「解法は１通りではない」－数学の別解づくりを考えよう－稲永善数―平成15年4月作成より。三角形の面積を求める問題は，小学校からの教材であり，いまさら「別解」というには，あまりにも安易な問題であると考える人がいるかも知れない。しかしながら，教科書では「三角比」，「ベクトル」「図形と方程式」「積分」などの章で必ず三角形の面積が取り上げられる。数学は，1 つの問題を解決するのに，1 通りの方法で解決するわけではない。紙を切るのに，はさみやカッターナイフあるいは，時には，手で裂く場合もある。「カッターナイフ」では，直線を，「はさみ」は曲線，，山下清画伯のような「手」という目的に応じたそれぞれの道具が必要になる。数学は，時に応じた解法が「エレガントな解法，解答」といわれる。いろいろな解答の中で，どの解答が最も適切かを考えることも重要であることは論を待たない。

稲永善数

高校数学ニューサポートVol.２　2004年秋発行より。[シリーズ：私の研究]（１）整三角形　（２）整60°三角形，整120°三角形　（３）整三角形を敷き詰める　（４）図に現れた整三角形の一般項　（５）まだ足りない　（６）このあとの展開く，で内容構成する。

開成高等学校教諭　木部陽一

まだあまり一般的ではない正弦定理と余弦定理の同値性についての証明方法を２通りずつ示している。

神奈川県立横浜緑ヶ丘高校　片倉正一

「解法は１通りではない」－数学の別解づくりを考えよう－稲永善数―平成15年4月作成より。昭和30年代，「幾何」の教科書には現在の教科書にはない手法の証明が与えられている。教科書は，証明はいくつかの方法を取捨選択してなるべく生徒にわかりやすい方法がとられる。しかし，その易しさは「真の優しさ」であろうか？

稲永善数

ピタゴラス数は、有名だが、３つの自然数を長さとして面積が自然数となる三角形の３つの数ヘロン数は、あまり知られていない。課題学習をやらなければならないので、２年生の数学好きの生徒を集めて、このヘロン数について模擬課題授業をしてみることにした。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

三角形という基本的な図形は，算数・数学の格好の思考対象である。それぞれ３つある頂点，辺，角(内角)について,発達段階に応じてさまざまな考察を行い，有益な結果が得られている。面積に限定すれば，基本的には小学校の算数で学習する「底辺×高さ÷２」というのがベースである。高校では，これをどのように発展・進化させているであろうか。三角形の面積という視点から，高校数学を考察してみたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

「解法は１通りではない」－数学の別解づくりを考えよう－稲永善数―平成15年4月作成より。黄金分割で有名な値について，代数的，解析的な方法で求めてみよう。

稲永善数

生徒にとって｢正弦定理｣と｢余弦定理｣はまったく別の定理のように映っているらしい。正弦定理と余弦定理は同値である，つまり正弦定理から余弦定理が導かれ，その逆もいえるというと怪訝な顔をする。証明の方向性が異なるし，正弦定理には外接円の半径も関わっているが，余弦定理ではそうではない。また，余弦定理の証明には座標を導入しているが，正弦定理ではそうではない。このようなことから異質の定理というように受け取られているようであるが，正弦と余弦の間には同じ角のときにはそれらの２乗の和は常に１であるという強力な関係(三角比の相互関係の１つ)があり，それらの根っこの部分は同じである。本稿では，生徒にもその同値性がわかるように，円の方程式を利用して証明する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら→https://ten.tokyo-shoseki.co.jp/login/newenter.php?wurl=/detail/40776/

山口県立高森高等学校　西元教善

三角形の外接円の半径と三角形の２つの頂点を通り，２辺と交わる円の半径の大小にはどのような関係があるのであろうか。筆者は、三角形の外接円を描く際、先に三角形を描き，その外接円を描こうとして，三角形の１辺の端点である２頂点を通るものの，残りの２辺と交わって外接円にならなくなっている生徒を見ていたとき、本稿のテーマを思いついた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。会員向け無償ダウンロードはこちら

山口県立光高等学校　西元教善

三角比には３種類，つまり正弦，余弦，正接があり，正弦と余弦にはそれぞれ「正弦定理」「余弦定理」と呼ばれる定理があるのに，なぜ「正接定理」はないのか？……生徒からよく聞かれる質問である。

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

三角形と違って四角形には内接円や外接円がいつもあるとは限らない。両方ともあれば，面積はブラマグプタの公式から求めておき，内接円の半径は，（四角形の面積）÷（四角形の周の長さの半分）で求められる。また，外接円の半径Ｒも面積Ｓ，４辺の長さ，対角線の長さを通じて求められる。本稿では，三角形の内接円，外接円の半径の求め方を参考にして，四角形に内接円と外接円があるとき，それぞれの半径を求めてみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

以前，『なぜ｢正接定理｣はないのか～生徒の疑問に答えて～』『｢正接定理｣を作ってみよう～実践用プリント～』という原稿をEネットに掲載していただいた。本稿はその実践報告である。

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

本稿では，１つの内接四角形をもとに，その外接円といくつかの内接円について，その半径や面積比について考察する。生徒の手に届く内容であり，「三角比の三角形への応用」の復習に役立ち，なおかつ生徒の興味・関心をひく題材である。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

３辺の長さがわかっている三角形の面積を求めるとき，中学校では頂点から垂線を引き，三平方の定理を使い高さを求めてから求める。一方，高校ではヘロンの公式を使うこともできれば，余弦定理から１つの内角の余弦を求め，それから正弦を求めて，三角形の面積を求めることができる。わずか１学年の違いであるが，求め方が広がる。　本稿では，円に内接する四角形の辺と対角線で囲まれる三角形の面積について，中学校の求め方と高校の求め方を比較・考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

以前『なぜ「正接定理」はないのか～生徒の疑問に答えて～』（2010年6月4日掲載） 『「正接定理」を作ってみよう～実践用プリント』（2010年6月11日掲載）において，「正接定理」について考察した。教科書には「正弦定理」と「余弦定理」はあるのに，なぜ「正接定理」はないのか疑問に思う生徒がいることから，正接定理と呼べる定理を作ってみようという投げかけをして，課題学習として実践したものである。教科書にないからといって，実際に「正接定理」がないわけではなくちゃんと存在している。それは正弦定理と和積公式から導かれるものである。しかし『「正接定理」を作ってみよう～実践用プリント～』での解答例として挙げていなかったので，本稿では正式な「正接定理」として，また正式な解答をしたい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

拙稿『正接定理 ～正弦定理と和積公式から導く～』で正接定理について考察した。その中で正接定理は問題解決に際して正弦定理，余弦定理のような有効な定理ではなく，使い勝手のよくない定理であることに言及した。決定的によくない点は，２つの角の和・差の半分という半角を扱うところである。これでは扱える角が極めて少なくなるという使用上の欠点がある。また，その表現においても，左辺は２辺の差を２辺の和で割ったもの，右辺は２つの角の差の半角の正接を同じ２つの角の和の半角の正接で割ったものであり，正弦定理のように対辺と対角の正弦の商というシンプルさもない。そこで，半角を使うことはやむを得ないが，２つの辺と角が混在した形だけでも解消すればどのように表すことができるかについて考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

本稿では，半径がＲである円に内接する三角形ＡＢＣの辺を一辺とする正方形を三角形ＡＢＣの外側に作るとき，その３つの正方形の面積の和のとり得る値の範囲を求め，その結果を利用して，半径がＲである円に内接する四角形ＡＢＣＤの辺を一辺とする正方形を四角形ＡＢＣＤの外側に作るとき，その４つの正方形の面積の和のとり得る値の範囲を求める。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

三角形の内接円の半径ｒを，面積Ｓから求めるように，四面体の内接球の半径ｒ’を体積Ｖから求めることがある。また，四面体のある面を底面と見たときの高さｈを体積Ｖと底面積Ｓから求めることもある。本稿では，生徒にやらせておきたい問題として，１辺の長さが１である立方体を底面の対角線と上面の頂点を通る平面で切ったときにできる，小さい方の四面体について，その切り口を底面としたときの高さ，切り口の内接円の半径，内接球の半径を扱う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学の解答は，数学的な思考を視覚的にも言語的にも表現する場であるといえよう。いわば，プレゼンである。プレゼンする能力は今後の人生にとっても必要不可欠な能力であるから，数学を通じて是非身につけて欲しいものである。　本稿では，底面が決定している四角錐が球に内接するとき，その最大体積を求めるという問題で，図を利用して解くということを考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

周知のとおり，ヘロンの公式とは，３辺の長さから三角形の面積を求める次のような公式である。『△ＡＢＣの３辺の長さを a，b，c，その面積を Ｓ，また，周の長さを ２Ｓ（＝a＋b＋c） とおくとき，Ｓ＝√ｓ（ｓ－a）(s－b)(ｓ－c)である。本稿では，このヘロンの公式から考えられる条件付き不等式について考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

△ABCにおいて，∠A＝A，∠B＝B，∠C＝C，AB＝C，BC＝a, CA＝ｂとし，角は弧度で考えるとき，３組の対辺と対角の積の和aA＋ｂB＋cCのとり得る範囲はどうなっているのであろうか。a＋ｂ＋c/３π≦aA＋bB＋cC＜a＋ｂ＋c/２π(等号は△ABCが正三角形のとき)という予想が立つ。本稿では，三角形の基本的な性質を使って，この不等式を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

頂点をＯとする直円錐があるとき，その底面と側面の境界である円周上の１点Ａから出発して側面を１周して、母線ＯＡの中点Ｍに至る経路の中でその距離が最小になるもの，つまり最短経路の長さを求める問題がある。直円錐という立体が題材になっているが、実際には展開してできる扇形で、平面的に考える。本稿では、側面上を１周だけでなく２周，３周する場合，さらには一般的にｎ周したときの最短経路の長さはどうなるのかについて考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

余弦定理は辺の長さや内角の大きさを求めるときに使われることが多いが，△ABCにおいて，たとえばその一つであるa2＝b2＋c2-2bccosAは，a2は辺BCを１辺とする正方形の面積，b2はCAを１辺とする正方形の面積というように，面積についての等式であると考えることができる。　内接四角形，正確には円に内接する四角形においては，対角線でそれを２つの三角形に分割するとき，対角線に対する２つの対角の和は２直角であり，それらの角についての正弦の値は等しく，また余弦の値は異符号で絶対値は等しい。このような関係を基に余弦定理や面積の公式を使わせる問題がよく扱われる。　本稿では余弦定理での平方の項を正方形の面積とみて，この定理を面積に関する定理として考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

三角比の正弦定理と余弦定理は、生徒には定着しにくく、ストレスのある単元である。その理由は、その必然性の不足であろう。ざっくり言えば、考えてもいなかった数学的知識が、突然上意下達式に伝えられることにある。そこで、教科書とは違う形での導入を提案する。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

直角三角形、正三角形のほかに、a=7,b=5,c=8の三角形できれいなcosの値をもつことはよく知られている。そのようなきれいなcosの値をもつ三角形はほかにどんなものがあるかを探求し、「きれいな三角形」の観点を広げるとともに、その中で気づいた性質で様々な活用を試みた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

教科書，傍用問題集，参考書，その他を活用し，生徒の数学力向上のために，テストでよりよい問題を出題しようとする先生方は当然ながら多いと思う。センター試験の前身の共通一次よりも以前の，一期二期世代で，教員になっても校内模試を作成していた世代にとっては，既成の問題群の中から適切であると思われる問題を選択するのではなく，自ら問題を作るという｢問作｣を通じて数学教員としての資質が高まっていったと思う。本稿では，数学Ⅰの｢三角比｣と数学Ａの｢平面図形｣について生徒にとってよかれと思う融合問題を作る，いわば舞台裏を述べたいと思う。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

３辺の長さがa, b, cであり，外接円の半径がRである三角形の面積SはS＝a, b, c／４Ｒで求められる。では，４辺の長さがa, b, c, dであり，外接円の半径がRである四角形(内接四角形)の面積Sや５辺の長さがa, b, c, d, eであり，外接円の半径がRである五角形(内接五角形)の面積Sはどのように表すことができるのであろうか。本稿では四角形と五角形の面積について，それらを外接円の半径と辺の長さで表すことを考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅰで三角比を学習すると，三角形についての性質の理解が，中学時までのそれに比べると飛躍的に深まる。３辺の長さや３つの内角という第一次情報から形状や計量について考察できるが，三角比を使うことで，より深い考察が可能になる。また，相加・相乗平均の不等式を利用して，大小関係も考察させれば，発展学習の題材になると思う。本稿は，そのようなねらいで考察したものである｡※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

｢三角形の高さ｣は小学校以来，(三角形の面積)＝(底辺)×(高さ)÷２として，面積を求めるときに重要な役割を果たしている。△ＡＢＣの各頂点からその対辺(またはその延長)に垂線を下ろし，３本の垂線の長さを考えるとき，その３つの長さの和や逆数の和が三角形の内接円や外接円の半径，３辺の長さとどのような関係があるのかについては生徒の興味・関心を引く題材になるであろう。三角比を学べば尚更である。｢整数の性質｣が代数学の基本であるように，｢三角形の性質｣は幾何学の基本であるから，今以上に三角形の性質について深く学ぶ機会があればよいと思う。　本稿は，そのような思いで考察してみた。　※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅰにおいては習熟度別クラス編成を行い２クラス３展開で授業を実施し、普通クラス・スタディクラスという名称で、授業内容に変化をつけている。普通クラスには教科書の内容の理解を重点目標とし、スタディクラスは理系進学を念頭に置き教科書・問題集を使ってもう一歩深い内容の理解を目標としている。

愛知県立津島高等学校教諭　米田幸夫

数学が苦手な生徒(以下，苦手な生徒)は，数学の記号が出た途端に思考がフリーズしたり，中学校までのやり方に固執して進展しなかったりすることがある。教科書の記述は当然であるが，学習したことを踏まえ，また数学的な表現もそのようになる。しかし，苦手な生徒はそれがネックになり，わからないとか，わかることへの拒絶をすることがある。そのとき，生徒の目線に立った表現で説明すればわからせることができる。　本稿では，数学Ⅰの三角比で扱われる｢余弦定理｣について，苦手な生徒にもその証明がわかるような説明を試みる指導について紹介したい。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

三角形ABCの３つの角 A，B，Cには A＋B＋C＝πという等式が成り立ち，３つの角 A，B，Cと３辺の長さa, b, cについては，a2＝b2＋ c2－2bcsinA，a/sinA＝b/sinB＝c/sinC などの等式が成り立つ。また，３辺の長さa, b, c については，a＜b＋c，b＜c＋a，c＜a＋b という不等式も成り立つ。　本稿では，三角形の辺と角に関する不等式について考察してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅰの「三角形への応用(図形と計量)」の中の「正弦定理と余弦定理の応用」で「最大辺の対角が最大角である」ことについて≪「対辺の大小関係と対角の大小関係は一致する」ことが知られている。≫という扱いで記載されている。なお，数学Ａの「図形の性質」では，参考として「辺と角の大小関係」が証明されて「定理」としてある。　「最大辺の対角が最大角である」ことについて，「より大きい角に対する辺の方が長い」という不等式の証明は数学Ⅱの不等式の証明に関わるが，余弦定理からちょっと背伸びをすればできるので，生徒にもわかるような証明を試みてみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

『周の長さが一定である二等辺三角形の中で囲む面積が最大である三角形を求めよ。』という問題は、2次関数の最大・最小問題として有名である。それを一般化したものが等周問題である。それは、平面上で、『周の長さが一定な閉曲線の中で、囲む面積が最大である閉曲線を求める問題』である。しかし、このままでは対象が余りにも漠然とし過ぎていて高校生には手が出ない問題である。そこで、仮定の周の長さが一定な“閉曲線”を“多角形”、さらに具体的に三角形、四角形に限定すると、高校の教材として扱うことができる。

東京都立駒場高等学校教諭　渡部毅

正三角形はバランスのとれた図形です。三角形の五心を考えたときでは，傍心以外の四心は一致します。また，各面が合同な正三角形である正四面体では，頂点から下ろした垂線の足がその４点の一致する点です。そのバランスのよさゆえに問題にすると面白くないことがありますが，そこをうまく扱うと生徒の数学学習にとって有益な問題も作れます。本稿では，正三角形の外接円に関わる二等辺三角形や四角形の内接円の半径や面積比について，また，それを底面とする四面体の高さや内接球の半径について考察しました。また，これを題材にしたマーク式問題も紹介しました。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅰの三角比では正弦定理・余弦定理を扱い，数学Ⅱでは正弦・余弦の加法定理を扱う。数学Ⅱでは角は一般角を扱い，単位円上の２点A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)をそれぞれ原点のまわりに-βだけ回転させた点C(cos(α-β)，sin(α-β))，D(１，０) に対して，２点間の距離の公式で求めたAB，CDが等しいことや△OABに余弦定理を用いて求めたABとの比較から導いてあることが多い。他にも証明の仕方があるが，せっかく正弦定理・余弦定理を数学Ⅰで扱ってあるのであるから，角に制限がつくことは許して加法定理が成り立つことを示してみてはどうかと思う。もちろん，数学Ⅰの学習内容からは逸脱し，どうせ数学Ⅱで扱うことであるが，その時点で進んだ生徒を中心に興味・関心をひくと思う。　本稿では，正弦定理と余弦定理から三角比の加法定理について，その指導を考察する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

7:5:3や7:5:8など角度が余弦定理できれいに求まる三角形は、知られている。その先をExcelの様々な機能を駆使して調べているうちに素数を超える超越素数の発見にたどり着いた。探求学習の1つの話題として発表したい。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

ヘロンの公式は魅力的な公式の一つである。三角形の面積が辺の長さから求められるのは当然であろうが，それを見事に表現している。周知の通り，三角形の３辺の長さから面積を求められるということであるが，紀元前からこのことが知られて，現在でもなお測量に活かされていると聞いては，今更ながらその数学的生命力に驚かされる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら。http://ten.tokyo-shoseki.co.jp/downloadfr1/htm/cms68851.htm

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

三角形の面積公式の中で一番受験には役に立たないと陰口をされるヘロンの公式。それを見直すことで四角形の面積に新しい切り口が見つかったので紹介したい。

埼玉県立豊岡高等学校　五十嵐英男

数学Ⅰの図形と計量で三角比を扱うが，その中に｢正弦定理｣がある。これを使えば，△ＡＢＣにおいて，∠Ａ＝Ａ，∠Ｂ＝Ｂ，∠Ｃ＝Ｃ，ＢＣ＝a,ＣＡ＝b，ＡＢ＝cとするときa:b:c＝sinA:sinB:sinCである。しかしa:b:c＝Ａ：Ｂ：Ｃ と思っている生徒も少なくない。a＜b＜c⇔sinA＜sinB＜sinC　⇔Ａ＜Ｂ＜Ｃであるがa/A，b/B, c/Cの大小関係はどうなのであろうか。このようなことを考察させてみると面白いのではないかと思い，考察してみた。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

本稿では，鋭角α，βに対してcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβであること，α＞βである鋭角α，βに対してsin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβであることを正弦定理と余弦定理を用いて証明する。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立岩国高等学校教諭　西元教善

数学Ⅰの図形と計量で三角比を扱う｡その中で，重要な定理として｢正弦定理｣と｢余弦定理｣があるが，生徒にはこの２つの定理はどのように映っているのであろうか。それぞれ適用する場面が決まっていて，補完しながら問題解決に利用するいわばそれぞれ独立した定理のように思っているのかもしれない。そこで，本稿では正弦定理a/sinA＝b/sinB＝c/sinC ＝２Ｒ（Ｒは△ＡＢＣの外接円の半径）におけるa/sinA＝b/sinB＝c/sinC ，つまり『＝２Ｒ（Ｒは△ＡＢＣの外接円の半径）』を除いた部分が余弦定理と同値であることを示してみる。※文中の数式は，「Tosho数式エディタ」で作成されています。ワード文書で数式を正しく表示するためには，「Tosho数式エディタ」が導入されていることが必要です。無償ダウンロードはこちら→無償ダウンロードのご案内

山口県立高森高等学校教諭　西元教善

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

教科書「数学１」「数学Ａ」（2001年度版）準拠。10分間テスト。１ページ目がテスト問題，２ページ目が解答になっています。基礎計算の徹底と確認テスト。

東京書籍（株）　数学編集部

３時間半の中で１題40点の設問を合計5題解く(200点満点)という形式になっている北海道高等学校数学コンテストの問題の中の１つ。

北海道算数数学教育会高校部会代数解析研究会

センター試験数学過去問題集。2013年度追試験(数学Ⅰ)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

センター試験数学過去問題集。2013年度追試験(数学ⅠＡ)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

センター試験数学過去問題集。2014年度本試験(数学Ⅰ)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

センター試験数学過去問題集。2014年度本試験(数学ⅠＡ)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）

センター試験数学過去問題集。2014年度追試験(数学I)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2014年度追試験(数学I・A)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2015年度本試験(数学I)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2015年度本試験(数学I・A)第2問[2]。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2015年度本試験(旧課程数学I)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2015年度本試験(旧課程数学I・A)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

ニューサポート高校「数学」vol.19　特集：集中連載　先輩，ここどげん教えると？Part 1（2013年春号）より。「高校数学を横に切る！」「“ドキッ”とする生徒からの質問集」に継いで，久しぶりの本稿掲載になります。

九州数学シンクタンクグループ

センター試験数学過去問題集。2009年度本試験（数学Ⅰ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2009年度追試験（数学Ⅰ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2010年度本試験（数学Ⅰ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2010年度追試験（数学Ⅰ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2011年度本試験（数学Ⅰ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2011年度追試験(数学Ⅰ)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2012年度追試験(数学Ⅰ)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2013年度本試験(数学Ⅰ)第3問。この資料は，東京書籍の数学教科書の目次に準拠して，センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東京書籍（株）　数学編集部

今回は前回に引き続いて重心座標を取り上げる。目標は外心と垂心の重心座標である。最初に3辺の長さを具体的に与えた場合の外心についての問題を，その後，鋭角三角形，次いで鈍角三角形の場合の一般論を考える。最後に垂心を考える。その前に前回の第1問（下の囲み）を重み付き頂点の観点から暗算で解く手順とその背景の考え方を示しておく。

東大寺学園中高等学校　本庄隆

2011年1月に実施された北海道高等学校数学コンテストの第４問。

北数教高校部会代数解析研究会

前回，「円に外接する三角形の面積の最小値」を求める問題で凸不等式が威力を発揮することをみた。小問誘導が付かない場合に，最初の第一手を自ら見出して解答を組むことは誰にとっても難しい。しかし，最近の入試問題で小問誘導による出題の割合が少々多すぎる感があると思っているのは筆者だけではないかもしれない。採点のし易さや得点の差を出すため，あるいは低い平均点を避けるため，さらには誘導なしの問題にしたのでは高度過ぎる結果を導出させたい等の理由があるにしても，センター試験と同様，解いていて，爽快感や（解答に当たっての）創造感をあまり覚えないのが正直な感想である。総設問数の多さからくる疲労感を伴うことさえある。このような理由で，このシリーズでは小問誘導や多くの小問誘導を必要とする問題は極力避けてある。

東大寺学園中高等学校　本庄隆

３時間半の中で１題40点の設問を合計5題解く(200点満点)という形式になっている北海道高等学校数学コンテストの問題の中の１つ。問題のキーワード：

北海道算数数学教育会高校部会代数解析研究会

H20 センター試験 教科書数学Ⅰ・Ａ　4章　図形と計量　3節　三角形への応用、１　正弦定理　２　余弦定理、４節　図形の計量　２　相似の計量、Ａ４章　平面図形　3節　円と直線　２　接線と弦のつくる角　３　方べきの定理　

東京書籍（株）　数学編集部

センター試験数学過去問題集。2012年度本試験（数学Ⅰ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

センター試験数学過去問題集。2012年度本試験（数学ⅠＡ) 第3問この資料は、東京書籍の数学教科書の目次に準拠して、センター試験問題を分類したものです。データは問題と解答で構成されています。

東書Eネット事務局

「高等学校数学実践事例集」より。立体図形を一定方向の平面で切ったとき，同じ面積をとるならば，それらは同じ体積をもつ。このアイデアは，中国で最初に考えられた。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。2 つの立体に於いて，「１つの平面に平行な平面による切り口の面積が常に等しいとき，2 つの立体の体積は等しい」。この性質を「カヴァリエリの原理」という。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。(1) 指導の流れ(多角柱)，(2) 指導の流れ(斜角柱)，(3) 指導の流れ(錐体)，(4)指導の流れ(球の体積。表面積)。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。アルキメデス・・・墓石。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。必要な部分を利用していただければと思います。学史

東京書籍（株）　数学編集部

「高等学校数学実践事例集」より。相似な立体の体積比，相似な立体の表面積の比。この資料は，高校数学の教科書で取り扱う内容に関して，いろいろな角度から解説をしたものです。それらは，導入例や，参考になる先生方へのコメント，中学校の復習，発展的内容，教科書で扱っている内容の背景などを集めたものです。各内容は１ページにまとまっています。

東京書籍（株）　数学編集部