解答には詳細に書かれていないこともあるが，初学者には「説明不足」がわからない一因ともなる。わかってしまえば当然のことだが，それが当然と思えないと解説が理解できない。本稿では，「わからない」生徒向けに「くどい」解説を試みたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/detail/40776/

山口県立光高等学校　西元教善

教科書で，最大公約数は素因数指数の小さいほうの累乗の積，最小公倍数は大きいほうの累乗の積であると説明がある。指数がすべて異なれば問題ないが，指数が１つでも等しい場合，大きいほう・小さいほうという表現では等しい場合が欠落する。本稿では，max(a,b),min(a,b)を用いて，２つの自然数の最大公約数と最小公倍数を素因数分解表示し，その活用例についても考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

「整数の性質」では，自然数の正の約数を扱う。正の約数がどのような形で表され，何個あり，和や積はいくらになるかについては，素因数分解が鍵になる。約数の個数を求めるときは場合の数で，和を求めるときは等比数列の和で求められる。では，積の場合はどのように考えて求めればよいのであろうか。本稿では，具体的な例を通じて，自然数の正の約数の積についての一般化を行ってみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

ある生徒が，3m+4n(m,nは0以上の整数)の形に表せない正の整数の個数を求めるにはどう考えたらよいですか」と質問に来た。このように条件が否定文で書かれていると，戸惑ってしまう生徒が多い。「具体的に小さいほうから調べたらどうか」と言うと「たくさんあると面倒だし，数えモレもありそう。うまく求める方法があれば教えてほしい」と言う。本稿では，この問題を中心にして考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

教科書では，素数でない正の整数，つまり合成数は素数の積の形に表す(これを素因数分解という)ことができ，その表し方は一通りであるという説明がなされているが，素因数分解という結果が主役で，その一意性は影が薄い感じがある。実際，一意性を喚起する問題が極めて少ないようである。しかし，見方を変えれば素因数分解の一意性で証明できる題材は教科書にもある。そのような問題を掘り起こして，一意性に焦点を当てて考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

２つの自然数a， bの最大公約数と最小公倍数をそれぞれ G, Lとすると， a=a' G，b=b'G(a'とb' は互いに素)と表され，さらに L=a'b'G=ab'=a'b，ab=GLといった重要な関係がある。a ，bが具体的な自然数で与えられたときは，それぞれを素因数分解することで G，a'，ｂ' ，Lが求められる。それに対して，a，b のうちの一方とL だけが具体的な自然数で与えられたとき， a，bのうちの残りはどのような自然数になるのか。また，一意的に決定されるのか，それとも複数あるのか。本稿では，このことについて具体的，一般的に考察し，その構造を把握したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿『最大公約数・最小公倍数に関わる関係をしっかり考えさせる⑴～108との最小公倍数が1080である自然数を求める問題を中心にして～』では，２つの自然数a, bのうちの一方だけとその最大公約数Lが具体的な自然数で与えられたとき，a, bのうちの残りはどのような自然数になるのか。また，一意的に決定されるのか，それとも複数あるのかについて具体的，一般的に考察した。　本稿では，３つの自然数a, b, cのうち２つの自然数a, b, a, b, cの最大公約数Gと最小公倍数Lが与えられたときに残りのcがどのような自然数になるかという問題を基にして３数の自然数とその最大公約数，最小公倍数の間にある関係を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

龍谷高校の教育の基本は、５プラス１ 「キャリア教育 ・ ライフスキル教育 ・ 学力向上 ・ グローバル人財育成・ＩＣＴ教育＋心の教育」を通し卒業までの3年間で、 社会で必要となる 「人間力」 を培っています。本稿では、本校での実践を紹介します。

龍谷中学校・高等学校　教育イノベーションセンター　中島一明

「（高校数学Ⅰ・A）課題学習指導実践記録集（2014年度版）」東京書籍2014年8月より。「数学Ａ 整数の性質」の１つの項として「倍数の判別」がある。教科書では「２，５，４，３，９の順に倍数の判別の学習を行うが，生徒からは当然，「他の倍数の判別方法は？」と質問がある。６の倍数については大半の生徒は「２かつ３の倍数」と理解できる。また，８の倍数については４の倍数の判別法を応用して下３桁が８の倍数（または百の位が偶数の場合は下２桁，奇数の場合は１００＋下２桁が８の倍数）ということも簡単な説明で理解できる。しかし，７以上の素数の倍数は簡単に判別できない。そこで，証明方法の学習も兼ねて倍数の判別方法の発見と，その検証を考えさせる試みを行った。

栃木県立足利高等学校　大河原啓守

整式の最大公約数と最小公倍数について，現行の教科書では，以前のようにその関係まで扱うのではなく，簡単な周知に留めてあるようである。一方，参考書等では以前と同様に，それらの関係やその事実を使う問題まで扱ってある場合がある。そのような中で興味を感じ，生徒にもやらせておくとよいと思った問題について，考察してみた。最大公約数・最小公倍数には因数分解がつきものである。そこで，このようなタイトルにして，n次式xn＋xn-1＋・・・＋x＋１に関連させて考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

確率の問題，あるいは場合の数の問題でもそうであるが，事象として硬貨，さいころ，トランプなどを使った例が多い。何か他に目新しいものはないかと考えて，オセロの駒を思いついた。オセロの駒は表裏が白黒になっていて，裏返してその変化を表すことができる。本来，ゲームとしては相手の駒を自分の色の駒で挟むとそれらを裏返して自分の駒の色に変え，最終的に枚数の多い方が勝ちになるわけであるが，これを何か他のものの変化に連動して裏返して，白の駒数，黒の駒数を考えれば，確率の問題とすることができる。　本稿では，このようにオセロの駒の枚数に関わる確率の問題を考えてみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

変量 ｘ：ｘ1,ｘ2,ｘ3, ……,ｘnの平均値m，分散vはそれぞれ等差数列や等比数列の和として，またはΣ公式を使って求められるときは比較的簡単に求められるが，そうでない場合の手計算は煩わしいものである。だからといって，変量変量 ｘ：ｘ1,ｘ2,ｘ3, ……,ｘnにおいて，数列｛ｘｋ｝ｋ＝1，2，3，…，ｎが等差数列や等比数列とするとデータの分析としては面白さが半減する。もう少し気の利いた問題はないだろうかと入試問題を物色したとき，福岡大学の問題を見つけた。本稿では，この問題を叩き台にして一般の自然数の場合について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

数学Ａの｢場合の数｣の中で｢階乗｣を扱う。自明のことだが，10! は10以下のすべての素数 2,3,5,7の冪（べき）の積として表される。すると，一般に n! を素因数分解すると，ｎ以下のすべての素数の冪として表されるが，それぞれの指数はどのように表されるか，ひいては n! の素因数分解はどのように表されるかという問題が生起する。本稿では，場合の数と整数の性質のコラボとして，n! の素因数分解について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

拙稿「素因数分解の一意性について ～ 一意性をもっと前面に出そう ～ 」で整数の性質を指導する際に｢素因数分解の一意性｣をもっと前面に出したらどうであろうかという提案をした。というのは，これは整数の重要な性質であるからである。教科書に載っている証明問題を「素因数分解の一意性」を用いるとどのようにできるのか，前稿では触れなかった問題に焦点を当ててみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

３時間半の中で１題40点の設問を合計5題解く(200点満点)という形式になっている北海道高等学校数学コンテストの問題の中の１つ。

北海道算数数学教育会高校部会代数解析研究会

３時間半の中で１題40点の設問を合計5題解く(200点満点)という形式になっている北海道高等学校数学コンテストの問題の中の１つ。

北海道算数数学教育会高校部会代数解析研究会

３時間半の中で１題40点の設問を合計5題解く(200点満点)という形式になっている北海道高等学校数学コンテストの問題の中の１つ。

北海道算数数学教育会高校部会代数解析研究会

2012年1月に実施された北海道高等学校数学コンテストの第２問。

北数教高校部会代数解析研究会

皆さんが友達から年齢を尋ねられた時、どう答えますか。きみが中学２年生で、誕生日前でしたら１３歳と答えるでしょうし、誕生日を迎えていれば１４歳と答えると思います。中学３年生ならば、１４歳か１５歳ということになります。

町田市教育センター　鈴木伸男