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余弦の２倍角の公式 cos2α=2cos2α-1において， α=2n-1θ（n=1,2,3,…）とすると，cos2･2n-1θ=2cos22n-1θ-1 つまり cos2nθ=2cos22n-1θ-1です。
ここで，ａn=cos2n-1θ とおくと，ａn+1=2ａn2-1という隣接２項間の漸化式を得ます。
数列の極限で，たとえばａ1=3,ａn+1=1/2ａn+3(n=1,2,3,…) で定められる数列 {ａn} の極限値 limａn[n→∞]のグラフ上の意味として，xy平面上に２直線 y=1/2x+1,y=x をかき，点(ａ1,0)から始めて y=1/2x+1 上の点（ａ1,ａ2） →直線 y=x 上の点（ａ2,ａ2）→ y=1/2x+1 上の点（ａ2,ａ3）→ ……
とジグザグに進み， ｎが大きくなるにつれて点（ａn,ａn）が２直線の交点(6,6)に近づいていくことから，数列 {ａn} の極限値が６であるという説明があります。
余弦の２倍角の公式から作った漸化式ａ1=cosθ,ａn+1=2ａn2-1について，放物線y=2x2-1と直線y=xを使って，角θが２倍になるとき余弦の値はどのように変化するのかを考察しました。
山口県立岩国高等学校教諭 西元教善
A4判たて，6ページ
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